高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：中值定理

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理中值定理微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三、柯西中值定理羅爾定理一、羅爾定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，且滿足（1） 閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3） ；則至少存在一點(diǎn)，使得。由定理的假設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)。說明在平面上是以為端點(diǎn)的連續(xù)且處處有切線的曲線段。由可知，線段平行于軸,說明在曲線段上必有一點(diǎn)（其橫坐標(biāo)為），在該點(diǎn)處的切線平行于軸。即。即曲線段上至少存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處有水平切線。注意：定理中的三個條件如果不能同時滿足，則定理的結(jié)論也可能不成立。下面三個圖象表明，函數(shù)的圖象沒有水平切線二、拉格朗日中值定理如函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，且滿足則至少存在一點(diǎn)，使得（1） 閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；或拉格朗日中值定理我們借助幾何圖形來分析定理的結(jié)論。條件中連續(xù)與可導(dǎo)的條件與羅爾定理證明相同，僅僅少了該函數(shù)在兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等的條件，而弦的方程為，所以正是弦的斜率說明至少存在一點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)的切線與弦平行。于是或定理的其他形式：（1）由于是介于與之間，因此可將表示成其中于是有（2）若令，，則有其中顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)時的特殊情形。（介于與之間）物理解釋：把數(shù)設(shè)想為在上的平均變化率而是在的瞬時變化率。中值定理表明：在某個內(nèi)點(diǎn)處的瞬時變化率一定等于整個區(qū)間上的平均率。推論1如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)恒等于零，則在區(qū)間內(nèi)是一個常數(shù)。推論2如果函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與都相等，則這兩個函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)至多相差一個常數(shù)。例1

函數(shù)，在閉區(qū)間上驗(yàn)證拉格朗日定理的正確性。解：顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又由拉格朗日中值定理，至少存在，使成立。解得故可取，使成立。例2證明不等式證：設(shè)在滿足拉格朗日定理的條件，因此有因?yàn)?，所以可得如果我們把描述拉格朗日中值定理的幾何意義的曲線用下面參數(shù)方程表示則對應(yīng)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，而弦的斜率為三、柯西中值定理可知，點(diǎn)處的切線斜率等于弦的斜率，即設(shè)在曲線上點(diǎn)處的切線平行于弦。由參數(shù)方程在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)柯西中值定理設(shè)函數(shù)與在閉區(qū)間上有定義，且滿足（1） 閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)；不難看出，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，由于當(dāng)