高三數(shù)學模擬試題解析版

高考模擬試題PAGEPAGE1高三數(shù)學一模模擬試題2023.2.7一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復數(shù)滿足，則（）A.4 B. C.16 D.17〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗解方程求，再求即可.〖詳析〗因為，所以，所以，所以，當時，，，當時，，，所以.故選：D.2．已知集合，則（）A．B．C．D．2．〖解析〗A〖解析〗對A：，所以，故；對B：，所以．故；所以，故選A．3．下列說法正確的是（）A．“”是“”的充要條件B．“”是“”的必要不充分條件C．命題“”的否定形式是“”D．“”是“”的充分不必要條件3．〖答案〗B〖解析〗對A，若中，時也成立，故A錯；對B，當時，，故，若，則，故B對；對C，存在量詞命題的否定是，故C錯；對D，若均為負數(shù)，則無意義，故D錯．4.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺,如圖給出了一個石瓢壺的相關數(shù)據(jù)（單位:cm）,現(xiàn)在向這個空石瓢壺中加入（約）的礦泉水后,問石瓢壺內水深約（）cmA.2.8 B.2.9 C.3.0 D.3.1〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗取圓臺的中軸面,補全為一個三角形,根據(jù)三角形相似,找到加入礦泉水后水面的半徑和水深的關系,根據(jù)圓臺體積為,列出等式,解出即可.〖詳析〗解:由題知礦泉水的體積為,將圓臺的中軸面拿出,補全為一個三角形如圖所示:加入礦泉水后,記石瓢壺內水深為,水平面半徑為,由圖可知,所以有即,解得,由,得,即解得:,故加入礦泉水后圓臺的體積為:,解得,所以.故選:C5.已知函數(shù)則函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分段求出函數(shù)的〖解析〗式，利用導數(shù)判斷其單調性，根據(jù)單調性可得〖答案〗.〖詳析〗當，即時，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得A和C和D不正確；當，即時，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得B正確；故選：B6．已知平面向量滿足，且，則的最大值為（）A．B．C．D．6．〖答案〗C〖解析〗由可知，如圖建立坐標系，，設，由可得：，所以的終點在以為圓心．1為半徑的圓上，所以，幾何意義為到距離的2倍，由兒何意義可知，故選C7.若正實數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)函數(shù)單調性及得到或，分別討論兩種情況下四個選項是否正確，A選項可以用對數(shù)函數(shù)單調性得到，B選項可以用作差法，C選項用作差法及指數(shù)函數(shù)單調性進行求解，D選項，需要構造函數(shù)進行求解.〖詳析〗因為，為單調遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當時，，此時；，故；，；當時，，此時，，故；，；故ABC均錯誤；D選項，，兩邊取自然對數(shù)，，因為不管，還是，均有，所以，故只需證即可，設（且），則，令（且），則，當時，，當時，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調遞減，因為，所以，結論得證，D正確故選：D8.已知是數(shù)列的前項和，且，（），則下列結論正確的是（）A. B.數(shù)列為等比數(shù)列C. D.數(shù)列為等比數(shù)列〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗D選項，計算出，故不是等比數(shù)列，A錯誤；B選項，計算出的前三項，得到，B錯誤；C選項，由題干條件得到，故為等比數(shù)列，得到，故，，……，，相加即可求出，C錯誤；A選項，在的基礎上，分奇偶項，分別得到通項公式，最后求出.〖詳析〗由題意得：，，由于，故數(shù)列不是等比數(shù)列，D錯誤；則，，，由于，故數(shù)列不等比數(shù)列，B錯誤；時，，即，又，故為等比數(shù)列，首項為2，公比為3，故，故，，……，，以上20個式子相加得：，C錯誤；因為，所以，兩式相減得：，當時，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符和該式，故，令得：，當時，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符號該式，故，令得：，綜上：，A正確.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題中，真命題的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8B.若回歸方程為，則變量y與x負相關C.甲同學所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按簡單隨機抽樣的方法抽取容量為200的一個樣本，則甲被抽到的概率為D.在線性回歸分析中相關指數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好〖答案〗AB〖解析〗若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，A項正確；，，則變量y與x負相關，B項正確；根據(jù)簡單隨機抽樣概率均等可知，某校高三共有5003人，抽取容量為200的一個樣本，則甲被抽到的概率為，故C項錯誤；在線性回歸分析中相關指數(shù)越大，則模型的擬合效果越好，故D項錯誤.故選：AB10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，則（）A.在上是減函數(shù) B.C.是奇函數(shù) D.在上有4個零點〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗A選項，代入檢驗，得到在上單調遞減，A正確；B選項，計算出，，兩者不一定相等，C選項，根據(jù)函數(shù)平移變換求出，故C正確；D選項，令，得到，求出上，或或或，共4個零點，D正確.〖詳析〗時，，由于在上單調遞減，故在上單調遞減，A正確；，，因為，由于與不一定相等，故與不一定相等，B錯誤；，故是奇函數(shù)，C正確；令，解得：，，則，則或或或，解得：或或或，共4個零點，D正確.故選：ACD11．已知是圓上的兩點，則下列結論中正確的是（）A．若，則B．若點O到直線的距離為，則C．若，則的最大值為4D．的最小值為10．〖答案〗BD〖解析〗對A，若，又，故A錯；對B，若點O到直線的距離為，由勾股定理知，故B對；對C，，幾何意義為到直線的距離之和的倍，設中點為Q，，而中點Q的軌跡為，所以，所以的最大值為6，故C錯；對D，的最小值為，故D對；綜上所述，選BD．12.如圖，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是邊長為4的正方形，，點M為CG的中點，點P為底面EFGH上的動點，則（）A.當時，存在點P滿足B.當時，存在唯一的點P滿足C.當時，滿足BP⊥AM的點P的軌跡長度為D.當時，滿足的點P軌跡長度為〖答案〗BCD〖解析〗〖祥解〗建立空間直角坐標系，結合選項逐個驗證，利用對稱點可以判斷A，利用垂直求出可以判斷B，求出點P軌跡長度可判定C,D.〖詳析〗以為原點，所在直線分別為軸，建系如圖，對于選項A，當時，，，設點關于平面的對稱點為，則，.所以.故A不正確.對于選項B，設，則，由得，即，解得，所以存在唯一的點P滿足，故B正確.對于選項C，，設，則，由得.在平面中，建立平面直角坐標系，如圖，則的軌跡方程表示的軌跡就是線段，而，故C正確.對于選項D，當時，，設，則，由得，即，在平面中，建立平面直角坐標系，如圖，記的圓心為，與交于；令，可得，而，所以，其對應的圓弧長度為；根據(jù)對稱性可知點P軌跡長度為；故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．13．在展開式中，含的項的系數(shù)是_____________．（用數(shù)字作答）〖答案〗100〖解析〗中只有的展開式中才含有，故中的項與展開式中的相乘得到，展開式中項的系數(shù)為，故的項的系數(shù)為．14.已知紅箱內有5個紅球、3個白球，白箱內有3個紅球、5個白球.第一次從紅箱內取出一球，觀察顏色后放回原處；第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內再取出一球，則第二次取到紅球的概率為________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)全概率公式求得正確〖答案〗.〖詳析〗依題意，第二次取到紅球的概率為.故〖答案〗為：15.已知雙曲線右焦點為，點P，Q在雙曲線上，且關于原點O對稱．若，且的面積為4，則雙曲線的離心率___________．16.已知關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗將已知不等式變形整理，構造新函數(shù)h（t）=tet，求導分析單調性，將原不等式通過單調性轉化為含a的恒成立問題，求解即可.〖詳析〗易知，將原不等式變形：，，可得，即，其中.設，則，原不等式等價于.當時，原不等式顯然成立；當時，因為在上遞增，恒成立，設，則，所以在遞減，遞增，所以的最小值為，故.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn（n≥2）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．〖解答〗解：（1）由題意，設等比數(shù)列{an}的公比為q，則當q＝1時，Sn+1+2Sn﹣1＝（n+1）a1+2（n﹣1）a1＝3n﹣1，3Sn＝3na1＝3n，∴Sn+1+2Sn﹣1≠3Sn，顯然q＝1不符合題意，故q≠1，當q≠1時，Sn＝＝，Sn+1＝，Sn﹣1＝，∵Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn，∴+2＝3，即1﹣qn+1+2（1﹣qn﹣1）＝3（1﹣qn），化簡，得qn﹣1（q﹣2）（q﹣1）＝0，∵q≠1且q≠0，∴q＝2，∴an＝1?2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，Sn＝，Sn+1＝，則＝＝＝﹣，∴Tn＝b1+b2+…+bn＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣．18.在中，設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求證：；（2）求的最小值.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由已知及余弦定理可推出,利用正弦定理邊化角結合兩角和差的正弦公式化簡可得，即可證明結論；（2）利用（1）的結論將邊化角，結合三角恒等變換可得，由基本不等式可求得〖答案〗.〖小問1詳析〗證明：在中，由已知及余弦定理，得，即,由正弦定理，得，又，故.∵，∴,∵，∴，故.〖小問2詳析〗由（1）得，∴，，由（1），得，當且僅當時等號成立，所以當時，的最小值為..20.在三棱錐中，，平面，點是棱上的動點，點是棱上的動點，且.（1）當時，求證：；（2）當?shù)拈L最小時，求二面角的余弦值〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）作，根據(jù)線面垂直的性質可知兩兩互相垂直，以為坐標原點建立空間直角坐標系，易證得為等腰直角三角形，由此可得坐標，根據(jù)可證得結論；（2）用表示坐標，將表示為關于的二次函數(shù)，由此可確定時，最小，進而得到坐標；利用二面角的向量求法可求得結果.〖小問1詳析〗在平面內過點作，使得點與點在同側，平面，平面，平面，，，則兩兩互相垂直.以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，；由得：，，為等腰直角三角形，；同理可得：為等腰直角三角形，當時，，，分別是中點，，，，，，.〖小問2詳析〗由（1）可得：，，，為等腰直角三角形；，，則；當時，最小，分別是中點，，，，，，，設平面的法向量為，則，令，解得：，，；設平面的法向量，則，令，解得：，，；，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.常益長高鐵的試運營，標志著我省邁入“市市通高鐵”的新時代.常益長高鐵全線長157公里，共設有常德站、漢壽站、益陽南站、寧鄉(xiāng)西站、長沙西站5個車站.在試運營期間，鐵路公司隨機選取了乘坐常德開往長沙西站G6575次復興號列車的名乘客，記錄了他們的乘車情況，得到下表（單位：人）：（用頻率代替概率）（1）從這200名乘客中任選一人，求該乘客僅乘坐一站的概率；（2）在試營運期間，從常德上車的乘客中任選3人，設這3人到長沙西站下車的人數(shù)為X，求X的分布列，及其期望；（3）已知德山經開區(qū)的居民到常德站乘車的概率為0.6，到漢壽站乘車的概率為0.4，若經過益陽南站后高鐵上有一位來自德山經開區(qū)的乘客，求該乘客到長沙西站下車的概率.〖答案〗（1）0.3（2）分布列見〖解析〗，（3）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)僅乘坐一站的乘客有人，并根據(jù)古典概型計算即可；（2）由題知，這3人到長沙西站下車的人數(shù)，進而根據(jù)二項分布求解即可；（3）根據(jù)條件概率公式和全概率公式計算求解即可；〖小問1詳析〗解：由表中數(shù)據(jù)可知，僅乘坐一站的乘客有人，所以，這200名乘客中任選一人，該乘客僅乘坐一站的概率；〖小問2詳析〗解：從常德上車的乘客到長沙西站下車的概率，所以，根據(jù)頻率估計概率，從常德上車的乘客中任選3人，設這3人到長沙西站下車的人數(shù)，，所以其概率分布列如下：0123；〖小問3詳析〗解：記事件A：該乘客在過益陽南站后到長沙西站下車，記事件:該乘客在常德站上車，記事件:該乘客在漢壽站上車.所以，，由表中數(shù)據(jù)可知，經過益陽南站后，從常德站上車的乘客還有50人，40人在長沙西站下車；從漢壽站上車，經過益陽南站后，乘客還有30人，其中在長沙西站下車的有20人；所以，，，所以，，所以該乘客到長沙西站下車的概率.21.已知拋物線：的焦點為，直線交拋物線于兩點（異于坐標原點），交軸于點（），且，直線，且與拋物線相切于點.（1）求證：三點共線；（2）過點作該拋物線的切線（點為切點），交于點.（?。┰噯?，點是否在定直線上，若在，請求出該直線，若不在，請說明理由；（ⅱ）求的最小值.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）（ⅰ）點在定直線上；（ⅱ）的最小值為16.〖解析〗〖祥解〗（1）易知焦點，設出兩點坐標，根據(jù)得到，再由可知兩直線斜率相等，可得點坐標的表達式，再利用即可證明三點共線；（2）（?。┓謩e寫出直線，的方程，求出兩直線交點的坐標表達式即可得出點在定直線上；（ⅱ）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式求出的表達式，再求出點到的距離寫出面積表達式利用基本不等式即可求得的最小值.〖小問1詳析〗由題可知，設，又，由得，所以，即，所以直線的斜率為，設，由可得，所以直線的斜率為，又，即，所以，得所以，，即，則三點共線.〖小問2詳析〗（?。c在定直線上，理由如下：直線的斜率為，所以直線的方程為即過點的切線斜率為，所以直線的方程為即，交于點，解得因此，點在定直線上.（ⅱ）由（1）知直線的斜率為，方程為，即，聯(lián)立拋物線方程整理得，所以，所以又因為，所以點到的距離等于點到直線的距離，而到直線的距離為所以而，當且僅當，即時等號成立；所以，即的最小值為16.22.已知函數(shù).（1）討論極值點的個數(shù)；（2）若有兩個極值點，且，證明:.〖答案〗（1）見〖解析〗（2）見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）分類討論導函數(shù)的實數(shù)根即可求解極值點，（2）構造函數(shù)和，通過判斷函數(shù)的單調性，求解最值，當導數(shù)正負不好確定的時候，需要構造新的函數(shù)，不斷的通過求導判斷單調性.〖小問1詳析〗,則,顯然不是的零點,令,則,在單調遞減,在（0,1）單調遞減,在單調遞增.當時，，當時，，且時,只有一個實數(shù)根，所以此時有1個極值點,時,沒有實數(shù)根，故有0個極值點,當時，，有一個實數(shù)根，但不是極值點，故此時沒有極值點，時,有兩個不相等的實數(shù)根，故有2個極值點.〖小問2詳析〗由（1）知,,且在（0,1）單調遞減,在單調遞增,先證:,即證:，即證:.即證:.令,即證:,令則令,則,則在單調遞減,,即在單調遞減,,證畢.再證:,,且.在單調遞增,在單調遞減,在單調遞增,.即證:,又,即證:.令,.令,,令,令令,,在單調遞減,在單調遞增.,,當時,單調遞增;當時,單調遞減.,在單調遞減,在單調遞增.,在單調遞增,在單調遞減.,,,在單調遞增,,所以原命題得證.高考模擬試題PAGEPAGE1高三數(shù)學一模模擬試題2023.2.7一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復數(shù)滿足，則（）A.4 B. C.16 D.17〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗解方程求，再求即可.〖詳析〗因為，所以，所以，所以，當時，，，當時，，，所以.故選：D.2．已知集合，則（）A．B．C．D．2．〖解析〗A〖解析〗對A：，所以，故；對B：，所以．故；所以，故選A．3．下列說法正確的是（）A．“”是“”的充要條件B．“”是“”的必要不充分條件C．命題“”的否定形式是“”D．“”是“”的充分不必要條件3．〖答案〗B〖解析〗對A，若中，時也成立，故A錯；對B，當時，，故，若，則，故B對；對C，存在量詞命題的否定是，故C錯；對D，若均為負數(shù)，則無意義，故D錯．4.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺,如圖給出了一個石瓢壺的相關數(shù)據(jù)（單位:cm）,現(xiàn)在向這個空石瓢壺中加入（約）的礦泉水后,問石瓢壺內水深約（）cmA.2.8 B.2.9 C.3.0 D.3.1〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗取圓臺的中軸面,補全為一個三角形,根據(jù)三角形相似,找到加入礦泉水后水面的半徑和水深的關系,根據(jù)圓臺體積為,列出等式,解出即可.〖詳析〗解:由題知礦泉水的體積為,將圓臺的中軸面拿出,補全為一個三角形如圖所示:加入礦泉水后,記石瓢壺內水深為,水平面半徑為,由圖可知,所以有即,解得,由,得,即解得:,故加入礦泉水后圓臺的體積為:,解得,所以.故選:C5.已知函數(shù)則函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分段求出函數(shù)的〖解析〗式，利用導數(shù)判斷其單調性，根據(jù)單調性可得〖答案〗.〖詳析〗當，即時，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得A和C和D不正確；當，即時，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得B正確；故選：B6．已知平面向量滿足，且，則的最大值為（）A．B．C．D．6．〖答案〗C〖解析〗由可知，如圖建立坐標系，，設，由可得：，所以的終點在以為圓心．1為半徑的圓上，所以，幾何意義為到距離的2倍，由兒何意義可知，故選C7.若正實數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)函數(shù)單調性及得到或，分別討論兩種情況下四個選項是否正確，A選項可以用對數(shù)函數(shù)單調性得到，B選項可以用作差法，C選項用作差法及指數(shù)函數(shù)單調性進行求解，D選項，需要構造函數(shù)進行求解.〖詳析〗因為，為單調遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當時，，此時；，故；，；當時，，此時，，故；，；故ABC均錯誤；D選項，，兩邊取自然對數(shù)，，因為不管，還是，均有，所以，故只需證即可，設（且），則，令（且），則，當時，，當時，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調遞減，因為，所以，結論得證，D正確故選：D8.已知是數(shù)列的前項和，且，（），則下列結論正確的是（）A. B.數(shù)列為等比數(shù)列C. D.數(shù)列為等比數(shù)列〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗D選項，計算出，故不是等比數(shù)列，A錯誤；B選項，計算出的前三項，得到，B錯誤；C選項，由題干條件得到，故為等比數(shù)列，得到，故，，……，，相加即可求出，C錯誤；A選項，在的基礎上，分奇偶項，分別得到通項公式，最后求出.〖詳析〗由題意得：，，由于，故數(shù)列不是等比數(shù)列，D錯誤；則，，，由于，故數(shù)列不等比數(shù)列，B錯誤；時，，即，又，故為等比數(shù)列，首項為2，公比為3，故，故，，……，，以上20個式子相加得：，C錯誤；因為，所以，兩式相減得：，當時，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符和該式，故，令得：，當時，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符號該式，故，令得：，綜上：，A正確.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題中，真命題的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8B.若回歸方程為，則變量y與x負相關C.甲同學所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按簡單隨機抽樣的方法抽取容量為200的一個樣本，則甲被抽到的概率為D.在線性回歸分析中相關指數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好〖答案〗AB〖解析〗若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，A項正確；，，則變量y與x負相關，B項正確；根據(jù)簡單隨機抽樣概率均等可知，某校高三共有5003人，抽取容量為200的一個樣本，則甲被抽到的概率為，故C項錯誤；在線性回歸分析中相關指數(shù)越大，則模型的擬合效果越好，故D項錯誤.故選：AB10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，則（）A.在上是減函數(shù) B.C.是奇函數(shù) D.在上有4個零點〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗A選項，代入檢驗，得到在上單調遞減，A正確；B選項，計算出，，兩者不一定相等，C選項，根據(jù)函數(shù)平移變換求出，故C正確；D選項，令，得到，求出上，或或或，共4個零點，D正確.〖詳析〗時，，由于在上單調遞減，故在上單調遞減，A正確；，，因為，由于與不一定相等，故與不一定相等，B錯誤；，故是奇函數(shù)，C正確；令，解得：，，則，則或或或，解得：或或或，共4個零點，D正確.故選：ACD11．已知是圓上的兩點，則下列結論中正確的是（）A．若，則B．若點O到直線的距離為，則C．若，則的最大值為4D．的最小值為10．〖答案〗BD〖解析〗對A，若，又，故A錯；對B，若點O到直線的距離為，由勾股定理知，故B對；對C，，幾何意義為到直線的距離之和的倍，設中點為Q，，而中點Q的軌跡為，所以，所以的最大值為6，故C錯；對D，的最小值為，故D對；綜上所述，選BD．12.如圖，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是邊長為4的正方形，，點M為CG的中點，點P為底面EFGH上的動點，則（）A.當時，存在點P滿足B.當時，存在唯一的點P滿足C.當時，滿足BP⊥AM的點P的軌跡長度為D.當時，滿足的點P軌跡長度為〖答案〗BCD〖解析〗〖祥解〗建立空間直角坐標系，結合選項逐個驗證，利用對稱點可以判斷A，利用垂直求出可以判斷B，求出點P軌跡長度可判定C,D.〖詳析〗以為原點，所在直線分別為軸，建系如圖，對于選項A，當時，，，設點關于平面的對稱點為，則，.所以.故A不正確.對于選項B，設，則，由得，即，解得，所以存在唯一的點P滿足，故B正確.對于選項C，，設，則，由得.在平面中，建立平面直角坐標系，如圖，則的軌跡方程表示的軌跡就是線段，而，故C正確.對于選項D，當時，，設，則，由得，即，在平面中，建立平面直角坐標系，如圖，記的圓心為，與交于；令，可得，而，所以，其對應的圓弧長度為；根據(jù)對稱性可知點P軌跡長度為；故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．13．在展開式中，含的項的系數(shù)是_____________．（用數(shù)字作答）〖答案〗100〖解析〗中只有的展開式中才含有，故中的項與展開式中的相乘得到，展開式中項的系數(shù)為，故的項的系數(shù)為．14.已知紅箱內有5個紅球、3個白球，白箱內有3個紅球、5個白球.第一次從紅箱內取出一球，觀察顏色后放回原處；第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內再取出一球，則第二次取到紅球的概率為________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)全概率公式求得正確〖答案〗.〖詳析〗依題意，第二次取到紅球的概率為.故〖答案〗為：15.已知雙曲線右焦點為，點P，Q在雙曲線上，且關于原點O對稱．若，且的面積為4，則雙曲線的離心率___________．16.已知關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗將已知不等式變形整理，構造新函數(shù)h（t）=tet，求導分析單調性，將原不等式通過單調性轉化為含a的恒成立問題，求解即可.〖詳析〗易知，將原不等式變形：，，可得，即，其中.設，則，原不等式等價于.當時，原不等式顯然成立；當時，因為在上遞增，恒成立，設，則，所以在遞減，遞增，所以的最小值為，故.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn（n≥2）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．〖解答〗解：（1）由題意，設等比數(shù)列{an}的公比為q，則當q＝1時，Sn+1+2Sn﹣1＝（n+1）a1+2（n﹣1）a1＝3n﹣1，3Sn＝3na1＝3n，∴Sn+1+2Sn﹣1≠3Sn，顯然q＝1不符合題意，故q≠1，當q≠1時，Sn＝＝，Sn+1＝，Sn﹣1＝，∵Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn，∴+2＝3，即1﹣qn+1+2（1﹣qn﹣1）＝3（1﹣qn），化簡，得qn﹣1（q﹣2）（q﹣1）＝0，∵q≠1且q≠0，∴q＝2，∴an＝1?2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，Sn＝，Sn+1＝，則＝＝＝﹣，∴Tn＝b1+b2+…+bn＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣．18.在中，設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求證：；（2）求的最小值.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由已知及余弦定理可推出,利用正弦定理邊化角結合兩角和差的正弦公式化簡可得，即可證明結論；（2）利用（1）的結論將邊化角，結合三角恒等變換可得，由基本不等式可求得〖答案〗.〖小問1詳析〗證明：在中，由已知及余弦定理，得，即,由正弦定理，得，又，故.∵，∴,∵，∴，故.〖小問2詳析〗由（1）得，∴，，由（1），得，當且僅當時等號成立，所以當時，的最小值為..20.在三棱錐中，，平面，點是棱上的動點，點是棱上的動點，且.（1）當時，求證：；（2）當?shù)拈L最小時，求二面角的余弦值〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）作，根據(jù)線面垂直的性質可知兩兩互相垂直，以為坐標原點建立空間直角坐標系，易證得為等腰直角三角形，由此可得坐標，根據(jù)可證得結論；（2）用表示坐標，將表示為關于的二次函數(shù)，由此可確定時，最小，進而得到坐標；利用二面角的向量求法可求得結果.〖小問1詳析〗在平面內過點作，使得點與點在同側，平面，平面，平面，，，則兩兩互相垂直.以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，；由得：，，為等腰直角三角形，；同理可得：為等腰直角三角形，當時，，，分別是中點，，，，，，.〖小問2詳析〗由（1）可得：，，，為等腰直角三角形；，，則；當時，最小，分別是中點，，，，，，，設平面的法向量為，則，令，解得：，，；設平面的法向量，則，令，解得：，，；，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.常益長高鐵的試運營，標志著我省邁入“市市通高鐵”的新時代.常益長高鐵全線長157公里，共設有常德站、漢壽站、益陽南站、寧鄉(xiāng)西站、長沙西站5個車站.在試運營期間，鐵路公司隨機選取了乘坐常德開往長沙西站G6575次復興號列車的名乘客，記錄了他們的乘車情況，得到下表（單位：人）：（用頻率代替概率）（1）從這200名乘客中任選一人，求該乘客僅乘坐一站的概率；（2）在試營運期間，從常德上車的乘客中任選3人，設這3人到長沙西站下車的人數(shù)為X，求X的分布列，及其期望；（3）已知德山經開區(qū)的居民到常德站乘車的概率為0.6，到漢壽站乘車的概率為0.4，若經過益陽南站后高鐵上有一位來自德山經開區(qū)的乘客，求該乘客到長沙西站下車的概率.〖答案〗（1）0.3（2）分布列見〖解析〗，（3）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)僅乘坐一站的乘客有人，并根據(jù)古典概型計算即可；（2）由題知，這3人到長沙西站下車的人數(shù)，進而根據(jù)二項分布求解即可；（3）根據(jù)條件概率公式和全概率公式計算求解即可；〖小問1詳析〗解：由表中數(shù)據(jù)可知，僅乘坐一站的乘客有人，所以，這200名乘客中任選一人，該乘客僅乘坐一站的概率；〖小問2詳析〗解：從常德上車的乘客到長沙西站下車的概率，所以，根據(jù)頻率估計概率，