等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)前n和公式：共5個(gè)量，由三個(gè)公式聯(lián)系，知三可求二.

通項(xiàng)公式：知識(shí)回顧:等差數(shù)列{an}倒序相加法公式2可化為:它的圖象是拋物線y=Ax2+Bx上的離散點(diǎn),橫坐標(biāo)為n，縱坐標(biāo)為

Sn.當(dāng)A≠0，即d≠0時(shí)，上式是關(guān)于n的二次函數(shù),且常數(shù)項(xiàng)為零.導(dǎo)思：等差數(shù)列{an}的判定方法：導(dǎo)學(xué)：例1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27B導(dǎo)思：Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列，公差為m2d例、已知兩個(gè)等差數(shù)列{an},{bn},它們的前n項(xiàng)和分別記為Sn,Tn,例3.解法2：由已知得：例3.典型例題1(1)已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng),其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差為(

)A.5 B.4 C.3 D.2(2)一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶27,則公差d=

.

(3)在項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中,所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150,則n的值為

.

思路分析:(1)(2)利用項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列中,S偶-S奇=nd的性質(zhì)求解或轉(zhuǎn)化為用基本量a1,d求解;(3)利用項(xiàng)數(shù)為2n-1的等差數(shù)列的性質(zhì)求解.解析:(1)由題意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3.∵S偶-S奇=6d,∴d=5.(3)∵等差數(shù)列有2n+1項(xiàng),S奇-S偶=a中,∴a中=15.又S2n+1=(2n+1)a中,∴165+150=(2n+1)×15,∴n=10.答案:(1)C

(2)5

(3)10方法總結(jié)關(guān)于奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的問(wèn)題,用等差數(shù)列的性質(zhì)求解,能簡(jiǎn)化計(jì)算.例4.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354,前12項(xiàng)中,偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32:27,求公差d.解：由題意知，S奇+S偶=354,S偶:S奇=32:27.列方程組解得：S奇=162，S偶=192，S偶-S奇=6d=30，所以d=5.隨堂練習(xí)：跟蹤訓(xùn)練探究二、求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和已知等差數(shù)列{an},求{|an|}的前n項(xiàng)和的步驟:(1)確定通項(xiàng)公式an;(2)根據(jù)通項(xiàng)公式確定數(shù)列{an}中項(xiàng)的符號(hào),即判斷數(shù)列{an}是先負(fù)后正,還是先正后負(fù);(3)去掉數(shù)列{|an|}中各項(xiàng)的絕對(duì)值,轉(zhuǎn)化為{an}的前n項(xiàng)和求解,轉(zhuǎn)化過(guò)程中有時(shí)需添加一部分項(xiàng),以直接利用數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式;(4)將{|an|}的前n項(xiàng)和寫(xiě)成分段函數(shù)的形式.

變式訓(xùn)練2

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=4n-25,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和.解:∵an=4n-25,∴an+1=4(n+1)-25,an+1-an=4,a1=4×1-25=-21,∴數(shù)列{an}是以-21為首項(xiàng),公差為4的等差數(shù)列.∴數(shù)列{an}中前6項(xiàng)均小于0,從第7項(xiàng)起均大于0.①當(dāng)n≥7時(shí),|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+a6)+(a7+a8+…+an)=(a1+a2+…+an)-2(a1+a2+…+a6)=Sn-2S6=2n2-23n+132.②當(dāng)n≤6時(shí),|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=-2n2+23n.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：小結(jié)①③②④則Sn最大。則Sn最小。不等式法求的最值：小結(jié)⑤