數(shù)學(xué)-湖南省長沙市(炎德英才大聯(lián)考)長郡中學(xué)2025屆高三上學(xué)期月考試卷(三)試題和答案_第1頁
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文檔簡介

得分本試卷共8頁。時量120分鐘。滿分150分。1.設(shè)集合A={1,2},B={2,3},C={1,2,3,4},則A.A∩B=B.AUB=CC.AUC=C2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1對應(yīng)的點和復(fù)數(shù)z?=1+2i對應(yīng)的點關(guān)于實軸對A.5B.√5C.—3—4iD.—3+3.已知向量a,b滿足|a|=3,|b|=2√3,且a⊥(a+b),則b在a方向上的A.3B.—3C.—3aD.—a4.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(5)=4,f(x+3)是偶函數(shù),Vx?,x?∈(3,十一),A.f(0)<4C.f(2)>45.若正四棱錐的高為8,且所有頂點都在半徑為5的球面上,則該正四棱A.24B.32C.966.已知曲線y=e2在x=1處的切線l恰好與曲線y=a+lnx相切,則實數(shù)a的值為數(shù)學(xué)試題(長郡版)第1頁(共8頁)7.在直角坐標(biāo)系中,繞原點將x軸的正半軸逆時針旋轉(zhuǎn)角)交縱坐標(biāo)且△OAB的面積,則B點的縱坐標(biāo)為AA8.已知雙曲線C(a>0,b>0)的左頂點為A,F(c,0)是雙曲線C的右焦點,點P在直線x=2c上,且曲線C的離心率是A.2√6B.2√3二、選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.)9.函數(shù))的部分圖象如圖所示,則下列選項中正確的有A.f(x)的最小正周期為2π是f(x)的最小值個單位長度,可得到函D.把函數(shù)y=f(x)的圖象上所有點向右平移個單位長度,可得到函數(shù)y=3sin2x的圖象數(shù)學(xué)試題(長郡版)第2頁(共8頁)A.若B?P與平面ABCD所成的角為,則點P的軌跡長度為11.在2024年巴黎奧運會藝術(shù)體操項目集體全能決賽中,中國隊以69.800分的成績奪得金牌,這是中國藝術(shù)體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌.藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案,它可看作由拋物線C:y2=2px(p>0)繞其頂點分別逆時針旋轉(zhuǎn)90°,180°,270°后所得三條曲線與C圍成的(如圖陰影區(qū)域),A,B為C與其中兩條曲線A.開口向上的拋物線的方程為C.直線x+y=t截第一象限花瓣的弦長的最大值為D.陰影區(qū)域的面積大于4選擇題答題卡題號123456789得分答案三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分.)12.若(x—1)?=ao+ajx+a?x2+a?x3+a?x?+asx?,則a?=則實數(shù)a的取值范圍是數(shù)學(xué)試題(長郡版)第3頁(共8頁)14.設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項積,若T,+an=m,其中常數(shù)m>0,數(shù)列四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15.(本小題滿分13分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知(b+c—a)(b+(1)求A;(2)若D為BC邊上一點,∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=√3,求數(shù)學(xué)試題(長郡版)第4頁(共8頁)16.(本小題滿分15分)AC=1,AA?=2.(2)若直線BA?與平面BCC?B?所成角的正弦值,求平面A?BB?與平面BCC?B?夾角的余弦值.數(shù)學(xué)試題(長郡版)第5頁(共8頁17.(本小題滿分15分)人工智能(AI)是一門極富挑戰(zhàn)性的科學(xué),自誕生以來,理論和技術(shù)日益成熟.某公司研究了一款答題機(jī)器人,參與一場答題挑戰(zhàn).若開始基礎(chǔ)分值為m(m∈N*)分,每輪答2題,都答對得1分,僅答對1題得0分,都答錯得一1分.若該答題機(jī)器人答對每道題的概率均為,每輪答題相互獨立,每輪結(jié)束后機(jī)器人累計得分為X,當(dāng)X=2m時,答題結(jié)(1)當(dāng)m=3時,求機(jī)器人第一輪答題后累計得分X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)當(dāng)m=4時,求機(jī)器人在第6輪答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功的概率.數(shù)學(xué)試題(長郡版)第6頁(共8頁)18.(本小題滿分17分)已知橢圓(C)的長軸是短軸倍,且橢圓上一點到焦點的最遠(yuǎn)距離為3.A,B是橢圓的左、右頂點,過A,B分別做橢圓的切線,取橢圓上x軸上方任意兩點P,Q(P在Q的左側(cè)),并過P,Q兩點分別作橢圓的切線交于R點,直線RP交點A的切線于I,直線RQ交點B的切線于J,過R作AB的垂線交IJ于K.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若R(1,2),直線RP與RQ的斜率分別為k?與k?,求k?k?的值;(3)求證:數(shù)學(xué)試題(長郡版)第7頁(共8頁)19.(本小題滿分17分)對于函數(shù)f(x),若實數(shù)xo滿足f(xo)=xo,則稱xo為f(x)的不動點.的不動點的集合為A.以minM和maxM分別表示集合M中的最小元素和最大元素.(1)若a=0,求A的元素個數(shù)及maxA;(2)當(dāng)A恰有一個元素時,a的取值集合記為B.。數(shù)學(xué)試題(長郡版)第8頁(共8頁)二、選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.)*。*。,又....A?C?D,所以AC//平面A?C?D,同理可證BC//平面A?C?D,又因為ACNB?C=C,且AC,B?CC平面AB?C,所以平面AB?C//平面A?C?D,因為B?PC平面AB?C,所以B?P//AB,CD的中點E,F,連接EF,AF,BF,可得點P在線段EF上運動,若A?P⊥BP,因為AAA?⊥平面ABCD,且BPC平面ABCD,所以AA?⊥BP,A?P∩A?A=A?,A?P,A?AC平面A?AP,故BP工平面A|AP,又APC平面A?AP,故BP⊥AP,所以點P在以AB為直徑的圓上,又因為AB=2AD=2,可得線段EF與以AB為直徑的圓只有一個交點F,所以當(dāng)點P與F重合時,即當(dāng)且僅當(dāng)P為CD的中點時,能使得A?P⊥BP,所以CAF,EF,可得點P在線段AF上運動,沿著AF將直角△AA?F和平面△ADF展開在一個平面上,如圖所示,在對于B,根據(jù)A項分析,由可解得x=0或x=2,即xa=2,代入可得yx=2,對于C,如圖,設(shè)直線x+y=t與第一象限花瓣分別交于點M,N,即得M(t+1-√2t+1,√2t+1-1),N(√2t+1-1,t+1-√2t+1),則弦長為|MN|=√2(t+2-2√2t+1)2=√2|t+由圖知,直線x+y=t經(jīng)過點A時t取最大值4,經(jīng)過點O時t取最小值0,即在第一象限部分滿足0<I<4,在拋物線)上取一點P,使過點P的切線與直線OA平行,由y'=x=1可得切點坐標(biāo)為..下的面積必大故原圖中的陰影部分面積必大故D正確.下三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分.)設(shè)g(x)=x2+4x+a-2,對稱軸為x=-2,g(x)在(-0,-2)上單調(diào)遞減,在(-2,+0)上單調(diào)遞增,∴g(1)>0,且g(-2)<0,即解得-3<a<6,所以a的取值范圍是(-3,6).②若d≠0,則1-a-1=dm2-dma-1∴解得因為∠BAD=3∠CAD,事*事*因為,故……13分,解得AC=3.因為A?C⊥AB,AC,ABC平面ABC,ACNAB=A,所以A?C⊥平面ABC.……………(2)易知A?C,AC,BC兩兩相互垂直,分別以CA,CB,CA?為x,y,z軸建立空間直角坐(0,-k,√3),CB=(0,k,0),CC設(shè)平面BCC?B?的法向量n=(x,y,z),令x=√3,則y=0,z=1,所以平面BCC?B?的一個法向量n=(√3,0,1),設(shè)直線BA與平面BCC?B?所成的角為0,則,解得k=1,………10分可令z=1,則x?=√3.yo=√3,可所以平面A?BB?的一個法向量m=(√3,√3,1),設(shè)平面A?BB?與平面BCC?B?的夾角為α,則15分所以第一輪答題后累計得分X的分布列為:X432……………………8分情況①:前5輪答題中,得1分的有3輪,得0分的有2輪,第6輪得1分;情況②:前4輪答題中,得1分的有3輪,得—1分的有1輪,第5、6輪都得1分,…15分地地所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程………(2)設(shè)過點R的切線方程為y-2=k(x—1),即y=kx+(2—k),由△=0→64k2(2—k)2=4(4k2+3)[4(2—k)2—12],因為AI//K'K//JB,設(shè)P,Q兩點處切線斜率分別為k?,k?,過R點的橢圓的切線方程為y-yo=k(x—x?),即y=kx+(y?—kx?),由△=0,得64k2(kx?—y?)2=4(4k2+3)[4(kx?—yo)2-12],只需證即k?(4-x3)+y?(2+x?)=k?(x2-4)+y(2-x?)4(k?+k?)+2x,yo=(因為所以上式成立,成立.……………………17分所以g(x)在上調(diào)遞增;單調(diào)遞減,注意到g(1)=0,所以g(x)上恰有一個零點x=1,且又g(e-2)=—e-2<0,所以,所以g(x)上恰有一個零點x。,即f(x)在上恰有一個不動點x=1,上恰有一個所以A={x。,1},所以A的元素個數(shù)為2,當(dāng)a>0時,其定義域為(0,+一),設(shè)F(x)=4ax2-2x+1,則△=4—16a,又h(1)=0,所以h(x)在(0,+)上恰有一個零點x=1,即f(x)在(0,+○)上恰有一個不動點x=1,符合題意;②當(dāng)時,△>0,故F(x)恰有兩個零點x?,x?(x?<x?).又因為F(0)=1>0,F(1)=4a-1<0,所以0<x?<1<x?,所以h(x)在(0,x?)上單調(diào)遞增,在(x?,x?)上單調(diào)遞減,在(x?,十)上單調(diào)遞

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