安徽省2024屆新高考數(shù)學(xué)模擬預(yù)測卷（八）（含答案解析）

2024安徽新高考模擬預(yù)測卷（八）（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)分別填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其它答案.非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卡上相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)所給圖形結(jié)合補(bǔ)集的韋恩圖表示得出所求的集合表示式，由此得解.【詳解】依題意，由補(bǔ)集的韋恩圖表示知，圖中陰影部分表示的集合是，因集合，集合，則有，所以圖中陰影部分表示的集合是.故選：C2.使得“”成立的一個(gè)必要且不充分的條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義求解即可.【詳解】使成立的一個(gè)必要不充分條件，滿足不等式的范圍包含，但不完全一致，A選項(xiàng)解集為或，成立，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)解集為，為充要條件，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)解集為，不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A.3.已知非零向量，，且、、不共面．若，則（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由向量平行，得到，利用系數(shù)對(duì)應(yīng)相等構(gòu)建關(guān)系，即求得x，y，即得結(jié)果.【詳解】且，∴，即，又、、不共面，∴，解得，，.故選：B.4.將編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)小球全部放入三個(gè)盒子內(nèi)，若每個(gè)盒子不空，且放在同一個(gè)盒子內(nèi)的小球編號(hào)不相連，則不同的方法總數(shù)有（）A. B.36 C.48 D.60【答案】A【解析】【分析】根據(jù)盒子內(nèi)小球的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，由此求得不同的總數(shù).【詳解】將編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)小球，根據(jù)小球的個(gè)數(shù)可分為1、1、3或1、2、2兩組.當(dāng)三個(gè)盒子中的小球個(gè)數(shù)分別為1、1、3時(shí)，由于放在同一個(gè)盒子里的小球編號(hào)互不相連，故3個(gè)小球的編號(hào)只能是1、2、5的在一個(gè)盒子里，故只有一種分組方法，再分配到三個(gè)盒子，此時(shí)共有種分配方法；當(dāng)三個(gè)盒子中的小球個(gè)數(shù)分別為1、2、2時(shí)，由于放在同一個(gè)盒子里的小球編號(hào)互不相連，此時(shí)放2個(gè)小球的盒子中小球的編號(hào)分別為、或、或、或、或、或、，共6種，再分配到三個(gè)盒子中，此時(shí)，共有種.綜上所述，不同的放法種數(shù)為6+36=42種.故選：A5.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，始與岸齊，問水深、葭長各幾何？”意思是說：“有一個(gè)邊長為丈的正方形水池，在池的正中央長著一根蘆葦，蘆葦露出水面尺．若將蘆葦拉到池邊中點(diǎn)處，蘆葦?shù)捻敹饲『玫竭_(dá)水面．問水有多深？蘆葦多長？”該題所求的水深為（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】A【解析】【分析】設(shè)水深為尺，根據(jù)題意列出有關(guān)的方程，進(jìn)而可求得的值，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)水深為尺，依題意得，解得．因此，水深為尺.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查中國數(shù)學(xué)史，考查考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則A.i B. C.-1+i D.-1-i【答案】D【解析】【分析】先化簡，結(jié)合二項(xiàng)式定理化簡可求.【詳解】，，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，逆用二項(xiàng)式定理要注意配湊出定理的結(jié)構(gòu)形式.7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，且，則滿足的最大正整數(shù)n的值為（）A.4041 B.4039 C.2021 D.2020【答案】B【解析】【分析】由于等差數(shù)列的前項(xiàng)和存在最大值，則首項(xiàng)，公差；又可得；再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果．【詳解】∵等差數(shù)列存在最大值且，∴首項(xiàng)，公差，即等差數(shù)列為遞減數(shù)列，∴，∵，所以∴，.所以滿足的最大正整數(shù)的值為.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于中檔題.8.設(shè)且，若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，分別求得時(shí)以及x>0時(shí)函數(shù)對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)情況，再結(jié)合題意，即可求得參數(shù)范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，；對(duì)，其開口向上，對(duì)稱軸為，且，故當(dāng)，即，也即或時(shí)，在恒成立，故在沒有極值點(diǎn)；當(dāng)，即，也即時(shí)，存在，使得，故，>0，y=f(x)單調(diào)遞增；在，，y=f(x)單調(diào)遞減，y=f(x)在有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)x>0時(shí)，，令，；故當(dāng)時(shí)，>0，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，故當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；當(dāng)>0，即時(shí)，，故存在，滿足；又當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，趨近于，故存在，滿足；故當(dāng)時(shí)，，y=f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，>0，y=f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，y=f(x)單調(diào)遞減，故此時(shí)在存在個(gè)極值點(diǎn)；綜上所述，若y=f(x)有個(gè)極值點(diǎn)，則y=f(x)在有一個(gè)極值點(diǎn)，在存在個(gè)極值點(diǎn)，此時(shí)，且，故故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考察利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的范圍問題；解決問題的關(guān)鍵是：能夠利用導(dǎo)數(shù)研究時(shí)，以及x>0時(shí)，的單調(diào)性和極值點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍，從而結(jié)合題意，解決問題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法中正確的是（）A設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則B.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則C.；D.已知隨機(jī)變量滿足，，若，則隨著x的增大而減小，隨著x的增大而增大【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)都可以通過計(jì)算證明它們是正確的；對(duì)于選項(xiàng)根據(jù)方差的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng)C.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)設(shè)隨機(jī)變量，則，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)因?yàn)殡S機(jī)變量，所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是，因?yàn)椋?，所以，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)，，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)由題意可知，，，由一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，隨著x的增大而減小，隨著x的增大而增大，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布和正態(tài)分布的應(yīng)用，考查期望和方差的計(jì)算及其性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.（2021·全國高二專題練習(xí)）10.1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章.人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等.設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為，，下列結(jié)論正確的是（）A.衛(wèi)星向徑的取值范圍是B.衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間C.衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D.衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)和面積守恒規(guī)律，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】根據(jù)橢圓定義知衛(wèi)星向徑的取值范圍是，正確；當(dāng)衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)，對(duì)應(yīng)的面積更大，面積守恒規(guī)律，速度更慢，正確；，當(dāng)比值越大，則越小，橢圓軌道越圓，錯(cuò)誤.根據(jù)面積守恒規(guī)律，衛(wèi)星在近地點(diǎn)時(shí)向徑最小，故速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑最大，故速度最小，正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義和性質(zhì)，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.11.對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在處取得極大值B.有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C.D.若在上恒成立，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定的單調(diào)性極值及最值情況，就能確定ABC的正誤，對(duì)于D，恒成立問題，可通過參變分離求最值來解決.【詳解】【解】A選項(xiàng)，，定義域?yàn)椋?，令，解得，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在時(shí)取得極大值也是最大值，故A對(duì)，B選項(xiàng)，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：函數(shù)有且只有唯一一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)，C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，，，，故C對(duì)，D選項(xiàng)，，故，由于函數(shù)在上恒成立，，設(shè)，定義域?yàn)椋瑒t，設(shè)，解得，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，故，故D對(duì).故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．（第14題答對(duì)第一空得3分，答對(duì)第二空得2分.）12.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2．給出以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤；其中正確結(jié)論的序號(hào)是__【答案】③④【解析】【分析】利用向量的加減運(yùn)算可判斷①②③；根據(jù)向量的數(shù)量積的定義可判斷④⑤.【詳解】連接交于O，則O為的中點(diǎn)，對(duì)于①，；對(duì)于②，；對(duì)于③，；對(duì)于④，,由題意可知≌，則，故④；對(duì)于⑤，由題意知，則，故不是直角，故；故正確結(jié)論的序號(hào)是③④，故答案為：③④13.某公司計(jì)劃建設(shè)一個(gè)游樂場，規(guī)劃游樂場為如圖所示的四邊形區(qū)域，其中三角形區(qū)域中，百米，百米，三角形區(qū)域是以為斜邊的等腰直角三角形，現(xiàn)計(jì)劃在三角形區(qū)域內(nèi)修建水上項(xiàng)目，則的最大面積為______【答案】平方百米【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)坐標(biāo)以及點(diǎn)的軌跡求得的最大面積.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，所以的面積為，由于，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，三角形的面積取得最大值為平方百米.故答案為：平方百米【點(diǎn)睛】求解三角形面積有關(guān)問題，要選擇合適的三角形面積公式.求解三角形面積最值有關(guān)問題，可先求得三角形面積的表達(dá)式，然后根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，考慮利用三角函數(shù)、不等式等知識(shí)來求最值.14.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，記的導(dǎo)數(shù)為．如果對(duì)x(a，b)，都有，則有如下性質(zhì)：，其中n，，，…，(a，b)．若，則＝_______；在銳角△ABC中，根據(jù)上述性質(zhì)推斷：sinA＋sinB＋sinC的最大值為_______．【答案】①.②.【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)，則，由正弦函數(shù)的圖象可知成立，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的最大值．【詳解】解：設(shè)，，則，則，，有如下性質(zhì)：．則，的最大值為，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知為等差數(shù)列，是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，（1）求和的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)滿足，記的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列的公比為，由條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求，再由通項(xiàng)公式求解；（2）根據(jù)分組求和法求和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，且，由題意得:解得:，；【小問2詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，+1令則，16.四棱錐中，底面為矩形，，，平面與平面的交線為.（1）求證：直線平行于平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意證得平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理證得直線，再由線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，取的方向向量，根據(jù)，，利用向量的夾角公式，求得，進(jìn)而求得平面和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)榈酌媸蔷匦?，可得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫移矫嫫矫?，所以直線，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2詳解】解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，，垂直于平面的直線分別為軸、軸和軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)，取的方向向量，因?yàn)椋?，可得，又因?yàn)?，可得，即，解得，即，設(shè)平面法向量，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取取，可得，所以，所以，由圖象可得，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.17.為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球個(gè)人賽，有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加，甲與其他三人各進(jìn)行一場比賽，共進(jìn)行三場比賽，而且三場比賽相互獨(dú)立.根據(jù)甲最近分別與乙、丙、丁比賽的情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：乙丙丁比賽的次數(shù)606050甲獲勝的次數(shù)203040以上表中的頻率作為概率，求解下列問題.（1）如果甲按照第一場與乙比賽、第二場與丙比賽、第三場與丁比賽的順序進(jìn)行比賽.（ⅰ）求甲至少勝一場的概率；（ⅱ）如果甲勝一場得2分，負(fù)一場得0分，設(shè)甲的得分為，求的分布列與期望；（2）記“甲與乙、丙、丁進(jìn)行三場比賽中甲連勝二場”的概率為，那么以什么樣的出場順序才能使概率最大，并求出的最大值.【答案】（1）（ⅰ）（ⅱ）分布列見解析，期望為（2）出場順序?yàn)楸∫一蛞叶”麜r(shí)概率最大，最大值為【解析】【分析】（1）先求得甲與乙比賽獲勝概率為，與丙比賽獲勝概率為，與丁比賽獲勝概率為，再根據(jù)獨(dú)立性乘法公式，結(jié)合對(duì)立事件即可求解甲至少勝一場的概率；按分布列的求解步驟即可求解分布列，進(jìn)而求得期望；（2）由于乙、丙、丁有6種出場順序，分別求得概率，從而可確定最大值.【小問1詳解】甲與乙比賽獲勝概率為；與丙比賽獲勝概率為；與丁比賽獲勝概率為；（?。﹦t甲至少勝一場的概率（ⅱ）的可能取值為0，2，4，6則，，，，所以的分布列為0246【小問2詳解】若出場順序?yàn)橐冶。?；若出場順序?yàn)橐叶”海蝗舫鰣鲰樞驗(yàn)楸叶。海蝗舫鰣鲰樞驗(yàn)楸∫遥?；若出場順序?yàn)槎”遥海蝗舫鰣鲰樞驗(yàn)槎∫冶?；故出場順序?yàn)楸∫一蛞叶”麜r(shí)概率最大，最大值為.18.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn).我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（在同一直線上），滿足.（1）當(dāng)時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.【答案】（1）（2）是定值，定值為【解析】【分析】（1）延長與交于，根據(jù)，得到，再設(shè)，利用雙曲線的定義求解；（2）設(shè)，利用雙曲線的定義得到兩漸近線所在直線方程，設(shè)直線方程為，聯(lián)立求得即可.【小問1詳解】解：如圖所示：延長與交于，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，即，，故方程為；【小問2詳解】設(shè)，則，，兩漸近線所在直線方程為：，設(shè)直線方程為，將漸近線兩側(cè)平方與