勾股定理的逆定理及應(yīng)用

第十七章勾股定理17.2~17.3勾股定理的逆定理及應(yīng)用

問(wèn)題1：在一個(gè)直角三角形中三條邊滿足什么樣的關(guān)系呢？問(wèn)題2：如果一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是否就是直角三角形呢？答：在一個(gè)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方一、情景問(wèn)題

（一)提出問(wèn)題下面有三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.

回答這樣兩個(gè)問(wèn)題:1.這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？2.尺規(guī)作圖，分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？二、動(dòng)手動(dòng)腦（二）實(shí)驗(yàn)結(jié)果：

①5,12,13滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形;②7,24,25滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形;③8,15,17滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形.如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

有同學(xué)認(rèn)為測(cè)量結(jié)果可能有誤差,不同意這個(gè)發(fā)現(xiàn).你覺(jué)得這個(gè)發(fā)現(xiàn)正確嗎?你能給出一個(gè)更有說(shuō)服力的理由嗎?從剛才的分組實(shí)驗(yàn)，有什么樣的結(jié)論發(fā)現(xiàn)嗎？（三）猜想acbACBbaC1MNB1A1已知：在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a2+b2=c2.你能否判斷△ABC是直角三角形？并說(shuō)明理由.簡(jiǎn)要說(shuō)明：作一個(gè)直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1=a=CB,在C1N上截取C1A1=b=CA,連接A1B1.在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得

A1B12=a2+b2=AB2.∴A1B1=AB.∴△ABC≌△A1B1C1.

（SSS）∴∠C=∠C1=90°.∴△ABC是直角三角形.（四）論證提問(wèn)1同學(xué)們還能找出哪些勾股數(shù)呢？提問(wèn)3到目前為止，你能用哪些方法判斷一個(gè)三角形是直角三角形呢？提問(wèn)2該結(jié)論與昨天學(xué)習(xí)的勾股定理有什么異同呢？如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù).（五）結(jié)論提問(wèn)4：通過(guò)同學(xué)們的探究，你能體驗(yàn)出一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)往往要經(jīng)歷哪些過(guò)程？

數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的過(guò)程，同時(shí)遵循由“特殊—一般—特殊”的發(fā)展規(guī)律.例1．一個(gè)零件的形狀如圖（a）所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角，工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖（b）所示，這個(gè)零件合格嗎？ABCDABCD3451213(a)(b)解答：符合要求，∵32+42=52∴∠A=90°,又∵52+122=132∴∠DBC=90°

三、經(jīng)典例題例2．一艘在海上朝正北方向航行的輪船，在航行240海里時(shí)方位儀壞了，憑經(jīng)驗(yàn)，船長(zhǎng)指揮船左傳90°，繼續(xù)航行70海里，則距出發(fā)地250海里，你能判斷船轉(zhuǎn)彎后，是否沿正西方向行？解:由題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形AB=240海里,BC=70海里,AC=250海里;在△ABC中AC2-AB2=2502-2402=(250+240)(250-240)=4900=702=BC2即AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△答:船轉(zhuǎn)彎后,是沿正西方向航行的.ABC北1.下列幾組數(shù)據(jù)能否作為直角三角形的三邊？（1）9，12，15;（2）15，36，39;（3）12，35，36;（4）12，18，22.2.一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)分別是15cm,20cm,25cm，則這個(gè)三角形的面積是（）cm2.(A)250(B)150(C)200(D)不能確定3.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，AD=12，AC=20，則△ABC是（）.(A)等腰三角形(B)銳角三角形

(C)鈍角三角形(D)直角三角形4.將直角三角形的三邊同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是（）.(A)直角三角形(B)銳角三角形

(C)鈍角三角形(D)不能確定ABDC四、鞏固練習(xí)5.如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，圖中有幾個(gè)直角三角形，你是如何判斷的？與你的同伴交流.412243易知:△ABE，△DEF，△FCB均為直角三角形，

由勾股定理知：

BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，

BF2=32+42=25∴BE2+EF2=BF2∴△BEF是直角三角形.6.如圖，哪些是直角三角形，哪些不是，說(shuō)說(shuō)你的理由？①②③④⑤⑥答：④⑤是直角三角形,①②③⑥不是直角三角形BA在一個(gè)圓柱石凳上，若小蕓在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？五、情景問(wèn)題2

螞蟻A→B的路線BAA’dABA’ABBAO若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，則:BAA’3O12側(cè)面展開(kāi)圖123πAA’B用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型；

具體步驟：1.

審題——分析實(shí)際問(wèn)題；2.建?！⑾鄳?yīng)的數(shù)學(xué)模型；3.求解——運(yùn)用勾股定理計(jì)算；4.檢驗(yàn)——是否符合實(shí)際問(wèn)題的真實(shí)性．方法提煉練習(xí)1練習(xí)2練習(xí)31．甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6km/h的速度向正東行走，1小時(shí)后乙出發(fā)，他以5km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？六、鞏固練習(xí)2解:已知A是甲、乙的出發(fā)點(diǎn)，10:00甲到達(dá)B點(diǎn),乙到達(dá)C點(diǎn)．則：AB=2×6=12(km)AC=1×5=5(km)在Rt△ABC中∴BC=13(km)．即甲乙兩人相距13km.2．如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它怎么走最近？并求出最近距離．解:答：沿AB走最近，最近距離為25．練習(xí)1練習(xí)2練習(xí)33．有一個(gè)高為1.5m，半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5m，問(wèn)這根鐵棒有多長(zhǎng)？練習(xí)1練習(xí)2練習(xí)3解:設(shè)伸入油桶中的長(zhǎng)度為xm,則最長(zhǎng)時(shí):∴最長(zhǎng)是2.5+0.5=3(m)．答:這根鐵棒的長(zhǎng)應(yīng)在2～3m之間．∴最短是1.5+0.5=2(m)．1．如圖，在棱長(zhǎng)為10cm的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，現(xiàn)要向頂點(diǎn)B處爬行，已知螞蟻爬行的速度是1cm/s，且速度保持不變，問(wèn)螞蟻能否在20s內(nèi)從A爬到B？B食物A七、快速思考BAB2.右圖是學(xué)校的旗桿,旗桿上的繩子垂到了地面,并多出了一段,現(xiàn)在老