數(shù)學(xué)示范教案：頻率與概率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精示范教案eq\o(\s\up7()，\s\do5(整體設(shè)計(jì)）)教學(xué)分析教材利用例1給出了頻率和概率的概念，并初步介紹了概率的意義．本小節(jié)例2根據(jù)一批種子的發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果來(lái)估計(jì)其發(fā)芽率得到的結(jié)果是一個(gè)近似值，這個(gè)值可以用全部6次試驗(yàn)中的總的發(fā)芽粒數(shù)與種子總粒數(shù)之比表示．本節(jié)后練習(xí)A的第2題的第（2)小題中“求這個(gè)射手射擊一次擊中靶心的概率”也可以用類(lèi)似的方法計(jì)算．值得注意的是:在教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生對(duì)比頻率和概率的概念和性質(zhì)，明確它們的區(qū)別與聯(lián)系，盡量使用統(tǒng)計(jì)圖或統(tǒng)計(jì)表來(lái)展示頻率的穩(wěn)定性，這樣既直觀易懂,又可以與第二章《統(tǒng)計(jì)》的內(nèi)容相呼應(yīng)．三維目標(biāo)1．了解概率的意義，掌握頻率與概率的區(qū)別．2．正確理解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性，并嘗試澄清日常生活中遇到的一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)．3．加強(qiáng)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)身邊的一些隨機(jī)事件．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：頻率和概率的概念．教學(xué)難點(diǎn)：概率的統(tǒng)計(jì)定義以及概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系．課時(shí)安排1課時(shí)．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教學(xué)過(guò)程))導(dǎo)入新課思路1.隨機(jī)事件在試驗(yàn)中可能發(fā)生，發(fā)生的可能性有多大這一問(wèn)題，我們還是從最簡(jiǎn)單的試驗(yàn)—-擲硬幣談起．雖然我們不能預(yù)先判斷出現(xiàn)正面向上,還是反面向上,但是假如硬幣均勻,直觀上可以認(rèn)為出現(xiàn)正面與反面的機(jī)會(huì)相等，即在大量試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的頻率應(yīng)接近于0。5.教師點(diǎn)出課題．思路2.生活中，我們經(jīng)常聽(tīng)到這樣的議論：“天氣預(yù)報(bào)說(shuō)昨天降水概率為90％，結(jié)果根本一點(diǎn)雨都沒(méi)下，天氣預(yù)報(bào)也太不準(zhǔn)確了．”這是真的嗎？為此我們必須學(xué)習(xí)概率的意義．教師點(diǎn)出課題．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問(wèn)題）)1．把全班分成十幾個(gè)小組，每個(gè)小組4～5人．各小組把一枚均勻硬幣至少擲100次，觀察擲出正面向上的次數(shù)，然后把試驗(yàn)結(jié)果及計(jì)算結(jié)果填入下表：小組編號(hào)拋擲次數(shù)（n）正面向上次數(shù)(m)正面向上頻率(eq\f（m,n）)當(dāng)全班做完這一試驗(yàn)后，把試驗(yàn)結(jié)果公布在黑板上，請(qǐng)大家談?wù)勈录罢嫦蛏稀钡陌l(fā)生有沒(méi)有什么規(guī)律可循．2．閱讀教材，什么叫概率？3．舉例說(shuō)明頻率與概率的關(guān)系．4．如果某種彩票中獎(jiǎng)的概率為eq\f(1,1000),那么買(mǎi)1000張彩票一定能中獎(jiǎng)嗎？討論結(jié)果：1．歷史上有些學(xué)者還做了成千上萬(wàn)次擲硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果如下表所示：試驗(yàn)者拋擲次數(shù)（n）正面向上次數(shù)(m）正面向上頻率（eq\f（m，n))棣莫佛204810610。5181蒲豐404020480.5069費(fèi)勒1000049790。4979皮爾遜1200060190。5016皮爾遜24000120120。5005我們可以設(shè)想有1000個(gè)人投擲硬幣，如果每人投5次，計(jì)算每個(gè)人投出正面的頻率，在這1000個(gè)頻率中，一般說(shuō)，0,0。2，0.4,0。6，0.8,1都會(huì)有，而且會(huì)有不少是0或1；如果要求每個(gè)人投20次,這時(shí)頻率為0，0.05，0。95，1的將會(huì)變少,多數(shù)頻率在0.35～0.65之間，甚至比較集中在0.4～0.6之間;如果要求每個(gè)人投擲1000次,這時(shí)絕大多數(shù)的頻率會(huì)集中在0。5的附近,和0。5有較大差距的頻率值也會(huì)有，但這樣的頻率值很少．而且隨著投擲次數(shù)的增多,頻率越來(lái)越明顯地集中在0。5附近．當(dāng)然，即使投擲的次數(shù)再多，也不能絕對(duì)排除出現(xiàn)與0。5差距較大的頻率值，只不過(guò)這種情形極少．人們經(jīng)過(guò)大量試驗(yàn)和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的積累逐漸認(rèn)識(shí)到:在多次重復(fù)試驗(yàn)中，同一事件發(fā)生的頻率在某一個(gè)數(shù)值附近擺動(dòng),而且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一般擺動(dòng)幅度越小，而且觀察到的大偏差也越少,頻率呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性，頻率的穩(wěn)定性揭示出隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有一定的大?。录念l率穩(wěn)定在某一數(shù)值附近，我們就用這一數(shù)值表示事件發(fā)生的可能性大?。?．一般地，在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率eq\f（m，n），當(dāng)n很大時(shí)，總是在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)．隨著n的增大,擺動(dòng)幅度越來(lái)越?。@時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P（A)．從概率的定義中，我們可以看出隨機(jī)事件A的概率P（A）滿足0≤P(A)≤1.這是因?yàn)樵趎次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻數(shù)m滿足0≤m≤n，所以0≤eq\f(m，n)≤1。當(dāng)A是必然事件時(shí)，P(A）＝1，當(dāng)A是不可能事件時(shí),P(A）＝0.3．從定義中,我們還可以看出，概率是可以通過(guò)頻率來(lái)“測(cè)量"的，或者說(shuō)頻率是概率的一個(gè)近似．在前述擲硬幣的例子中，經(jīng)過(guò)前人的反復(fù)多次試驗(yàn)，出現(xiàn)正面的頻率逐漸穩(wěn)定到0.5，那么我們就得到出現(xiàn)正面的概率是0.5。這件事情其實(shí)質(zhì)與測(cè)量長(zhǎng)度一樣平常，給定一根木棒，誰(shuí)都不懷疑它有“客觀”的長(zhǎng)度，長(zhǎng)度是多少？我們可以用尺或儀器去測(cè)量，不論尺或儀器多么精確，測(cè)得的數(shù)值總是穩(wěn)定在木棒真實(shí)的“長(zhǎng)度”值的附近．事實(shí)上，人們也是把測(cè)量所得的值當(dāng)作真實(shí)的“長(zhǎng)度”值．這個(gè)類(lèi)比有助于我們理解頻率和概率之間的內(nèi)在關(guān)系．概率的這種定義叫做概率的統(tǒng)計(jì)定義．在實(shí)踐中很多時(shí)候采用這種方法求事件的概率．有了概率的統(tǒng)計(jì)定義,我們就可以比較不同事件發(fā)生的可能性大小了．4．買(mǎi)1000張彩票，相當(dāng)于1000次試驗(yàn)，因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，所以做1000次試驗(yàn)的結(jié)果也是隨機(jī)的，也就是說(shuō),買(mǎi)1000張彩票有可能沒(méi)有一張中獎(jiǎng)．雖然中獎(jiǎng)的張數(shù)是隨機(jī)的,但這種隨機(jī)性中,具有規(guī)律性，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，即隨著買(mǎi)的彩票的增加，大約有eq\f（1，1000）的彩票中獎(jiǎng)，所以沒(méi)有一張中獎(jiǎng)也是有可能的．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例)）思路1例為了確定某類(lèi)種子的發(fā)芽率，從一大批種子中抽出若干批做發(fā)芽試驗(yàn)，其結(jié)果如下：種子粒數(shù)257013070020003000發(fā)芽粒數(shù)246011663918062713發(fā)芽率(1）完成表格．(2）估計(jì)這類(lèi)種子的發(fā)芽率．分析：(1）利用定義計(jì)算各個(gè)發(fā)芽率；(2）觀察這6個(gè)發(fā)芽率的穩(wěn)定值．解：（1)依據(jù)頻率的計(jì)算公式,所填發(fā)芽率從左到右依次是0.96,0。857，0。892,0.913,0。903,0.904。（2)從以上數(shù)據(jù)可以看出，這類(lèi)種子的發(fā)芽率約為0。9.變式訓(xùn)練一個(gè)地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生兒數(shù)及其中男嬰數(shù)如下：時(shí)間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)新生嬰兒數(shù)554496071352017190男嬰數(shù)2883497069948892男嬰出生的頻率（1）填寫(xiě)表中男嬰出生的頻率(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第3位)．（2)這一地區(qū)男嬰出生的概率約是多少?解：(1）0。5200。5170.5170。517（2)各個(gè)頻率均穩(wěn)定在常數(shù)0.517上,所以這一地區(qū)男嬰出生的概率約是0.517。思路2例某批乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果如下表：抽取球數(shù)n5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902頻率m/n0。90.920。970.940。9540.951當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí),出現(xiàn)優(yōu)等品的頻率值是穩(wěn)定的，接近于某一個(gè)常數(shù)，并在它附近擺動(dòng)，你能觀察出這個(gè)常數(shù)嗎？分析：大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，任意結(jié)果(事件)A出現(xiàn)的頻率盡管是隨機(jī)的，卻“穩(wěn)定”在某一個(gè)常數(shù)附近，試驗(yàn)的次數(shù)越多，頻率與這一常數(shù)的偏差大的可能性越?。治鰰r(shí)關(guān)注當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)逐漸增多時(shí)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)．解：當(dāng)抽查的球數(shù)很多時(shí)，抽到優(yōu)等品的頻率接近于常數(shù)0。95，并在它附近擺動(dòng).變式訓(xùn)練某公司在過(guò)去幾年內(nèi)使用某種型號(hào)的燈管1000支,該公司對(duì)這些燈管的使用壽命（單位：小時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：分組［500，900)［900,1100）[1100,1300）［1300，1500）［1500,1700)[1700,1900)[1900，＋∞)頻數(shù)4812120822319316542頻率（1)將各組的頻率填入表中;（2）根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，計(jì)算燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率．分析：(1)利用定義計(jì)算各組的頻率；(2)壽命不足1500小時(shí)的頻數(shù)等于［500，900),[900，1100）,[1100,1300），[1300,1500)的頻數(shù)的和,用頻率來(lái)估計(jì)概率．解：（1)利用頻率的定義，可得[500,900)的頻率是eq\f（48,1000）＝0.048；[900，1100)的頻率是eq\f(121，1000）＝0.121；[1100，1300)的頻率是eq\f（208,1000)＝0。208；［1300,1500)的頻率是eq\f(223，1000)＝0.223；[1500,1700)的頻率是eq\f(193,1000)＝0。193;[1700,1900)的頻率是eq\f(165，1000）＝0.165；［1900，＋∞)的頻率是eq\f（42，1000）＝0.042。所以頻率依次是0.048,0.121,0。208,0.223，0.193，0.165，0。042。（2）樣本中壽命不足1500小時(shí)的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600，所以樣本中壽命不足1500小時(shí)的頻率是eq\f(600，1000)＝0.6.所以估計(jì)燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率是0.6。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))1．下列結(jié)論正確的是()A．事件A的概率P(A）必有0〈P（A)<1B．事件A的概率P（A）＝0.999,則事件A是必然事件C．用某種藥物對(duì)患有胃潰瘍的500名病人治療，結(jié)果有380人有明顯的療效,現(xiàn)有某胃潰瘍病人服用此藥，則估計(jì)其有明顯療效的可能性為76％D．某獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)率為50％，則某人購(gòu)買(mǎi)此券10張，一定有5張中獎(jiǎng)答案：C2．某人將一枚硬幣連擲了10次，正面朝上的出現(xiàn)了6次，若用A表示正面朝上這一事件，則A的（)A．概率為eq\f（3,5）B．頻率為eq\f（3,5）C．頻率為6D．概率接近0.6解析：頻率為eq\f（6，10）＝eq\f(3，5）.答案：B3．某籃球運(yùn)動(dòng)員，在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí)，結(jié)果如下表所示．投籃次數(shù)48607510010050100進(jìn)球次數(shù)m36486083804076進(jìn)球頻率eq\f（m，n）(1）計(jì)算表中進(jìn)球的頻率；(2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率約為多少？解:(1)填入表中的數(shù)據(jù)依次為0。75,0.80，0。80，0.83,0.80,0。80,0.76。(2）由于上述頻率接近0.80，因此，進(jìn)球的概率約為0。80。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升))用下面的兩排數(shù)做一種游戲，游戲的方法是：甲、乙兩人分別擲骰子．如果骰子上面的數(shù)是幾，就從它們對(duì)應(yīng)的格中的那個(gè)數(shù)后面的數(shù)開(kāi)始向后數(shù)幾個(gè)數(shù)，例如擲骰子得到的數(shù)是3，就從第4個(gè)數(shù)開(kāi)始向后面數(shù)3個(gè)格，如果對(duì)應(yīng)的數(shù)是偶數(shù)就得1分,如果是奇數(shù)不得分,這兩種游戲?qū)住⒁覂扇耸欠窆?？為什么？?23456789101112乙132456127891011分析:觀察甲、乙各自的一排數(shù)可以看到，甲投出骰子,不論上面的數(shù)是幾，最終他得到的都是偶數(shù)，而乙投出骰子，所得數(shù)并非如此．解:因?yàn)榧姿鶎?duì)應(yīng)的數(shù)是從1到12從小到大依次排列，當(dāng)甲第一次投出骰子上的數(shù)是奇(或偶)數(shù)時(shí)，根據(jù)兩數(shù)相加的奇偶性可知：甲所對(duì)應(yīng)的數(shù)一定是偶數(shù)．所以甲得分的概率是100％;對(duì)于乙而言，情況并非如此，例如乙投出骰子是1時(shí)，所得的數(shù)是3。綜上所述，這兩種游戲?qū)?、乙兩人不公平．因?yàn)榧椎梅值母怕适?00%，而乙得分的概率達(dá)不到100%.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié))）本節(jié)課學(xué)習(xí)頻率與概率的概念及其意義．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)))本節(jié)練習(xí)A2、3。eq\o（\s\up7(),\s\do5（設(shè)計(jì)感想））通過(guò)學(xué)生親自動(dòng)手試驗(yàn),突破學(xué)生理解“隨機(jī)事件發(fā)生的隨機(jī)性和隨機(jī)性中的規(guī)律性"的難點(diǎn)．同時(shí)發(fā)現(xiàn)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近，然后得出概率的定義，總結(jié)出頻率與概率的關(guān)系．在這個(gè)過(guò)程中，加深對(duì)知識(shí)的理解，使學(xué)生養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣和科學(xué)的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，運(yùn)用了試驗(yàn)、觀察、探究、歸納和總結(jié)的思想方法，符合新課標(biāo)理念,應(yīng)大力提倡．eq\o（\s\up7()，\s\do5（備課資料)）概率與法律概率論正越來(lái)越多地出現(xiàn)在法庭之上.1968年美國(guó)加利福尼亞州的一個(gè)案件引起了人們的廣泛關(guān)注．目擊證人說(shuō)看到一個(gè)金發(fā)并且扎馬尾樣發(fā)式的白人婦女和一個(gè)有八字須和絡(luò)腮胡的黑人男子在洛杉磯郊區(qū)的一個(gè)小巷跑出來(lái)，而那里正是一位老人剛剛遭受背后襲擊和搶劫的地方．這對(duì)男女開(kāi)著一輛部分是黃色的汽車(chē)逃跑了．因此當(dāng)?shù)鼐齑读薐enet和Malcolm夫婦倆，他們有一輛部分是黃色的林肯轎車(chē)，她通常把她的金發(fā)扎成馬尾狀．他是一個(gè)黑人,盡管被捕時(shí)他的胡子刮得很干凈，但仍然能看出不久前他還是滿臉絡(luò)腮胡的痕跡．在審判中，公訴人指控他夫婦倆有罪的證據(jù)是-—“數(shù)字證明”．以下是由證人指出的特征算出的“保守概率”：有八字胡的男人eq\f（1,4），扎馬尾發(fā)型的女人eq\f(1，1