高考數學大二輪總復習：專題七概率與統(tǒng)計第3講

2016版《步步高》高考數學大二輪總復習：專題七概率與統(tǒng)計第3講2016版《步步高》高考數學大二輪總復習：專題七概率與統(tǒng)計第3講2016版《步步高》高考數學大二輪總復習：專題七概率與統(tǒng)計第3講第3講統(tǒng)計初步1．(2014·天津）某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法,從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查，已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數之比為4∶5∶5∶6，則應從一年級本科生中抽取________名學生．2．(2014·湖南改編)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2,p3，則p1，p2，p3的大小關系為________．3．(2014·江蘇)為了了解一片經濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數據均在區(qū)間［80，130］上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100cm。4．（2013·江蘇)抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環(huán))，結果如下：運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定（方差較小)的那位運動員成績的方差為________．1.以填空題的形式考查隨機抽樣、樣本的數字特征、統(tǒng)計圖表等。2.在概率與統(tǒng)計的交匯處命題，以解答題中檔難度出現(xiàn)．熱點一抽樣方法1．簡單隨機抽樣特點是從總體中逐個抽取．適用范圍:總體中的個體較少．2．系統(tǒng)抽樣特點是將總體均分成幾部分,按事先確定的規(guī)則在各部分中抽?。m用范圍：總體中的個體數較多．3．分層抽樣特點是將總體分成幾層,分層進行抽?。m用范圍：總體由差異明顯的幾部分組成．例1（1）某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調查，將840人按1,2,…,840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入區(qū)間［481,720]的人數為_____________________．（2）為了研究霧霾天氣的治理,某課題組對部分城市進行空氣質量調查,按地域特點把這些城市分成甲、乙、丙三組,已知三組城市的個數分別為4，y，z，依次構成等差數列,且4,y，z＋4成等比數列,若用分層抽樣抽取6個城市,則乙組中應抽取的城市個數為________．思維升華（1)隨機抽樣各種方法中，每個個體被抽到的概率都是相等的;(2）系統(tǒng)抽樣又稱“等距”抽樣，被抽到的各個號碼間隔相同；（3)分層抽樣滿足:各層抽取的比例都等于樣本容量在總體容量中的比例．跟蹤演練1(1)總體由編號為01,02，…,19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字,則選出來的第5個個體的編號為________.7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481（2）(2014·廣東改編）已知某地區(qū)中小學生人數和近視情況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2％的學生進行調查,則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為_______________________________________________．熱點二用樣本估計總體1．頻率分布直方圖中橫坐標表示組距，縱坐標表示eq\f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq\f（頻率,組距)。2．頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.3．利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數利用頻率分布直方圖求眾數、中位數和平均數時易出錯，應注意區(qū)分這三者．在頻率分布直方圖中：（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數；（2）中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的;(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．例2(1)(2015·湖北）某電子商務公司對10000名網絡購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內，其頻率分布直方圖如圖所示．①直方圖中的a＝________;②在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0。5,0。9］內的購物者的人數為________．（2)(2014·陜西改編)設樣本數據x1，x2，…，x10的均值和方差分別為1和4,若yi＝xi＋a（a為非零常數，i＝1，2,…，10)，則y1，y2，…，y10的平均數和方差分別為____________________．思維升華（1)反映樣本數據分布的主要方式：頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖．關于頻率分布直方圖要明確每個小矩形的面積即為對應的頻率,其高低能夠描述頻率的大小，高考中常?？疾轭l率分布直方圖的基本知識,同時考查借助頻率分布直方圖估計總體的概率分布和總體的特征數，具體問題中要能夠根據公式求解數據的平均數、眾數和中位數、方差等．(2)由樣本數據估計總體時，樣本方差越小，數據越穩(wěn)定，波動越小．跟蹤演練2(1)某商場在慶元宵促銷活動中,對元宵節(jié)9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示,已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時至12時的銷售額為________萬元．（2)PM2。5是指大氣中直徑小于或等于2。5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，如圖是根據某地某日早7點至晚8點甲、乙兩個PM2.5監(jiān)測點統(tǒng)計的數據(單位:毫克/每立方米)列出的莖葉圖，則甲、乙兩地濃度的方差較小的是________.熱點三概率與統(tǒng)計的綜合問題概率與統(tǒng)計密不可分，概率的計算問題往往與抽樣方法，頻率分布直方圖，莖葉圖相結合在高考中進行考查，以生活中的熱點問題為背景，在概率統(tǒng)計交匯點處命題已成為高考的一個方向．例3經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1t虧損300元．根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品．以X(單位：t，100≤X≤150）表示下一個銷售季度內的市場需求量，T(單位：元）表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤．(1)將T表示為X的函數;（2)根據直方圖估計利潤T不少于57000元的概率．思維升華解決概率統(tǒng)計綜合問題的步驟：第一步，根據所給的頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計圖表確定樣本數據、均值等統(tǒng)計量；第二步，根據題意，一般選擇由頻率估計概率，確定相應的事件的概率；第三步，利用互斥事件、對立事件、古典概型等概率計算公式計算概率．跟蹤演練3從某校高中男生中隨機抽100名學生，將他們的體重（單位：kg)數據繪制成頻率分布直方圖（如圖）．若要從體重在［60,70)，［70,80)，［80，90］三組內的男生中，用分層抽樣的方法選取6人組成一個活動隊,再從這6人中選2人當正、副隊長，則這2人的體重不在同一組內的概率為________．1．某高中針對學生發(fā)展要求，開設了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個社團活動，已知報名參加兩個社團活動的學生共有800人，按照要求每人只能參與一個社團活動,各年級參與社團活動的人數情況如下表：高一年級高二年級高三年級“泥塑”abc“剪紙”xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2,且“泥塑”社團的人數占兩個社團總人數的eq\f(3,5),為了了解學生對兩個社團活動的滿足程度,利用分層抽樣從中抽取一個50人的樣本進行調查，則從高二年級“剪紙”社團的學生中應抽取________人．2．某校為了了解高三學生寒假期間的學習情況,抽查了100名學生,統(tǒng)計他們每天的平均學習時間,繪成的頻率分布直方圖如圖所示，則這100名學生中學習時間在6至10小時之間的人數為________．3．高考前夕，摸底考試后隨機抽取甲、乙兩班各10名學生的數學成績,繪成莖葉圖如圖所示．記甲、乙兩班的平均成績分別是eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x）乙，中位數分別為m甲，m乙，則eq\x\to（x)甲______eq\x\to(x）乙，m甲______m乙．4．甲、乙兩同學5次綜合測評的成績如莖葉圖所示，老師在計算甲、乙兩人平均分時，發(fā)現(xiàn)乙同學成績的一個數字無法看清．若從｛0，1，2，…，9｝中隨機取一個數字代替，則乙的平均成績超過甲的平均成績的概率為________．提醒：完成作業(yè)專題七第3講

二輪專題強化練第3講統(tǒng)計初步A組專題通關1．(2015·北京改編）某校老年、中年和青年教師的人數見下表，采用分層抽樣的方法調查教師的身體狀況,在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數為________.類別人數老年教師900中年教師1800青年教師1600合計43002。為規(guī)范學校辦學，省教育廳督察組對某所高中進行了抽樣調查．抽到的班級一共有52名學生，現(xiàn)將該班學生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本,已知7號、33號、46號同學在樣本中，那么樣本中另一位同學的編號應是________．3．為了了解某城市今年準備報考飛行員的學生的體重情況，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖），已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數為120，則抽取的學生人數是________．4．某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績（滿分100分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生的平均分是85，乙班學生成績的中位數是83，則x＋y的值為________．5.某苗圃基地為了解基地內甲、乙兩塊地種植的同一種樹苗的長勢情況,從兩塊地各隨機抽取了10株樹苗，用莖葉圖表示上述兩組數據,設兩塊地抽取樹苗的高度的平均數分別為eq\x\to(x）甲，eq\x\to(x)乙，中位數分別為y甲，y乙,則eq\x\to（x)甲________eq\x\to(x）乙，y甲________y乙．6．從某中學高一年級中隨機抽取100名同學,將他們的成績(單位：分)數據繪制成頻率分布直方圖（如圖)．則這100名學生成績的平均數，中位數分別為________．7．（2015·南京聯(lián)考）對某商店一個月內每天的顧客人數進行了統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖(如圖所示）,則該樣本的中位數、眾數、極差分別是________．8．(2015·宿遷摸底)某市統(tǒng)計局就本地居民的月收入調查了10000人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示月收入在［1000，1500)（單元：元)．（1)估計居民月收入在［1500,2000)的概率為________．(2)根據頻率分布直方圖估計樣本數據的中位數為________．9．為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥,這40位患者在服用一段時間后,記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位：h)，試驗的觀測結果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0．61。22。71。52.81。82.22.33。23.52．52.61。22.71。52.93。03。12。32。4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3．21.71.90.80.92.41。22。61。31。41．60。51.80。62。11.12.51。22.70。5（1）分別計算兩組數據的平均數，從計算結果看，哪種藥的療效更好？(2）根據兩組數據完成下面莖葉圖,從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？10．(2015·福建)全網傳播的融合指數是衡量電視媒體在中國網民中影響力的綜合指標．根據相關報道提供的全網傳播2015年某全國性大型活動的“省級衛(wèi)視新聞臺”融合指數的數據,對名列前20名的“省級衛(wèi)視新聞臺"的融合指數進行分組統(tǒng)計，結果如表所示.組號分組頻數1［4，5)22［5,6)83[6,7）74[7，8]3（1)現(xiàn)從融合指數在［4,5)和［7,8］內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家進行調研，求至少有1家的融合指數在［7，8]內的概率；(2)根據分組統(tǒng)計表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數的平均數．B組能力提高11．某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50),[50，60)，［60,70)，[70，80)，[80，90）,[90，100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學生600名，據此估計，該模塊測試成績不少于60分的學生人數為________．12．為了考察某校各班參加課外書法小組的人數,從全校隨機抽取5個班級,把每個班級參加該小組的人數作為樣本數據,已知樣本平均數為7，樣本方差為4，且樣本數據互不相同，則樣本數據中的最大值為________．13．(2014·重慶）20名學生某次數學考試成績(單位：分）的頻率分布直方圖如下：（1)求頻率分布直方圖中a的值；(2）分別求出成績落在［50，60)與[60,70)中的學生人數；(3）從成績在［50,70)的學生中任選2人，求此2人的成績都在［60,70)中的概率．

學生用書答案精析第3講統(tǒng)計初步高考真題體驗1．60解析根據題意，應從一年級本科生中抽取的人數為eq\f(4，4＋5＋5＋6)×300＝60。2．p1＝p2＝p3解析由于三種抽樣過程中,每個個體被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3。3．24解析底部周長在[80,90）的頻率為0。015×10＝0。15，底部周長在[90，100)的頻率為0。025×10＝0。25,樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100cm的株數為(0。15＋0.25)×60＝24.4．2解析eq\x\to(x)甲＝eq\f（1，5)(87＋91＋90＋89＋93）＝90，eq\x\to(x）乙＝eq\f（1，5）(89＋90＋91＋88＋92)＝90，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5）［(87－90)2＋(91－90）2＋(90－90)2＋（89－90)2＋(93－90）2］＝4，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1，5）［（89－90）2＋（90－90）2＋（91－90）2＋(88－90)2＋(92－90）2］＝2.熱點分類突破例1（1)12（2）2解析（1)由eq\f(840，42)＝20,即每20人抽取1人，所以抽取編號落入區(qū)間[481,720］的人數為eq\f(720－480,20)＝eq\f(240,20）＝12。(2)由題意可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2y＝4＋z，,y2＝4×z＋4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝2＋\f（z,2)，,y2＝4z＋16，））解得z＝12，或z＝－4(舍去），故y＝8.所以甲、乙、丙三組城市的個數分別為4,8,12。因為一共要抽取6個城市，所以抽樣比為eq\f（6,4＋8＋12）＝eq\f(1，4）。故乙組城市應抽取的個數為8×eq\f(1,4)＝2。跟蹤演練1（1）01(2)200,20解析（1)從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字中小于20的編號依次為08,02,14,07，02,01，其中第二個和第四個都是02，重復，去掉第四個02，得對應的數值為08,02，14,07,01,所以第5個個體編號為01。（2）該地區(qū)中、小學生總人數為3500＋2000＋4500＝10000，則樣本容量為10000×2%＝200，其中抽取的高中生近視人數為2000×2％×50％＝20.例2(1）①3②6000（2)1＋a，4解析（1)由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0.2×0。1＋0。8×0。1＋1。5×0。1＋2×0。1＋2。5×0.1＋a×0.1＝1,解得a＝3。于是消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內頻率為0。2×0.1＋0.8×0。1＋2×0。1＋3×0.1＝0.6，所以消費金額在區(qū)間［0。5，0。9]內的購物者的人數為0.6×10000＝6000.（2）eq\f（x1＋x2＋…＋x10，10)＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的平均數為1＋a，方差不變仍為4.跟蹤演練2(1）10（2)甲解析(1）設11時至12時的銷售額為x萬元．由頻率分布直方圖可知：eq\f（0。10,0.40）＝eq\f(2.5,x)，所以x＝10。(2)eq\x\to(x）甲＝（0.042＋0.053＋0.059＋0。061＋0.062＋0。066＋0.071＋0.073＋0.073＋0。084＋0。086＋0。097）÷12≈0。0689，eq\x\to(x)乙＝（0.041＋0。042＋0.043＋0。046＋0。059＋0。062＋0。069＋0。079＋0.087＋0。092＋0.094＋0.096)÷12＝0.0675，seq\o\al（2，甲)＝eq\f(1，12)［(0.042－0。0689）2＋(0.053－0.0689）2＋…＋(0。097－0.0689)2］≈0.000212。seq\o\al（2,乙）＝eq\f(1,12）［(0.041－0。0675)2＋（0。042－0。0675）2＋…＋（0.096－0。0675）2]≈0。000429。所以甲、乙兩地濃度的方差較小的是甲地．例3解（1)當X∈［100,130)時，T＝500X－300（130－X）＝800X－39000.當X∈［130，150］時，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(800X－39000,100≤X〈130,，65000,130≤X≤150。）)（2)由（1)知利潤T不少于57000元當且僅當120≤X≤150。由直方圖知需求量X∈[120，150］的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0。7。跟蹤演練3eq\f(11，15）解析體重在［60，70)的男生人數為0.030×10×100＝30，同理［70,80）的人數為20，[80,90]的人數為10，所以按分層抽樣選取6人，各小組依次選3人，2人，1人，分別記為a，b，c；A,B；M。從這6人中選取2人共有15種結果，其中體重不在同一組內的結果有11種．故所求概率P＝eq\f（11,15）。高考押題精練1．6解析因為“泥塑”社團的人數的占總人數的eq\f(3，5），所以“剪紙"社團的人數占總人數的eq\f（2,5)，所以“剪紙”社團的人數為800×eq\f(2，5)＝320.因為“剪紙"社團中高二年級人數占“剪紙”社團總人數的eq\f(y，x＋y＋z）＝eq\f（3,5＋3＋2)＝eq\f(3,10)，所以“剪紙"社團中高二年級人數為320×eq\f（3，10）＝96.所以從高二年級“剪紙”社團的學生中應抽取的人數為96×eq\f（50，800）＝6。2．58解析由圖知，(0。04＋0.12＋x＋0.14＋0.05)×2＝1，解得x＝0。15，所以學習時間在6至10小時之間的頻率是（0。15＋0。14）×2＝0。58，所求人數是100×0。58＝58.3．<>解析甲班10名學生的數學成績的平均數為eq\x\to（x)甲＝eq\f（69＋67＋70＋71＋78＋79＋82＋82＋81＋92，10）＝77。1,乙班10名學生的數學成績的平均數為eq\x\to(x)乙＝eq\f（68＋71＋71＋72＋74＋78＋87＋88＋89＋99，10）＝79.7，所以eq\x\to(x）甲〈eq\x\to（x）乙．中位數分別為m甲＝eq\f(78＋79,2）＝78。5，m乙＝eq\f（74＋78，2)＝76,所以m甲>m乙．4.eq\f（1,10)解析計算可得甲的平均分為90,根據乙的數據，只有■處為9時，乙的平均成績才超過甲，因此所求概率為eq\f(1,10）.

二輪專題強化練答案精析第3講統(tǒng)計初步1．180解析由題意抽樣比為eq\f（320，1600）＝eq\f（1，5），∴該樣本的老年教師人數為900×eq\f(1，5）＝180.2．20解析抽樣間隔為46－33＝13，故另一位同學的編號為7＋13＝20.3．480解析由頻率分布直方圖知:學生的體重在65～75kg的頻率為(0。0125＋0。0375)×5＝0.25，則學生的體重在50～65kg的頻率為1－0.25＝0。75。從左到右第2個小組的頻率為0。75×eq\f（2，6）＝0。25。所以抽取的學生人數是120÷0.25＝480.4．8解析依題意,甲班學生的平均分85＝eq\f(78＋79＋85＋80＋92＋96＋80＋x,7)，故x＝5。乙班學生成績的中位數是83，故其成績?yōu)?6，81，81，83,91，91，96，∴y＝3，∴x＋y＝8.5．<<6．125，124解析由圖可知（a＋a－0。005）×10＝1－（0.010＋0.015＋0.030）×10，解得a＝0.025，則eq\x\to(x)＝105×0.1＋115×0。3＋125×0.25＋135×0。2＋145×0。15＝125。中位數在120～130之間，設為x,則0。01×10＋0。03×10＋0。025×（x－120）＝0。5,解得x＝124.7．46，45,56解析由題意知各數為12,15，20，22,23,23,31，32,34，34,38，39,45,45，45,47，47，48,49，49,51,52，54，54,55，56,57,58,63，68，中位數是46，眾數是45，最大數為68，最小數為12，極差為68－12＝56.8．(1）0.2(2)24009．解(1)eq\x\to(x）A＝eq\f（1,20)(0.6＋1。2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2。2＋2。3＋3.2＋3.5＋2.5＋2。6＋1.2＋2。7＋1.5＋2.9＋3。0＋3。1＋2.3＋2.4）＝2。3.eq\x\to（x）B＝eq\f（1，20)（3.2＋1.7＋1.9＋0。8＋0。9＋2。4＋1.2＋2.6＋1。3＋1.4＋1。6＋0。5＋1。8＋0.6＋2。1＋1。1＋2。5＋1.2＋2.7＋0。5)＝1。6。從計算結果看，A藥服用者的睡眠時間增加的平均數大于服用B藥的．所以A藥的療效更好．(2)從莖葉圖看，A藥的療效更好．10．解方法一(1)融合指數在[7，8］內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為A1，A2,A3;融合指數在[4,5）內的“省級衛(wèi)視新聞臺"記為B1，B2，從融合指數在［4，5)和［7,8］內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家的所有基本事件是：｛A1，A2}，｛A1，A3｝，｛A2，A3｝,｛A1，B1｝，{A1，B2｝,{A2，B1｝，{A2，B2｝，{A3,B1｝，｛A3，B2}，{B1，B2｝，共10個．其中，至少有1家融合指數在［7，8]內的基本事件是：{A1，A2}，｛A1，A3｝，｛A2,A