北師大版五年級(jí)（下冊(cè)）數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)歸納

第一單元

分?jǐn)?shù)加減法一、分?jǐn)?shù)的意義

1、分?jǐn)?shù)的意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。

2、分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)單位。

二、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)

1、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：除法中的被除數(shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分子，除數(shù)相等于分母。

2、真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)：

①

分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)，真分?jǐn)?shù)小于1。

②

分子比分母大或分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)大于1或等于1。

③

由整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分組成的分?jǐn)?shù)叫做帶分?jǐn)?shù)。

3、假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)的互化：

①

把假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)，用分子除以分母，所得商作整數(shù)部分，余數(shù)作分子，分母不變。

②

把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，用整數(shù)部分乘以分母加上分子作分子，分母不變。

三、分?jǐn)?shù)的基本質(zhì)

分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變，這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

四、分?jǐn)?shù)的大小比較①

同分母分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)就大，分子小的分?jǐn)?shù)就?。?/p>

②

同分子分?jǐn)?shù)，分母大的分?jǐn)?shù)反而小，分母小的分?jǐn)?shù)反而大。

③

異分母分?jǐn)?shù)，先化成同分母分?jǐn)?shù)（分?jǐn)?shù)單位相同），再進(jìn)行比較。（依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行變化）

五、約分（最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)）

1、最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：分子和分母只有公因數(shù)1的分?jǐn)?shù)叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

2、約分：把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。

（并不是一定要把分?jǐn)?shù)化成與它相等的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)才叫約分；但一般要約到最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止）

注意：分?jǐn)?shù)加減法中，計(jì)算結(jié)果能約分的，一般要約分成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

六、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化：

1、小數(shù)化分?jǐn)?shù)：將小數(shù)化成分母是10、100、1000…的分?jǐn)?shù)，能約分的要約分。具體是：看有幾位小數(shù)，就在1后邊寫幾個(gè)0做分母，把小數(shù)點(diǎn)去掉的部分做分子，能約分的要約分。

2、分?jǐn)?shù)化小數(shù)：用分子除以分母，除不盡的按要求保留幾位小數(shù)。（一般保留三位小數(shù)。）

如果分母只含有2或5的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)。如果含有2或5以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

3、分?jǐn)?shù)和小數(shù)比較大?。阂话惆逊?jǐn)?shù)變成小數(shù)后比較更簡(jiǎn)便。

七、分?jǐn)?shù)的加法和減法

1、分?jǐn)?shù)方程的計(jì)算方法與整數(shù)方程的計(jì)算方法一致，在計(jì)算過(guò)程中要注意統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位。2、分?jǐn)?shù)加減混和運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)加減混和運(yùn)算的運(yùn)算順序相同。在計(jì)算過(guò)程，整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)分?jǐn)?shù)同樣適用。

3、同分母分?jǐn)?shù)加、減法

：同分母分?jǐn)?shù)相加、減，分母不變，只把分子相加減，計(jì)算的結(jié)果，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

4、異分母分?jǐn)?shù)加、減法：異分母分?jǐn)?shù)相加、減，要先通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的方法進(jìn)行計(jì)算；或者先根據(jù)需要進(jìn)行部分通分。根據(jù)算式特點(diǎn)來(lái)選擇方法。

2第二單元

長(zhǎng)方體（一）1、認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體，了解各部分的名稱。

(1)

表面平平的部分稱為面；兩面相交便形成了一條棱；而三條棱又交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫作頂點(diǎn)。

(2)

左面的面叫左面，右面的面叫右面，上面的面叫上面，下面的面叫下面（或叫底面），前面的面叫前面，后面的面叫后面。

(3)

長(zhǎng)方體有12條棱，這12條棱中有4條長(zhǎng)、4條寬和4條高。正方體的12條棱的長(zhǎng)度都相等。（4）正方體是特殊的長(zhǎng)方體。因?yàn)檎襟w可以看成是長(zhǎng)、寬、高都相等的長(zhǎng)方體。

（5）長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=（長(zhǎng)+寬+高）×4=長(zhǎng)×4+寬×4+高×4

長(zhǎng)方體的寬=棱長(zhǎng)總和÷4-長(zhǎng)-高

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)=棱長(zhǎng)總和÷4-寬-高

長(zhǎng)方體的高=棱長(zhǎng)總和÷4-寬-長(zhǎng)

正方體的棱長(zhǎng)總和=棱長(zhǎng)×12

正方體的棱長(zhǎng)=棱長(zhǎng)總和÷122、展開(kāi)與折疊

(正方體展開(kāi)共11種)第一類：1—4—1

型

6個(gè)

第二類：2—3—1

型

3個(gè)

第三類：

2—2—2

型（樓梯形）1個(gè)

第四類：3-3

型

1個(gè)

注意：（1）田字型與凹字型的全錯(cuò)。

（2）正方體展開(kāi)至少和最多都只剪開(kāi)7條棱。3、長(zhǎng)方體的表面積

（1）表面積的意義：是指六個(gè)面的面積之和。

（3）長(zhǎng)方體的表面積=長(zhǎng)×寬×2

+長(zhǎng)×高×2

+寬×高×2

=（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2

（4）正方體的表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×64、露在外面的面

（1）在觀察中，通過(guò)不同的觀察策略進(jìn)行觀察。如：一種是看每個(gè)紙箱露在外面的面，再加到一起；另一種是分別從正面、上面、側(cè)面進(jìn)行不同角度的觀察，看每個(gè)角度都能看到多少個(gè)面，再加到一起。

例如：如圖，4個(gè)棱長(zhǎng)都是10厘米的正方體堆放在墻角處，露在外面的面積是多少？解：首先應(yīng)找出有多少個(gè)面露在外面：如果用法一的方法來(lái)找：3+1+2+3=9（個(gè)）；如果用法二的方法來(lái)找：從上面看有3個(gè)面，從右側(cè)面看有2個(gè)面，從正面看有4個(gè)面，共有3+2+4=9（個(gè)）。因?yàn)槊總€(gè)面都是面積相等的正方形，所以露在外面的面積=10×10×9=900（厘米2）答：露在外面的面積一共是900平方厘米。（2）發(fā)現(xiàn)并找出堆放的正方體的個(gè)數(shù)與露在外面的面的面數(shù)的變化規(guī)律。

（3）求露在外面的面的面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×露在外面的面的個(gè)數(shù)。

3第三單元

分?jǐn)?shù)乘法分?jǐn)?shù)乘法（一）知識(shí)點(diǎn)：(1)理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)意義同整數(shù)乘法意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

(2)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法：分母不變，分子和整數(shù)相乘的積作分子。能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

(3)計(jì)算時(shí)，應(yīng)該先約分再計(jì)算。

分?jǐn)?shù)乘法（二）

知識(shí)點(diǎn)

：

(1)

整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義：求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。

(2)

理解打折的含義。例如：九折，是指現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的十分之九。

補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)：

①打幾折就是指現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的百分之幾，例如八五折，是指現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的百分之八十五。

現(xiàn)價(jià)=原價(jià)×折扣原價(jià)=現(xiàn)價(jià)÷折扣折扣=現(xiàn)價(jià)÷原價(jià)

②

買一贈(zèng)一打幾折：

出一個(gè)的錢拿兩個(gè)貨品，即

1除以2等于零點(diǎn)五，五折

買三贈(zèng)一打幾折：

出三個(gè)的錢拿四個(gè)貨品，即

3除以4等于零點(diǎn)七五，七五折

分?jǐn)?shù)乘法（三）

知識(shí)點(diǎn)：1、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法：分子相乘做分子，分母相乘做分母，能約分的可以先約分。（結(jié)果是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。）

2、比較分?jǐn)?shù)相乘的積與每一個(gè)乘數(shù)的大?。孩僬娣?jǐn)?shù)相乘積小于任何一個(gè)乘數(shù)；②真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)相乘積大于真分?jǐn)?shù)小于假分?jǐn)?shù)。

③乘數(shù)乘以<1的數(shù)，積<乘數(shù)；乘數(shù)乘以=1的數(shù)，積=乘數(shù)；

乘數(shù)乘以>1的數(shù)，積>乘數(shù)；3、求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法。（即已知整體和部分量相對(duì)應(yīng)的分率，求部分量，用乘法）

4、倒數(shù)

（1）如果兩個(gè)數(shù)的乘積是1，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。倒數(shù)是對(duì)兩個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)的，并不是孤立存在的。

（2）當(dāng)互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別作為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬時(shí)，長(zhǎng)方形的面積是1。

（3）1的倒數(shù)仍是1；0沒(méi)有倒數(shù)。0沒(méi)有倒數(shù)，是因?yàn)?不能作除數(shù)。

（4）求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的方法：把這個(gè)數(shù)的分子、分母調(diào)換位置；其中整數(shù)可以看成分母是1的分?jǐn)?shù)。4第四單元

長(zhǎng)方體（二）一、體積與容積概念體積：物體所占空間的大小叫作物體的體積。（從外部測(cè)量）

容積：容器所能容納入體的體積叫做物體的容積。（從內(nèi)部測(cè)量）

注意：①同一個(gè)容器，體積大于容積；當(dāng)容器壁很薄時(shí)，容積近等于體積。如果容器壁忽略不計(jì)時(shí)，容積等于體積。

②幾個(gè)物體拼在一起時(shí)，它們的體積不發(fā)生改變（它們占空間的大小沒(méi)有發(fā)生變化）

二、體積單位1、認(rèn)識(shí)體積、容積單位

常用的體積單位：立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3）

常用的容積單位：升、毫升，1升=1立方分米、1毫升=1立方厘米

2、感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的實(shí)際意義：

①手指頭、蘋果、火柴盒體積較小，可用cm3作單位②西瓜、粉筆盒體積稍大，可以用dm3作單位

③礦泉水瓶、墨水瓶可以用毫升作單位④熱水瓶等較大盛液體容器、冰箱可以用升作單位

⑤我們飲用的自來(lái)水用“立方米”作單位三、長(zhǎng)方體的體積1、長(zhǎng)方體、正方體體積的計(jì)算方法

①長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高，長(zhǎng)用a表示，寬用b表示，高用h表示，體積用V表示，體積可表示為V=abh

②正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，如果棱長(zhǎng)用a表示，體積可表示為V=a3=a×a×a

長(zhǎng)方體（正方體）的體積=底面積×高

V=Sh

補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)：長(zhǎng)方體的體積=橫截面面積×長(zhǎng)

2、能利用長(zhǎng)方體（正方體）的體積及其他兩個(gè)條件求出問(wèn)題。如：長(zhǎng)方體的高=體積÷長(zhǎng)÷寬

長(zhǎng)=體積÷高÷寬

寬=體積÷高÷長(zhǎng)

注意：計(jì)算體積時(shí)，單位一定要統(tǒng)一；表面積與體積表示的意義不一樣，單位不同，無(wú)法比較大小。四、體積單位的換算

認(rèn)識(shí)體積、容積單位。常用的體積單位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）

、立方米（m3）。

常用的容積單位有：升（L）、毫升（m

L）

知識(shí)點(diǎn)：1、體積、容積單位之間的進(jìn)率：相鄰體積、容積單位間進(jìn)為1000

1米3=1000分米3

1分米3=1000厘米31升=1分米3

1毫升=1厘米3

1升=1000毫升2、體積、容積單位之間的換算方法：體積、容積單位之間的換算，由高級(jí)單位化成低級(jí)單位乘進(jìn)率，由低級(jí)單位化成高級(jí)單位除以進(jìn)率

五、有趣的測(cè)量1、不規(guī)則物體體積的測(cè)量方法：一般都是把不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化成可通過(guò)測(cè)量計(jì)算的水的體積（注意液面是“升高了”還是“升高到”）注意：在測(cè)量體積較小的不規(guī)則物體的體積時(shí)，要先測(cè)量出一定數(shù)量物體的體積，再算出一個(gè)物體的體積2、不規(guī)則物體體積的計(jì)算方法：現(xiàn)在液體體積減去原來(lái)液體體積5第五單元

分?jǐn)?shù)除法一、分?jǐn)?shù)除法（一）分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的意義及計(jì)算方法。分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，就是求這個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外）等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

二、分?jǐn)?shù)除法（二）1、一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的意義和基本算理：一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的意義與整數(shù)除法的意義相同；一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

2、一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法：

除以一個(gè)數(shù)（0除外）等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

3、比較商與被除數(shù)的大小。

除數(shù)小于1，商大于被除數(shù)；除數(shù)等于1。商等于被除數(shù)；除數(shù)大于1，商小于被除數(shù)。

三、分?jǐn)?shù)除法（三）1、列方程“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的方法：

（1）解方程法：設(shè)未知數(shù)，這里的單位“1”未知，所以設(shè)單位“1”為x，再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義列出等量關(guān)系式解這個(gè)方程。

（2）算術(shù)方法：用部分量除以它所占整體的幾分之幾

（對(duì)應(yīng)量÷對(duì)應(yīng)分率=標(biāo)準(zhǔn)量）

2、判斷單位“1”：

①一般來(lái)說(shuō)，某個(gè)數(shù)的幾分之幾，“某個(gè)數(shù)”就是單位“1”

②數(shù)比誰(shuí)多幾分之幾或少幾分之幾，“比”字后面的數(shù)量就是單位“1”③誰(shuí)是誰(shuí)的幾分之幾，“是”字后面的數(shù)量就是單位“1”

四、倒數(shù)1、理解倒數(shù)的意義：

如果兩個(gè)數(shù)的乘積是1，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。倒數(shù)是對(duì)兩個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)的，并不是孤立存在的。

2、求倒數(shù)的方法：把這個(gè)數(shù)的分子和分母調(diào)換位置。

3、1的倒數(shù)仍是1；0沒(méi)有倒數(shù)。（0沒(méi)有倒數(shù)，是因?yàn)樵诜謹(jǐn)?shù)中，0不能做分母。）6第六單元

確定位置確定位置（一）知識(shí)點(diǎn)1、

認(rèn)識(shí)方向與距離對(duì)確定位置的作用。

2、

能根據(jù)方向和距離確定物體的位置。

3、

能描述簡(jiǎn)單的路線圖。

確定位置（二）知識(shí)點(diǎn)

了解確定物體位置的方法。

能根據(jù)平面圖確定圖中任意兩地的相對(duì)位臵（以其中一地為觀察點(diǎn)，度量另一地所在方向以及兩地的距離）1、數(shù)對(duì)：一般由兩個(gè)數(shù)組成。

作用：數(shù)對(duì)可以表示物體的位置，也可以確定物體的位置。

2、行和列的意義：豎排叫做列，橫排叫做行。

3、數(shù)對(duì)表示位置的方法：先表示列，再表示行。用括號(hào)把代表列和行的數(shù)字或字母括起來(lái)，再用逗號(hào)隔開(kāi)。例如：在方格圖（平面直角坐標(biāo)系）中用數(shù)對(duì)（3，5）表示（第三列，第五行）（1）在平面直角坐標(biāo)系中X軸上的坐標(biāo)表示列，y軸上的坐標(biāo)表示行。如：數(shù)對(duì)（3,2）表示第三列，第二行。（2）數(shù)對(duì)（X，5）的行號(hào)不變，表示一條橫線，（5，Y）的列號(hào)不變，表示一條豎線。（有一個(gè)數(shù)不確定，不能確定一個(gè)點(diǎn)）4、兩個(gè)數(shù)對(duì)，前一個(gè)數(shù)相同，說(shuō)明它們所表示物體位置在同一列上。如：（2，4）和（2，7）都在第2列上。5、兩個(gè)數(shù)對(duì)，后一個(gè)數(shù)相同，說(shuō)明它們所表示物體位置在同一行上。如：（3，6）和（1，6）都在第6行上。6、圖形平移變化規(guī)律：

（1）圖形向左平移，行數(shù)不變，列數(shù)減去平移的格數(shù)。

圖形向右平移，行數(shù)不變，列數(shù)加上平移的格數(shù)。

（2）圖形向上平移，列數(shù)不變，行數(shù)加上平移的格數(shù)。

圖形向下平移，列數(shù)不變，行數(shù)減去平移的格數(shù)。

7第七單元

用方程解決問(wèn)題1、列方程解應(yīng)用題的步驟：（1）找到題中的等量關(guān)系式（2）解設(shè)所求量為x（3）根據(jù)等量關(guān)系式列出相應(yīng)的方程（4）解答方程，注意計(jì)算結(jié)果不帶單位（5）檢驗(yàn)做答2、在有多個(gè)未知數(shù)量的應(yīng)用題中，通常應(yīng)將1倍數(shù)設(shè)為x，舉例如下：例：爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，父子倆年齡之和為40，求父親和兒子的年齡各是多少歲？解：首先根據(jù)題意找出等量關(guān)系式：爸爸年齡+兒子年齡=40因?yàn)閮鹤幽挲g是1倍數(shù)，所以：設(shè)兒子年齡為x歲，那么爸爸年齡就是4x，代入等量關(guān)系式得：爸爸年齡為：4x=4×8=32(歲)答：爸爸的年齡為32歲，兒子的年齡為8歲。3、相遇問(wèn)題涉及到的公式：路程=速度×?xí)r間時(shí)間=路程÷速度

相距距離=速度和×相遇時(shí)間8第八單元

數(shù)據(jù)的表示和分析1、條形統(tǒng)計(jì)圖

優(yōu)點(diǎn)：很容易看出各種數(shù)量的多少。

注意：畫(huà)條形統(tǒng)