2025高考數(shù)學一輪復習-第8章-第3節(jié) 圓的方程【課件】

第八章平面解析幾何第3節(jié)圓的方程1.理解確定圓的幾何要素，探索并掌握圓的標準方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.圓的定義和圓的方程定長D2＋E2－4F＞02.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).圓外圓上圓內(nèi)常用結(jié)論與微點提醒×√×√解析(1)當a＝0時，x2＋y2＝0表示點(0，0)；當a≠0時，表示半徑為|a|的圓.A解析法一∵圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圓C的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，

3.(2023·上海卷)已知圓C：x2＋y2－4y－m＝0的面積為π，則m＝________.－3解析由x2＋y2－4y－m＝0得x2＋(y－2)2＝m＋4，∴π(m＋4)＝π，解得m＝－3.4.(選修一P85T4改編)已知△AOB的三個頂點分別是點A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，則△AOB的外接圓的標準方程是______________________.考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一圓的方程例1(1)已知圓的圓心為點(2，－3)，一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是(

) A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52A解析設兩端點分別為(a，0)和(0，b)，則a＋0＝2×2，0＋b＝2×(－3)，即a＝4，b＝－6，(2)(2022·全國甲卷)設點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3，0)和(0，1)均在⊙M上，則⊙M的方程為_______________________.(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析法一設⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二設⊙M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，∴⊙M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法三設A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半徑為r，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.感悟提升求圓的方程時，應根據(jù)條件選用合適的圓的方程.(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量.確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)：①圓心在過切點且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(2)代數(shù)法，即設出圓的方程，標準方程或一般方程，用待定系數(shù)法求系數(shù).訓練1(1)(2024·邯鄲模擬)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為____________________.(x＋3)2＋(y＋1)2＝1解析到兩直線3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，又兩平行線間的距離為2，所以圓M的半徑為1，從而圓M的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.(2)(2022·全國乙卷)過四點(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三點的一個圓的方程為______________________________________________________________________________________(寫出一個即可).解析依題意設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.①若圓過(0，0)，(4，0)，(－1，1)三點，所以圓的方程為x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；所以圓的方程為x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；③若圓過(0，0)，(4，2)，(－1，1)三點，考點二與圓有關(guān)的軌跡問題例2

已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角頂點C的軌跡方程；解法一設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.因為AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1.化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).法二設AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1，0)，由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點)，所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.解設M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3，0)，M是線段BC的中點，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).感悟提升求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式.D所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)，所以x2＋(y－2)2＝8為點M的軌跡方程.(2)若長為10的線段的兩個端點A，B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點M的軌跡方程為______________.x2＋y2＝25解析設M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，得4x2＋4y2＝100，即點M的軌跡方程為x2＋y2＝25.考點三與圓有關(guān)的最值問題(2)x＋y的最大值和最小值；解設t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距.解析P是x軸上任意一點，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對稱點C1′(2，－3)，12由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，感悟提升C解析將方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化為(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圓心為(2，1)，半徑為3的圓.設z＝x－y，數(shù)形結(jié)合知，只有當直線x－y－z＝0與圓相切時，z才能取到最大值，(2)(2024·福州質(zhì)檢)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1關(guān)于直線ax＋2y＋1＝0對稱的圓記為⊙O2，點E，F(xiàn)分別為⊙O1，⊙O2上的動點，EF長度的最小值為4，則a＝________.因為⊙O1和⊙O2關(guān)于直線ax＋2y＋1＝0對稱，所以|O1O2|＝2d，則EF長度的最小值為||O1O2|－2r|＝|2d－4|，又EF長度的最小值為4，所以|2d－4|＝4，易知d>0，所以d＝4，課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.下列各點中，在圓(x－1)2＋(y＋2)2＝25的內(nèi)部的是(

)A.(0，2) B.(3，3)C.(－2，2) D.(4，2)A解析由(0－1)2＋(2＋2)2<25知(0，2)在圓內(nèi)；由(3－1)2＋(3＋2)2>25知(3，3)在圓外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圓上，由(4－1)2＋(2＋2)2＝25知(4，2)在圓上.2.圓心為(1，1)且過原點的圓的方程是(

)A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2D解析因為圓心為(1，1)且過原點，3.圓C：x2＋y2－2x－3＝0關(guān)于直線l：y＝x對稱的圓的方程為(

)A.x2＋y2－2y－3＝0B.x2＋y2－2y－15＝0C.x2＋y2＋2y－3＝0D.x2＋y2＋2y－15＝0A解析由題意，得圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為(1，0)，半徑為2.故其關(guān)于直線l：y＝x對稱的圓的圓心為(0，1)，半徑為2，故對稱圓的方程為x2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2y－3＝0.C解析設△ABC的外接圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，所以△ABC的外接圓M的方程為x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.因為直線x＋y＝0不經(jīng)過圓M的圓心(1，3)，所以圓M不關(guān)于直線x＋y＝0對稱.因為(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故點(2，3)在圓M內(nèi).5.設P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(

) A.6

B.25 C.26 D.36D解析(x－5)2＋(y＋4)2表示點P(x，y)到(5，－4)的距離的平方，∵P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為圓心(2，0)到(5，－4)的距離與半徑之和的平方，B解析圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圓心為(－1，－2)，依題意，點(－1，－2)在直線ax＋by＋1＝0上，因此－a－2b＋1＝0，即a＋2b＝1(a>0，b>0)，AB8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是____________，半徑是________.(－2，－4)5解析依據(jù)圓的方程特征，得a2＝a＋2，解得a＝－1或2.當a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，則圓心為(－2，－4)，半徑是5；當a＝2時，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，9.已知等腰△ABC，其中頂點A的坐標為(0，0)，底邊的一個端點B的坐標為(1，1)，則另一個端點C的軌跡方程為_______________________________________.x2＋y2＝2(除去點(1，1)和點(－1，－1))解析設C(x，y)，根據(jù)在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考慮到A，B，C三點要構(gòu)成三角形，因此點C不能為(1，1)和(－1，－1).所以點C的軌跡方程為x2＋y2＝2(除去點(1，1)和點(－1，－1)).10.(2024·德州聯(lián)考)已知A(0，2)，點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________.解析因為圓C：x2＋y2－4x－2y＝0，解得b＝1，所以外接圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.(2)若線段MN的端點N的坐標為(5，2)，端點M在圓E上運動，求線段MN的中點P的軌跡方程.解設P(x，y)，由于P是MN中點，由中點坐標公式，得M(2x－5，2y－2)，代入x2＋(y－1)2＝10，12.已知M(m，n)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點.求：(1)m＋2n的最大值；設m＋2n＝t，將m＋2n＝t看成直線方程，因為該直線與圓有公共點，設直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.13.(多選)設有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝