數(shù)學(xué)示范教案：第三章第一節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第一課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第三章第一節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第一課時本章知識框圖本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換．變換是數(shù)學(xué)的重要工具,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對象之一．在本冊第一章，學(xué)生接觸了同角三角函數(shù)公式．在本章,學(xué)生將運用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式，由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三角變換公式，并運用這些公式進行簡單的三角恒等變換．三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點上．通過本章學(xué)習(xí),使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運算能力，并體會三角恒等變換的工具性作用,學(xué)會它們在數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用．本章內(nèi)容安排按兩條線進行,一條明線是建立公式，學(xué)習(xí)變換；一條暗線就是發(fā)展推理能力和運算能力,并且發(fā)展能力的要求不僅僅體現(xiàn)在學(xué)習(xí)變換過程之中，也體現(xiàn)在建立公式的過程之中．因此在本章教學(xué)中，教師要特別注意恰時恰點地提出問題，引導(dǎo)學(xué)生用對比、聯(lián)系、化歸的觀點去分析、處理問題，使學(xué)生能依據(jù)三角函數(shù)式的特點，逐漸明確三角函數(shù)恒等變換不僅包括式子的結(jié)構(gòu)形式變換,還包括式子中角的變換，以及不同三角函數(shù)之間的變換，強化運用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)設(shè)計變換思路的意識．突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，在類比、推廣、特殊化等一般邏輯思考方法上進行引導(dǎo)，本章不僅關(guān)注使學(xué)生得到和(差)角公式，而且還特別關(guān)注公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法．例如，在兩角差的余弦公式這一關(guān)鍵性問題的解決中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想以及向量方法的應(yīng)用；從兩角差的余弦公式推出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,在這個過程中，始終引導(dǎo)學(xué)生體會化歸思想；在應(yīng)用公式進行恒等變換的過程中，滲透了觀察、類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法，特別是充分發(fā)揮了“觀察”“思考”“探究”等欄目的作用，對學(xué)生解決問題的一般思路進行引導(dǎo)，這對學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣能起到積極的促進作用．另外,還在適當(dāng)?shù)臅r候?qū)θ亲儞Q中的數(shù)學(xué)思想方法作了明確的總結(jié)．例如，在旁白中有“倍是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的，2α是α的二倍，4α是2α的二倍，這里蘊含著換元的思想”等,都是為了加強思想方法而設(shè)置的．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是歷屆高考考查的“重點”和“熱點",在高考中占有重要的地位,主要考查對這十一個公式的正用、逆用、變形用,考查對公式的熟練掌握程度和靈活運用能力,其考查難度屬低檔，這就要求我們不要過分引導(dǎo)學(xué)生去挖掘一些特殊的變化技巧，應(yīng)把主要精力放在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)規(guī)律和通性通法上．教師在教學(xué)中，要注意控制好難度．因為近幾年的高考中對三角部分的考查難度降低，但教材中部分習(xí)題卻有一定難度，因此教師要把握好難度．本章教學(xué)時間約需8課時,具體分配如下(僅供參考）：節(jié)次標(biāo)題課時3。1。1兩角差的余弦公式1課時3。1。2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式2課時3。1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1課時3.2簡單的三角恒等變換2課時本章復(fù)習(xí)2課時作者：仇玉法eq\o(\s\up7()，\s\do5(整體設(shè)計））教學(xué)分析本節(jié)是以一個實際問題做引子,目的在于從中提出問題,引入本章的研究課題．在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識布列方程的過程中，提出了兩個問題：①實際問題中存在研究像tan（45°＋α）這樣的包含兩個角的三角函數(shù)的需要;②實際問題中存在研究像sinα與tan（45°＋α)這樣的包含兩角和的三角函數(shù)與α、45°單角的三角函數(shù)的關(guān)系的需要．以實例引入課題也有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實際問題的聯(lián)系，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時也讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程．本節(jié)首先引導(dǎo)學(xué)生對cos(α－β)的結(jié)果進行探究，讓學(xué)生充分發(fā)揮想象力，進行猜想，給出所有可能的結(jié)果,然后再去驗證其真假．這也展示了數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展的具體過程，最后提出了兩種推導(dǎo)證明“兩角差的余弦公式”的方案．方案一,利用單位圓上的三角函數(shù)線進行探索、推導(dǎo)，讓學(xué)生動手畫圖，構(gòu)造出α－β角，利用學(xué)過的三角函數(shù)知識探索存在一定的難度,教師要作恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo);方案二，利用向量知識探索兩角差的余弦公式時，要注意推導(dǎo)的層次性：①在回顧求角的余弦有哪些方法時，聯(lián)系向量知識，體會向量方法的作用；②結(jié)合有關(guān)圖形，完成運用向量方法推導(dǎo)公式的必要準(zhǔn)備;③探索過程不應(yīng)追求一步到位,應(yīng)先不去理會其中的細(xì)節(jié)，抓住主要問題及其線索進行探索，然后再反思，予以完善;④補充完善的過程，既要運用分類討論的思想,又要用到誘導(dǎo)公式．本節(jié)是數(shù)學(xué)公式的教學(xué)，教師要遵循公式教學(xué)的規(guī)律,應(yīng)注意以下幾方面：①要使學(xué)生了解公式的由來；②使學(xué)生認(rèn)識公式的結(jié)構(gòu)特征，加以記憶;③使學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)和證明;④通過例子使學(xué)生熟悉公式的應(yīng)用，靈活運用公式進行解答有關(guān)問題．三維目標(biāo)1．通過讓學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”，了解單角與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強化題目的訓(xùn)練,加深對兩角差的余弦公式的理解,培養(yǎng)學(xué)生的運算能力及邏輯推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)．2．通過兩角差的余弦公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、證明，體會化歸思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運用，使學(xué)生進一步掌握聯(lián)系的觀點，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力．3．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會探究的樂趣，認(rèn)識到世間萬物的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,養(yǎng)成用辯證與聯(lián)系的觀點看問題．創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強化學(xué)生的參與意識,從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和代換、演繹、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法．重點難點教學(xué)重點:通過探究得到兩角差的余弦公式．教學(xué)難點：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)．課時安排1課時eq\o(\s\up7（）,\s\do5（教學(xué)過程））導(dǎo)入新課思路1.(問題導(dǎo)入)播放多媒體，出示問題,讓學(xué)生認(rèn)真閱讀課本引例．在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識布列方程的過程中，提出了兩個問題：①實際問題中存在研究像tan（45°＋α）這樣的包含兩個角的三角函數(shù)的需要;②實際問題中存在研究像sinα與tan(45°＋α）這樣的包含兩角和的三角函數(shù)與α、45°單角的三角函數(shù)的關(guān)系的需要．在此基礎(chǔ)上，再一般化而提出本節(jié)的研究課題進入新課．思路2.推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題）)①請學(xué)生猜想cos(α－β）＝？②利用前面學(xué)過的單位圓上的三角函數(shù)線，如何用α、β的三角函數(shù)來表示cos(α－β)呢？③利用向量的知識，又能如何推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)cos(α－β）＝?④細(xì)心觀察C(α－β)公式的結(jié)構(gòu)，它有哪些特征?其中α、β角的取值范圍如何？⑤如何正用、逆用、靈活運用C（α－β）公式進行求值計算？活動：問題①，出示問題后，教師讓學(xué)生充分發(fā)揮想象能力嘗試一下，大膽猜想，有的同學(xué)可能就首先想到cos（α－β)＝cosα－cosβ的結(jié)論，此時教師適當(dāng)?shù)狞c撥，然后讓學(xué)生由特殊角來驗證它的正確性．如α＝60°，β＝30°，則cos（α－β）＝cos30°＝eq\f（\r（3），2）,而cosα－cosβ＝cos60°－cos30°＝eq\f(1－\r(3)，2），這一反例足以說明cos（α－β）≠cosα－cosβ.讓學(xué)生明白,要想說明猜想正確，需進行嚴(yán)格證明，而要想說明猜想錯誤，只需一個反例即可．問題②，既然cos(α－β)≠cosα－cosβ，那么cos（α－β)究竟等于什么呢？由于這里涉及的是三角函數(shù)的問題，是α－β這個角的余弦問題，我們能否利用單位圓上的三角函數(shù)線來探究呢？如圖1，設(shè)角α的終邊與單位圓的交點為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β。過點P作PM垂直于x軸，垂足為M,那么OM就是角α－β的余弦線，即OM＝cos(α－β)，這里就是要用角α、β的正弦線、余弦線來表示OM。過點P作PA垂直于OP1，垂足為A，過點A作AB垂直于x軸,垂足為B,過點P作PC垂直于AB，垂足為C。那么，OA表示cosβ，AP表示sinβ，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α.于是，OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα。所以，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ。圖1教師引導(dǎo)學(xué)生進一步思考，以上的推理過程中，角α、β、α－β是有條件限制的，即α、β、α－β均為銳角，且α>β,如果要說明此結(jié)果是否對任意角α、β都成立，還要做不少推廣工作，并且這項推廣工作的過程比較繁瑣,由同學(xué)們課后動手試一試．問題③，教師引導(dǎo)學(xué)生,可否利用剛學(xué)過的向量知識來探究這個問題呢？如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α、β,它們的終邊與單位圓O的交點分別為A、B，則eq\o（OA，\s\up6（→））＝（cosα，sinα)，eq\o（OB，\s\up6(→）)＝（cosβ，sinβ),∠AOB＝α－β.圖2由向量數(shù)量積的定義有eq\o（OA,\s\up6（→)）·eq\o（OB,\s\up6(→）)＝|eq\o（OA，\s\up6(→)）｜|eq\o（OB，\s\up6（→）)|·cos（α－β)＝cos（α－β），由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有eq\o（OA，\s\up6（→))·eq\o（OB,\s\up6（→））＝（cosα,sinα）(cosβ,sinβ）＝cosαcosβ＋sinαsinβ,于是，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.我們發(fā)現(xiàn)，運用向量工具進行探究推導(dǎo)，過程相當(dāng)簡潔,但在向量數(shù)量積的概念中，角α－β必須符合條件0≤α－β≤π，以上結(jié)論才正確，由于α、β都是任意角，α－β也是任意角，因此就是研究當(dāng)α－β是任意角時，以上公式是否正確的問題．當(dāng)α－β是任意角時，由誘導(dǎo)公式，總可以找到一個角θ∈［0，2π)，使cosθ＝cos（α－β),若θ∈[0，π]，則eq\o(OA，\s\up6（→)）·eq\o(OB,\s\up6(→))＝cosθ＝cos（α－β）．若θ∈[π,2π］，則2π－θ∈[0，π]，且eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o(OB，\s\up6（→))＝cos(2π－θ）＝cosθ＝cos(α－β）．由此可知，對于任意角α、β都有eq\x（cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβCα－β）此公式給出了任意角α、β的正弦、余弦值與其差角α－β的余弦值之間的關(guān)系,稱為差角的余弦公式，簡記為C（α－β)．有了公式C（α－β）以后，我們只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值，就可以求得cos(α－β）的值了．問題④,教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式C（α－β）的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)公式左邊是“兩角差的余弦”，右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”，可讓學(xué)生結(jié)合推導(dǎo)過程及結(jié)構(gòu)特征進行記憶,特別是運算符號，左“－"右“＋"．或讓學(xué)生進行簡單填空，如：cos（A－B)＝________，cos（θ－φ)＝________等．因此，只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α－β）的值了．問題⑤，對于公式的正用是比較容易的，關(guān)鍵在于“拆角”的技巧，而公式的逆用則需要學(xué)生的逆向思維的靈活性,特別是變形應(yīng)用,這就需要學(xué)生具有較強的觀察能力和熟練的運算技巧．如cos75°cos45°＋sin75°sin45°＝cos(75°－45°）＝cos30°＝eq\f（\r（3），2)，cosα＝cos[（α＋β）－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.討論結(jié)果：①～⑤略．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例)）思路1例1利用差角余弦公式求cos15°的值．活動：先讓學(xué)生自己探究，對有困難的學(xué)生教師可點撥學(xué)生思考題目中的角15°，它可以拆分為哪些特殊角的差，如15°＝45°－30°或者15°＝60°－45°，從而就可以直接套用公式C(α－β）計算求值．教師不要包辦，充分讓學(xué)生自己獨立完成，在學(xué)生的具體操作下,體會公式的結(jié)構(gòu)，公式的用法以及把未知轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)思想方法．對于很快就完成的同學(xué),教師鼓勵其換個角度繼續(xù)探究．解：方法一：cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f（\r(2),2）×eq\f(\r(3），2）＋eq\f(\r（2）,2）×eq\f(1,2)＝eq\f（\r(6）＋\r（2)，4).方法二：cos15°＝cos（60°－45°）＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝eq\f（1，2）×eq\f（\r(2),2）＋eq\f（\r（2），2)×eq\f（\r（3），2）＝eq\f（\r(6）＋\r(2),4）。點評：本題是指定方法求cos15°的值，屬于套用公式型的，這樣可以使學(xué)生把注意力集中到使用公式求值上．但是仍然需要學(xué)生將這個非特殊角拆分成兩個特殊角的差的形式,靈活運用公式求值．本例也說明了差角余弦公式也適用于形式上不是差角，但可以拆分成兩角差的情形．至于如何拆分，讓學(xué)生在應(yīng)用中仔細(xì)體會。變式訓(xùn)練1．不查表求sin75°,sin15°的值．解：sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f（\r(2)，2）×eq\f（\r（3），2)＋eq\f（\r(2),2)×eq\f(1，2）＝eq\f（\r(6）＋\r（2),4）.sin15°＝eq\r(1－cos215°)＝eq\r（1－\f（\r(6）＋\r（2),4)2）＝eq\r(\f（8－2\r（6）×\r(2），16））＝eq\f(\r（6）－\r(2),4).點評：本題是例題的變式，比例題有一定的難度,但學(xué)生只要細(xì)心分析，利用相關(guān)的誘導(dǎo)公式，不難得到上面的解答方法．2．不查表求值：cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解：原式＝cos(110°－20°)＝cos90°＝0。點評：此題學(xué)生一看就有似曾相識而又無從下手的感覺，需要教師加以引導(dǎo),讓學(xué)生細(xì)心觀察，再結(jié)合公式C（α－β）的右邊的特征，逆用公式便可得到cos(110°－20°)．這就是公式逆用的典例，從而培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性。例2已知sinα＝eq\f(4，5），α∈（eq\f(π，2)，π)，cosβ＝－eq\f(5，13），β是第三象限角，求cos（α－β）的值．活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到剛剛推導(dǎo)的余弦公式，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn),欲求cos(α－β）的值，必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值，然后利用公式C（α－β)即可求解．從已知條件看，還少cosα與sinβ的值,根據(jù)誘導(dǎo)公式不難求出，但是這里必須讓學(xué)生注意利用同角的平方和關(guān)系式時，角α、β所在的象限,準(zhǔn)確判斷它們的三角函數(shù)值的符號．本例可由學(xué)生自己獨立完成．解：由sinα＝eq\f(4,5),α∈（eq\f(π，2)，π),得cosα＝－eq\r(1－sin2α）＝－eq\r（1－\f(4,5)2）＝－eq\f(3，5）。又由cosβ＝－eq\f(5,13），β是第三象限角,得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－－\f（5,13）2）＝－eq\f（12,13）。所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－eq\f(3,5)）×（－eq\f(5,13）)＋eq\f（4，5)×（－eq\f（12,13）)＝－eq\f(33,65)。點評：本題是直接運用公式C(α－β）求值的基礎(chǔ)練習(xí),但必須思考使用公式前應(yīng)作出的必要準(zhǔn)備．特別是運用同角三角函數(shù)平方關(guān)系式求值時，一定要弄清角的范圍，準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號．教師可提醒學(xué)生注意這點,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。變式訓(xùn)練已知sinα＝eq\f（4，5）,α∈（0,π），cosβ＝－eq\f(5,13）,β是第三象限角，求cos（α－β)的值．解：①當(dāng)α∈[eq\f(π，2）,π）時，由sinα＝eq\f（4,5),得cosα＝－eq\r（1－sin2α)＝－eq\r（1－\f（4，5）2)＝－eq\f（3，5），又由cosβ＝－eq\f(5，13）,β是第三象限角，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－－\f(5,13)2）＝－eq\f（12,13).所以cos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝（－eq\f（3，5））×（－eq\f（5，13))＋eq\f（4,5)×（－eq\f(12，13)）＝－eq\f（33,65).②當(dāng)α∈(0,eq\f（π，2)）時，由sinα＝eq\f（4，5），得cosα＝eq\r（1－sin2α)＝eq\r（1－\f（4，5）2）＝eq\f（3，5)，又由cosβ＝－eq\f(5，13），β是第三象限角，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β）＝－eq\r（1－－\f（5,13）2)＝－eq\f(12，13)。所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f（3,5)×（－eq\f(5,13）)＋eq\f(4,5）×(－eq\f(12,13））＝－eq\f（63，65)。點評：本題與例2的顯著的不同點就是角α的范圍不同．由于α∈（0,π），這樣cosα的符號可正、可負(fù)，需討論，教師引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論的思想，對角α進行分類討論，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯的條理性．教師強調(diào)分類時要不重不漏.思路2例1計算：(1)cos（－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；（3)sinxsin（x＋y)＋cosxcos(x＋y)．活動：教師可以大膽放給學(xué)生自己探究，點撥學(xué)生分析題目中的角－15°，思考它可以拆分為哪些特殊角的差，如－15°＝15°－30°或－15°＝45°－60°,然后套用公式求值即可．也可化cos（－15°）＝cos15°再求值．讓學(xué)生細(xì)心觀察(2)（3）可知，其形式與公式C(α－β）的右邊一致,從而化為特殊角的余弦函數(shù)．解：（1)原式＝cos15°＝cos（45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r（2），2)×eq\f（\r(3),2)＋eq\f(\r(2)，2)×eq\f（1，2)＝eq\f(\r（6)＋\r(2）,4)。（2)原式＝cos(15°－105°）＝cos(－90°)＝cos90°＝0.(3)原式＝cos［x－(x＋y）]＝cos(－y）＝cosy.點評：本例重點是訓(xùn)練學(xué)生靈活運用兩角差的余弦公式進行計算求值，從不同角度培養(yǎng)學(xué)生正用、逆用、變形用公式解決問題的能力，為后面公式的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)．例2已知cosα＝eq\f（1,7)，cos(α＋β）＝－eq\f(11,14)，且α、β∈(0，eq\f(π，2)）,求cosβ的值．活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目中的條件與所求，讓學(xué)生探究α、α＋β、β之間的關(guān)系,也就是尋找已知條件中的角與所求角的關(guān)系．學(xué)生通過探究、討論不難得到β＝（α＋β)－α的關(guān)系式，然后利用公式C（α－β)求值即可．但還應(yīng)提醒學(xué)生注意由α、β的取值范圍求出α＋β的取值范圍，這是很關(guān)鍵的一點，從而判斷sin（α＋β）的符號進而求出cosβ.解：∵α、β∈（0，eq\f(π，2）），∴α＋β∈(0，π）．又∵cosα＝eq\f(1，7），cos（α＋β）＝－eq\f(11,14)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α）＝eq\f（4\r(3),7），sin(α＋β）＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(5\r(3）,14).又∵β＝(α＋β）－α，∴cosβ＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β)sinα＝(－eq\f(11,14）)×eq\f（1，7）＋eq\f(5\r（3），14)×eq\f(4\r(3),7）＝eq\f（1，2)。點評：本題相對于例1難度大有提高，但是只要引導(dǎo)適當(dāng)，學(xué)生不難得到β＝(α＋β)－α的關(guān)系式,繼而運用公式解決．但值得注意的是α＋β的取值范圍確定,也是很關(guān)鍵的,這是我們以后解題當(dāng)中常見的問題。變式訓(xùn)練1．求值：cos15°＋sin15°。解：原式＝eq\r(2)（eq\f（\r(2）,2)cos15°＋eq\f（\r(2），2)sin15°）＝eq\r(2）(cos45°cos15°＋sin45°sin15°)＝eq\r（2)cos(45°－15°)＝eq\r（2）cos30°＝eq\f(\r（6），2）.2．已知sinα＋sinβ＝eq\f(3,5)，cosα＋cosβ＝eq\f(4,5)，求cos(α－β)的值．解：∵（sinα＋sinβ）2＝（eq\f（3,5)）2，(cosα＋cosβ)2＝(eq\f(4,5))2，以上兩式展開兩邊分別相加，得2＋2cos(α－β)＝1，∴cos（α－β）＝－eq\f（1，2）.點評：本題又是公式C(α－β)的典型應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵就是將已知中的兩個和式兩邊平方，從而得到公式C(α－β）中cosαcosβ和sinαsinβ的值，即可求得cos(α－β）的值，本題培養(yǎng)了學(xué)生綜合運用三角函數(shù)公式解決問題的能力．3．已知銳角α、β滿足cosα＝eq\f（4,5）,tan(α－β）＝－eq\f(1,3），求cosβ.解：∵α為銳角，且cosα＝eq\f(4,5)，得sinα＝eq\f（3，5）。又∵0<α<eq\f（π，2)，0〈β〈eq\f（π，2）,∴－eq\f（π，2)<α－β〈eq\f（π，2).又∵tan(α－β)＝－eq\f（1,3)〈0，∴cos（α－β）＝eq\f(3,\r(10））。從而sin(α－β)＝tan（α－β）cos（α－β)＝－eq\f(1,\r(10)）。∴cosβ＝cos［α－（α－β)]＝cosαcos（α－β)＋sinαsin(α－β）＝eq\f（4，5)×eq\f(3,\r（10))＋eq\f(3，5)×(－eq\f(1，\r(10）））＝eq\f（9\r(10),50）。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練))課本本節(jié)練習(xí)．解答:1．（1）cos（eq\f（π,2)－α）＝coseq\f(π,2）cosα＋sineq\f(π，2）sinα＝sinα。(2)cos（2π－α)＝cos2πcosα＋sin2πsinα＝cosα.2.eq\f(\r（2)，10）。3。eq\f(15\r（3）－8，34）.4。eq\f（2\r(7)－3\r(5)，12）。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．先由學(xué)生自己思考、回顧公式的推導(dǎo)過程，觀察公式的特征，特別要注意公式既可正用、逆用，還可變形用及掌握變角和拆角的思想方法解決問題．然后教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下知識點小結(jié)：（1）怎么聯(lián)系有關(guān)知識進行新知識的探究？（2）利用差角余弦公式方面:對公式結(jié)構(gòu)和功能的認(rèn)識;三角變換的特點．2．教師畫龍點睛:本節(jié)課要理解并掌握兩角差的余弦公式及其推導(dǎo)，要正確熟練地運用公式進行解題,在解題時要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系，準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號．多對題目進行一題多解，從中比較最佳解決問題的途徑，以達到優(yōu)化解題過程，規(guī)范解題步驟，領(lǐng)悟變換思路，強化數(shù)學(xué)思想方法之目的．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)））課本習(xí)題3.1A組2、3、4、5.eq\o(\s\up7（），\s\do5(設(shè)計感想））1．本節(jié)課是典型的公式教學(xué)模式，因此本節(jié)課的設(shè)計流程為“實際問題→猜想→探索推導(dǎo)→記憶→應(yīng)用”．它充分展示了公式教學(xué)中以學(xué)生為主體,進行主動探索數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程．同時充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生利用舊知識推導(dǎo)、證明新知識，并學(xué)會記憶公式的方法，靈活運用公式解決實際問題，從而培養(yǎng)學(xué)生獨立探索數(shù)學(xué)知識的能力，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．2．3．教學(xué)矛盾的主要方面是學(xué)生的學(xué)，學(xué)是中心,會學(xué)是目的，根據(jù)高中三角函數(shù)的推理特點，本節(jié)主要是教給學(xué)生“研究問題、猜想探索公式、驗證特殊情形、推導(dǎo)公式、學(xué)習(xí)應(yīng)用"的探索創(chuàng)新式學(xué)習(xí)方法．這樣做增強了學(xué)生的參與意識，教給了學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探索推導(dǎo)，獲取新知的途徑，讓學(xué)生真正嘗到探索的喜悅，真正成為教學(xué)的主體．學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的美，產(chǎn)生一種成功感，從而提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．eq\o（\s\up7()，\s\do5（備課資料）)一、當(dāng)α、β為銳角時，cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ的向量證明方法．證明：如圖3所示，在直角坐標(biāo)系中作單位圓O，并作角α與－β，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P1，－β角的終邊與單位圓交于點P2,則圖3eq\o(OP1，\s\up6(→)）＝(cosα,sinα)，eq\o（OP2，\s\up6（→))＝(cos（－β),sin(－β)），eq\o(OP1，\s\up6（→）)與eq\o(OP2，\s\up6(→）)的夾角為α＋β，∵eq\o(OP1，\s\up6(→））·eq\o（OP2,\s\up6（→)）＝｜eq\o（OP1，\s\up6(→）)|｜eq\o(OP2,\s\up6（→））|cos(α＋β），cosαcos(－β）＋sinαsin（－β）＝1·1·cos（α＋β)，cos（α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。二、備用習(xí)題1．若－eq\f（π，2）〈α<β<eq\f(π，2）,則α－β一定不屬于的區(qū)間是（）A．(－π，π)B．(－eq\f(π，2)，eq\f（π，2））C．(－π,0）D．(0,π)答案：D