3.2.1 單調(diào)性與最大(小)值（第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性）（教學(xué)課件） -人教A版2019必修第一冊(cè)高一數(shù)學(xué)（人教A版2019必修一）

人教A版2019高一數(shù)學(xué)（必修一）第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性3.2.1單調(diào)性與最大(小)值目錄/CONTENTS新知探究情景導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂小結(jié)分層練習(xí)錯(cuò)因分析1.理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性的定義．2.掌握定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（重點(diǎn)、難點(diǎn)）．3.掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(重點(diǎn)).4.會(huì)用函數(shù)的單調(diào)性解答有關(guān)問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)

前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義和表示法，知道函數(shù)y=f(x)，x∈A是描述了客觀世界中變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就是事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模．這樣，我們就可以通過(guò)研究函數(shù)的變化規(guī)律來(lái)把握客觀世界中相應(yīng)事物的變化規(guī)律．因此，研究函數(shù)的性質(zhì)，如隨著自變量的增大函數(shù)值增大還是減小，有沒有最大值或最小值，函數(shù)圖像有什么特征等，是認(rèn)識(shí)客觀規(guī)律的重要方法．情景導(dǎo)入觀察下面各個(gè)函數(shù)的圖象，說(shuō)說(shuō)圖象有什么特點(diǎn)或變化規(guī)律？它們分別反映了函數(shù)的哪些性質(zhì)？圖象從左到右保持遞增圖象從左到右有增有減圖象關(guān)于y軸對(duì)稱單調(diào)性奇偶性定性:圖形語(yǔ)言定量:符號(hào)語(yǔ)言圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱在初中，我們利用函數(shù)的圖像研究過(guò)函數(shù)值隨著自變量的增大而增大（或減?。┑男再|(zhì)，這一性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)．接下來(lái)我們進(jìn)一步用符號(hào)語(yǔ)言刻畫這種性質(zhì)．先研究

f(x)=x2的單調(diào)性．圖像特征：

從左往右看，y軸左側(cè)部分是下降的，y軸右側(cè)部分是上升的；兩變量的變化關(guān)系：

當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；符號(hào)語(yǔ)言描述：

任意取x1，x2∈(-∞，0]，得到f(x1)=x12，f(x2)=x22，當(dāng)x1<x2時(shí)，有f(x1)>f(x2)．這時(shí)我們就說(shuō)函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-∞，0]上是單調(diào)遞減的．

任意取x1，x2∈[0，+∞)，得到f(x1)=x12，f(x2)=x22，當(dāng)x1<x2時(shí)，有f(x1)<f(x2)．這時(shí)我們就說(shuō)函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[0，+∞)上是單調(diào)遞增的．

新知探究

y=-x2y=|x|函數(shù)f

(x)

=|x|，f

(x)

=-x2各有怎樣的單調(diào)性？思考

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，?x1，

x2∈D，且x1<x2，如果都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；如果都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減．xy0概念歸納特別的，函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們稱它是增函數(shù)；函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們稱它是減函數(shù)．

我們說(shuō)一個(gè)函數(shù)f(x)的增函數(shù)或減函數(shù)，一定說(shuō)在定義域上某個(gè)區(qū)間上的增（減）函數(shù)．

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．概念歸納（1）設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且?x1，x2∈A，當(dāng)x1<x2時(shí)都有f

(x1)<f

(x2)，我們能說(shuō)函數(shù)f

(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎？

你能舉例說(shuō)明嗎？【解析】不能，如圖，取A={1，2，3，4}，D=[1，4]，?x1，x2∈A且x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，但f(x)在區(qū)間[1，4]不是單調(diào)函數(shù)．思考（2）函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，你能舉出在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)的例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？思考

單調(diào)遞增單調(diào)遞減定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，?x1，x2∈D,

當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增,區(qū)間D為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.?x1，x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)＞f(x2),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減,區(qū)間D為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.圖示注：①當(dāng)函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增(減)時(shí)，則稱f(x)是增(減)函數(shù).②若f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，則稱f(x)在區(qū)間D具有嚴(yán)格的單調(diào)性.常數(shù)函數(shù)不具有嚴(yán)格的單調(diào)性.單調(diào)性是局部性質(zhì)單調(diào)性的定義：【例1】根據(jù)定義,研究函數(shù)

f(x)=kx+b(k≠0)的單調(diào)性．課本例題【例2】物理學(xué)中的玻意耳定律,(k為正常數(shù))告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.試對(duì)此用函數(shù)的單調(diào)性證明．

【分析】根據(jù)題意，只要證明函數(shù)是減函數(shù)即可.

課本例題【例3】根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增．假設(shè)作差變形定號(hào)定論課本例題1．請(qǐng)根據(jù)下圖描述某裝配線的生產(chǎn)效率與生產(chǎn)線上工人數(shù)量間的關(guān)系．由題中圖象先上升后下降可知，工人數(shù)在一定范圍內(nèi)時(shí)，生產(chǎn)效率隨著工人數(shù)的增加而提高，而當(dāng)工人數(shù)超過(guò)某一數(shù)量后，隨著工人數(shù)的增加，生產(chǎn)效率反而降低．課本練習(xí)課本練習(xí)課本練習(xí)課本練習(xí)課本練習(xí)混淆“單調(diào)區(qū)間”與“在區(qū)間上單調(diào)”致錯(cuò)【典例】

若函數(shù)y=|x-2a|在區(qū)間(-∞,6]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.錯(cuò)解:函數(shù)y=|x-2a|的圖象如圖所示.

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(-∞,6]上單調(diào)遞減,所以有2a=6,即a=3.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?錯(cuò)因分析提示:錯(cuò)解是由于對(duì)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是(-∞,6]”和“函數(shù)在區(qū)間(-∞,6]上單調(diào)遞減”理解不清,將二者等同起來(lái)而導(dǎo)致的,事實(shí)上,二者的含義是不同的.正解:函數(shù)y=|x-2a|的圖象如圖所示,因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(-∞,6]上單調(diào)遞減,所以有2a≥6,即a≥3.防范措施單調(diào)區(qū)間是一個(gè)整體的概念,例如函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是D,指的是函數(shù)遞減的最大范圍是區(qū)間D,而函數(shù)在D上單調(diào)遞減,則區(qū)間D是相應(yīng)單調(diào)遞減區(qū)間的子區(qū)間,在解決此類問題時(shí),一定要將兩種不同的說(shuō)法區(qū)分開來(lái).答案:m≥1典例剖析總結(jié)歸納總結(jié)歸納總結(jié)歸納總結(jié)歸納總結(jié)歸納總結(jié)歸納總結(jié)歸納函數(shù)的單調(diào)性核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)

當(dāng)c>0時(shí)，函數(shù)f(x)與cf(x)的單調(diào)性相同;當(dāng)c<0時(shí)，函數(shù)f(x)與cf(x)的單調(diào)性相反，函數(shù)f(x)和g(x)單調(diào)性相同，則f(x)+g(x)的單調(diào)性與其相同函數(shù)f(x)與f(x)+c的單調(diào)性相同;單調(diào)遞增單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞減圖象單調(diào)性的判斷（1）單調(diào)區(qū)間必須是