高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：不定積分的積分方法

不定積分的積分方法一、第一類換元積分法二、第二類換元積分法三、分部積分法四、簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分五、積分表的使用

一、第一類換元積分法例1

原因在于被積函數(shù)cos2x與公式中的被積函數(shù)不一樣.如果令u=2x，則cos2x=cosu，du=2dx，從而所以有？分析綜合上述分析，此題的正確解法如下：解

)()()d(

有具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則且，如果xuCuFuufj=+=ò定理1

公式(1)稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用第一換元積分公式計(jì)算不定積分的方法稱第一換元積分法.也稱“湊微分法”.用第一換元積分法求不定積分的步驟是

還應(yīng)注意到，在換元—積分—還原的解題過(guò)程中,關(guān)鍵是換元,若在被積函數(shù)中作變量代換=u,還需要在被積表達(dá)式中再湊出即,也就是,這樣才能以u(píng)為積分變量作積分,也就是所求積分化為

在上述解題過(guò)程中u可不必寫出，從這個(gè)意義上講，第一換元積分法也稱為“湊微分”法.例2求解例3求

解例4求解例5

求解例6求解

用湊微分法計(jì)算不定積分時(shí)，熟記湊微分公式是十分必要的，以下是湊微分公式(在下列各式中，a，b均為常數(shù)，且):例7求解例8求解例9求解類似地，有例10

求類似地，有解例11

求解

例12求解

二、第二類換元積分法

一般的說(shuō)，若積分不易計(jì)算可以作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把原積分化為的形式而可能使其容易積分.當(dāng)然在求出原函數(shù)后，還要將代回.還原成x的函數(shù)，這就是第二換元積分法計(jì)算不定積分的基本思想.定理2設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)，且如果則有．

第二類換元法求不定積分的步驟為例13求解例12—例13的解題方法稱為根代換法,一般地說(shuō)，應(yīng)用根代換積分時(shí)適用于如下情形：例14

求解axt例15求解axt例16求解axt例14—例16中的解題方法稱為三角代換法或三角換元法.

一般的說(shuō)，應(yīng)用三角代換法求積分時(shí)適用于如下情形：補(bǔ)充的積分公式：由函數(shù)乘積的微分公式移項(xiàng)得對(duì)上式兩端同時(shí)積分，得公式(1)或公式(2)稱為分部積分公式

.或

三、分部積分法注意：

使用分部積分公式的目的是在于化難為易，解題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪x擇u和v.選u的法則是:

指多弦多只選多反多對(duì)多不選多指弦同在可任選一旦選中要固定即一般情況下，u與dv按以下規(guī)律選擇例1求解例2

求解例3求解例4求解例5求解例6求解例7求解例8

求解

在計(jì)算積分時(shí),有時(shí)需要同時(shí)使用換元積分法與分部積分法.對(duì)于某些特殊類型的被積函數(shù)的積分，如有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式等，可通過(guò)恒等變形，應(yīng)用上述兩種方法進(jìn)行求解

四、簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分例1求解:因?yàn)樗?可設(shè)

乘等式兩邊，得

得于是例2求

解兩端去分母得令

于是例3求

解去分母,得

令令于是例4求

解作變換則而，于是

則

把常用的積分公式匯集成表，這種表叫做積分表.積分表是按照被積函數(shù)的類型來(lái)排列的.求積分時(shí)，可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變形后，在表內(nèi)查得所需的結(jié)果.

五、積分表的使用現(xiàn)在a=3，b=2,于是例1求被積函數(shù)為有理函數(shù)，屬于積分表中的