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文檔簡介

北京豐臺區(qū)北京第十二中學2024屆高三數(shù)學試題下學期一模預考試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),若的圖象關(guān)于直線對稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則()A. B. C. D.2.如圖,在平面四邊形中,滿足,且,沿著把折起,使點到達點的位置,且使,則三棱錐體積的最大值為()A.12 B. C. D.3.已知集合,,則A. B.C. D.4.在鈍角中,角所對的邊分別為,為鈍角,若,則的最大值為()A. B. C.1 D.5.設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個實數(shù)解,其中,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.7.在中,“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)為奇函數(shù),且,則()A.2 B.5 C.1 D.39.已知實數(shù)、滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),若,則的最小值為()參考數(shù)據(jù):A. B. C. D.11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的,則輸出的()A.9 B.31 C.15 D.6312.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.對定義在上的函數(shù),如果同時滿足以下兩個條件:(1)對任意的總有;(2)當,,時,總有成立.則稱函數(shù)稱為G函數(shù).若是定義在上G函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為________.14.我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭;令上方六尺:問亭方幾何?”大致意思是:有一個四棱錐下底邊長為二丈,高三丈;現(xiàn)從上面截取一段,使之成為正四棱臺狀方亭,且四棱臺的上底邊長為六尺,則該正四棱臺的高為________尺,體積是_______立方尺(注:1丈=10尺).15.若實數(shù),滿足,則的最小值為__________.16.如果拋物線上一點到準線的距離是6,那么______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角的對邊分別為,且,.(1)求的值;(2)若求的面積.18.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)是橢圓上且不在軸上的一個動點,為坐標原點,過右焦點作的平行線交橢圓于、兩個不同的點,求的值.19.(12分)在平面直角坐標系中,以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,并在兩坐標系中取相同的長度單位.已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α為直線的傾斜角).(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點,求角α的大?。?0.(12分)已知向量,函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,三內(nèi)角的對邊分別為,已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點,成等差數(shù)列,且,求a的值.21.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,底面.(1)證明:;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;(2)設(shè)點,若直線與曲線相交于、兩點,求的值

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得,由函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可確定的值,進而確定函數(shù)的解析式,即可求得的值.【詳解】函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),則,所以.又的圖象關(guān)于直線對稱可得,,即,,由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知,,即,綜上,則,.故選:D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用,由對稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù),屬于中檔題.2、C【解析】

過作于,連接,易知,,從而可證平面,進而可知,當最大時,取得最大值,取的中點,可得,再由,求出的最大值即可.【詳解】在和中,,所以,則,過作于,連接,顯然,則,且,又因為,所以平面,所以,當最大時,取得最大值,取的中點,則,所以,因為,所以點在以為焦點的橢圓上(不在左右頂點),其中長軸長為10,焦距長為8,所以的最大值為橢圓的短軸長的一半,故最大值為,所以最大值為,故的最大值為.故選:C.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值,考查學生的空間想象能力與計算求解能力,屬于中檔題.3、D【解析】

因為,,所以,,故選D.4、B【解析】

首先由正弦定理將邊化角可得,即可得到,再求出,最后根據(jù)求出的最大值;【詳解】解:因為,所以因為所以,即,,時故選:【點睛】本題考查正弦定理的應用,余弦函數(shù)的性質(zhì)的應用,屬于中檔題.5、B【解析】

畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像知:,,,計算得到答案.【詳解】,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:根據(jù)圖像知:,,故,且.故.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)零點問題,意在考查學生的計算能力和應用能力,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意,得,,.令,所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,且,即,所以.故選:D.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,考查對數(shù)式比較大小,屬于中檔題.7、C【解析】

由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價條件為,再利用大角對大邊,結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點睛】本題考查充分必要條件的判定,同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應用,考查推理能力,屬于中等題.8、B【解析】

由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應用,考查學生分析問題的能力,難度較易.9、A【解析】

畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,結(jié)合圖形確定目標函數(shù)的最優(yōu)解,代入即可求解,得到答案.【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域,如圖所示,由目標函數(shù),化為直線,當直線過點A時,此時直線在y軸上的截距最大,目標函數(shù)取得最大值,又由,解得,所以目標函數(shù)的最大值為,故選A.【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域,利用“一畫、二移、三求”,確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,及推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

首先的單調(diào)性,由此判斷出,由求得的關(guān)系式.利用導數(shù)求得的最小值,由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù),所以在上遞減,在上遞增.由于,,令,解得,所以,且,化簡得,所以,構(gòu)造函數(shù),.構(gòu)造函數(shù),,所以在區(qū)間上遞減,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.而,所以在區(qū)間上的最小值為,也即的最小值為,所以的最小值為.故選:A【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值,考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,屬于難題.11、B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運算,直至滿足條件退出循環(huán)體,即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框;;;;;,滿足,退出循環(huán),因此輸出,故選:B.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果,模擬程序運行是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗證,通過排除法求得結(jié)果.【詳解】對于選項B,為奇函數(shù)可判斷B錯誤;對于選項C,當時,,可判斷C錯誤;對于選項D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故D錯誤;故選:A.【點睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由不等式恒成立問題采用分離變量最值法:對任意的恒成立,解得,又在,恒成立,即,所以,從而可得.【詳解】因為是定義在上G函數(shù),所以對任意的總有,則對任意的恒成立,解得,當時,又因為,,時,總有成立,即恒成立,即恒成立,又此時的最小值為,即恒成立,又因為解得.故答案為:【點睛】本題是一道函數(shù)新定義題目,考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,考查了學生分析理解能力,屬于中檔題.14、213892【解析】

根據(jù)題意畫出圖形,利用棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺的高,再計算它的體積.【詳解】如圖所示:正四棱錐P-ABCD的下底邊長為二丈,即AB=20尺,高三丈,即PO=30尺,截去一段后,得正四棱臺ABCD-A'B'C'D',且上底邊長為A'B'=6尺,所以,解得,所以該正四棱臺的體積是,故答案為:21;3892.【點睛】本題考查了棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征與應用問題,也考查了棱臺的體積計算問題,屬于中檔題.15、【解析】

由約束條件先畫出可行域,然后求目標函數(shù)的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域,如圖所示,由,即,當平行線經(jīng)過點時取到最小值,由可得,此時,所以的最小值為.故答案為.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的知識,解題的一般步驟為先畫出可行域,然后改寫目標函數(shù),結(jié)合圖形求出最值,需要掌握解題方法.16、【解析】

先求出拋物線的準線方程,然后根據(jù)點到準線的距離為6,列出,直接求出結(jié)果.【詳解】拋物線的準線方程為,由題意得,解得.∵點在拋物線上,∴,∴,故答案為:.【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)3(2)78【解析】試題分析:(1)由兩角和差公式得到,由三角形中的數(shù)值關(guān)系得到,進而求得數(shù)值;(2)由三角形的三個角的關(guān)系得到,再由正弦定理得到b=15,故面積公式為.解析:(1)在中,由,得為銳角,所以,所以,所以.(2)在三角形中,由,所以,由,由正弦定理,得,所以的面積.18、(Ⅰ)(Ⅱ)1【解析】

(Ⅰ)由題,得,,解方程組,即可得到本題答案;(Ⅱ)設(shè)直線,則直線,聯(lián)立,得,聯(lián)立,得,由此即可得到本題答案.【詳解】(Ⅰ)由題可得,即,,將點代入方程得,即,解得,所以橢圓的方程為:;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,設(shè)直線,則直線,聯(lián)立,整理得,所以,聯(lián)立,整理得,設(shè),則,所以,所以.【點睛】本題主要考查橢圓標準方程的求法以及直線與橢圓的綜合問題,考查學生的運算求解能力.19、(1)當時,直線l方程為x=-1;當時,直線l方程為y=(x+1)tanα;x2+y2=2x(2)或.【解析】

(1)對直線l的傾斜角分類討論,消去參數(shù)即可求出其普通方程;由,即可求出曲線C的直角坐標方程;(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程,根據(jù)條件Δ=0,即可求解.【詳解】(1)當時,直線l的普通方程為x=-1;當時,消去參數(shù)得直線l的普通方程為y=(x+1)tanα.由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即為曲線C的直角坐標方程.(2)把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcosα+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cosα=或cosα=,故直線l的傾斜角α為或.【點睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,極坐標方程化直角坐標方程,考查直線與曲線的關(guān)系,屬于中檔題.20、(1),(2)【解析】

(1)利用向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡得,故可求其周期與單調(diào)性;(2)根據(jù)圖像過得到,故可求得的大小,再根據(jù)數(shù)量積得到的乘積,最后結(jié)合余弦定理和構(gòu)建關(guān)于的方程即可.【詳解】(1),最小正周期:,由得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由可得:,所以.又因為成等差數(shù)列,所以而,.21、(1)見解析(2)【解析】

(1)利用正弦定理求得,由此得到,結(jié)合證得平面,由此證得.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值,再轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】(1)在中,由正弦定理可得:,,底面,平面,;(2)以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,設(shè)二面角的平面角為,由圖可知為鈍角,則,,故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查空間想象能力和邏輯推理

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