專題強(qiáng)化訓(xùn)練二 與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)題型技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019必修第二冊(cè)）

專題強(qiáng)化訓(xùn)練二：與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題

技巧歸納

1.多面體與球接'切問題求解策略

（1）截面法：過球心及多面體中的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)?/p>

何體中元素間的關(guān)系.

（2）補(bǔ)形法：“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，則利用4卡2=/+序+/求解.

2.球的切、接問題的常用結(jié)論

（1）長(zhǎng)、寬、高分別為a，Ac的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑，即必訴？=2R.

（2）若直棱柱（或有一條棱垂直于一個(gè)面的棱錐）的高為h,底面外接圓半徑為x,則該幾何體外接

球半徑R滿足火2=?。?Z

（3）外接球的球心在幾何體底面上的投影，即為底面外接圓的圓心.

（4）球（半徑為R）與正方體（棱長(zhǎng)為a）有以下三種特殊情形：一是球內(nèi)切于正方體，此時(shí)2R=a；二

是球與正方體的十二條棱相切，此時(shí)27?=啦&；三是球外接于正方體，此時(shí)2R=/a.

題型歸納

題型一：直接法（公式法）

1.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)正方體的內(nèi)切球的表面積和它的外接球的表面積之和是16萬，則該正方體的體積為

（）

A.2夜B.8C.4D.16

2.（2022?四川成都?高三階段練習(xí)（文））長(zhǎng)方體4BC。-4瓦C,2的底面ABC。為正方形，AB=\,直線AR與直線

CC,所成的角為30%則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為（）

A.4兀B.6兀C.5兀D.8兀

3.（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)球的外切正方體的表面積等于6cm2,則此球的體積為（）

A.^cm3B."兀cm3c.—cm3D.cm，

6836

題型二：構(gòu)造法（補(bǔ)形法）

4.（2022?陜西西安?一模）在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖,

若四棱錐P-ABCO為陽馬，側(cè)棱底面A8CO,且P4=2&，AB=BC=2,則該陽馬的外接球的表面積為

C.16乃D.324

5.（2022?江西上饒?高三階段練習(xí)（文））已知三棱維A-BCQ中，側(cè)面A3C,底面3CQ,ZkABC是邊長(zhǎng)為6的正

三角形，ABC。是直角三角形，且NBC￡>=/,CO=4,則此三棱錐外接球的表面積為（）

A.367rB.487rC.647rD.1287r

6.（2022.陜西?武功縣普集高級(jí)中學(xué)一模（理））已知正四面體S-A8C的外接球表面積為6萬，則正四面體S-ABC

的體積為（）

A.迪B.氈30

c5

33

題型三：確定球心位置法

7.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知三棱錐P-A8c的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，平面A8C,AC=BC=6,

AB=2,球心O到平面43c的距離為G，則球。的體積為（）

C.16萬D.32〃

8.（2022?陜西陜西?一模）四面體。一43。內(nèi)接于球。，（0為球心），BC=2,AC=4,ZACB=60。.若四面體O—ABC

體積的最大值為4,則這個(gè)球的體積為（)

256G16"128G

A.B.---------7CC.128〃D.

27927

9.（2022?云南師大附中高三階段練習(xí)）三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PC，平面ABC,PC=4,

AB=Vio,AC=3，L點(diǎn)M是8。的中點(diǎn)，AM=JT5,則球。的表面積為（)

A.24〃B.28萬C.36%D.4()乃

題型四：球表面積和體積最值問題

10.（2021?重慶?西南大學(xué)附中高一期末）己知正方形A8CD中，AB=2,E是CD邊的中點(diǎn)，現(xiàn)以AE為折痕將

折起，當(dāng)三棱錐D-43E的體積最大時(shí)，該三棱錐外接球的表面積為（）

11.（2021?四川成都?高一期末（理））已知A,B是球。的球面上兩點(diǎn)，ZAOB=yP為該球面上動(dòng)點(diǎn)，若三棱

錐。-辦8體積的最大值為空，則球。的表面積為（）

3

A.12%B.16%C.24%D.36〃

⑵（2。21.山東萊西?高一期末）已知AMC是面積為竽的等邊三角形’其頂點(diǎn)均在球。的表面上,當(dāng)點(diǎn)尸在球。的

表面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐P-MC的體積的最大值為氈，則球。的表面積為（）

4

入“c32?〃27萬r

A.[6萬B.----C.---D.4兀

34

專題精選強(qiáng)化

一、單選題

13.（2021.黑龍江雞西.高一期末）已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)都在球。的球面上，A8=AC=2,8c=20，PB1

平面48C,若球。的體積為36兀，則該三棱錐的體積是（）

A.也B.5C.也

33

14.（2022.全國(guó).高一）在體積為述的直三棱柱A8C-ABC中,

△ABC為等邊三角形，且AABC的外接圓半徑為

2

誓,則該三棱柱外接球的表面積為（）

A.12兀B.8兀C.6兀D.3兀

15.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知A,區(qū)是球。的球面上兩點(diǎn)，ZACB=90°,。為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐

O-ABC體積的最大值為36,則球。的表面積為（）

A.36萬B.647rC.128乃D.144萬

16.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）長(zhǎng)方體的三個(gè)相鄰面的面積分別是2,3,6,這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,

則這個(gè)球的表面積為（）

A.—B.56%

2

C.147rD.16乃

17.（2021?廣東順德?高一期末）已知三棱錐P-ABC的底面是正三角形，AB=43,PA=2,PA1BC,PBVAC,

PCLAB,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）

4326

AA.—TCBR.------n

327

C.47rD.—7t

3

18.（2021?江蘇常州?高一期末）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，已知尸底面A88,ABJ_BC,AO_LC￡>,且

ZBAD=\2O^PA=AB=AD=2f則該四棱錐外接球的表面積為（）

A.871B.2071C.20扇D.生金冗

3

19.（2021?江蘇?金陵中學(xué)高一期末）前一段時(shí)間，高一年級(jí)的同學(xué)們參加了幾何模型的制作比賽，大家的作品在展

覽中獲得了一致好評(píng).其中一位同學(xué)的作品是在球當(dāng)中放置了一個(gè)圓錐，于是就產(chǎn)生了這樣一個(gè)有趣的問題：已知

圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球。面上，若圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為斗，面積為31，則球。的表面積等于

()

8178U121^

A.B.D.------

.82

20.（2021?云南省昆明市第十中學(xué)高一期中）己知三棱錐P-A8C,PA,依、PC兩兩垂直，PA=\,PB=0PC=2,

則三棱錐P-ABC的外接球表面積為（）

A.兀B.5兀C.6兀D.87t

21.（2021嘿龍江.哈師大附中高一期末）矩形ABC。中，AB=3,BC=\,現(xiàn)將八48沿對(duì)角線AC向上翻折，得至U

四面體ABC,則該四面體外接球的體積為（）

A.獨(dú)B.10萬C.5M4D.407r

3

22.（2021?重慶八中高一期中）設(shè)直三棱柱ABC-AgG的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的體積是空叵，

3

AB=AC=AA]fZBAC=120°f則此直三棱柱的高是（)

A.1B.2C.2近D.4

23.（2020?江蘇宿遷?高一期末）在直三棱柱48C-A4G中，AB=2,AC=6ABAC=30,A4,=石，則其外

接球的體積是（）

A.忌B.2C.雙紅D.史

232

24.（2021?吉林?高一期中）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠最早

系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，

蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺傳名錄.己知某蹴鞠的表面上有四個(gè)點(diǎn)S、

A、B、C,滿足S-A8C為正三棱錐，M是SC的中點(diǎn)，且AMJ.S8,側(cè)棱&4=2,則該蹴鞠的表面積為（）

A.6萬B.124C.32乃D.36?

二、多選題

25.（2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知三棱柱A8C-A8G的6個(gè)頂點(diǎn)全部在球。的表面上，AB=AC,ZBAC=120s

三棱柱ABC-A/C的側(cè)面積為8+4百，則球。體積可能是（）

3228

A.127rB.—兀C.—兀D.10兀

33

26.（2021?江蘇?無錫市第一中學(xué)高一期中）一個(gè)圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，已知圓錐的底面面積與球

面面積比值為￡，則這個(gè)圓錐體積與球體積的比值為（）

A4「8〃4n8

A.—B.—C.-D.-

272799

27.（2020?江蘇連云港?高一期末）正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N,若線段MN的最小值為6-1,

則（）

TT

A.正方體的外接球的表面積為127rB.正方體的內(nèi)切球的體積為2

C.正方體的棱長(zhǎng)為1D.線段MN的最大值為6+1

28.（2021?遼寧?高一期末）在菱形4BCO中，AB=20,ZABC=60,將菱形ABC。沿對(duì)角線AC折成大小為

。（0<6<180）的二面角3-AC-O,若折成的四面體A8CO內(nèi)接于球。，則下列說法正確的是（).

A.四面體ABC。的體積的最大值是3gB.BO的取值范圍是（3a,6）

C.四面體A8C。的表面積的最大值是12+66D.當(dāng)夕=60時(shí)，球。的體積為年善萬

三、填空題

29.（2022?全國(guó)?高一）點(diǎn)A,B,C在球。表面上，AB=2,BC=26,ZABC=90°,若球心O到截面ABC的距

離為2夜，則該球的體積為.

30.（2021.天津.高一期末）已知正四棱錐尸-A8co中，底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)面積為4石，若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都

在球。的表面上，則球。的體積為.

31.（2021?江蘇裸陽?高一期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年.在《九

章算術(shù)》中,將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖是陽馬，PA_L平面ABCD,PA=5,

AB=4,AD=3,則該陽馬的外接球的表面積為.

32.（2021?廣東惠州?高一期中）在三棱錐D-ABC中，已知平面8a>J_平面ABC,ZCBD=90°,N3C4=45。,

AB=2垃,BD=2,則三棱錐A-88的外接球的表面積為.

參考答案

1.B

【解析】

【分析】

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2a,分別求出正方體內(nèi)切球與外接球的半徑，再建立等式求得正方體的棱長(zhǎng)即可求其體積.

【詳解】

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2a,則正方體的內(nèi)切球的半徑為外接球的半徑為6/,依題意得4%/+4萬（6?！?16萬，解

得a=l,.,.正方體的體積為（2a）'=8/=8.

故選：B.

2.C

【解析】

【分析】

根據(jù)條件求出長(zhǎng)方體外接球的半徑即可求解.

【詳解】

直線AR與直線CC,所成的角，即直線BC、與直線CC,所成的角,

從而可知在Rr^GCB中，ZBC,C=30\

所以CC=G,

設(shè)長(zhǎng)方體外接球的半徑為廣，則有4/=I2+12+（＞/3）2=5n/,

該長(zhǎng)方體外接球的表面積為4萬/=5萬.

【解析】

【分析】

設(shè)球的半徑為Rem,正方體棱長(zhǎng)為acm,根據(jù)表面積和棱長(zhǎng)的關(guān)系求出棱長(zhǎng)，進(jìn)而可得半徑，再用體積公式求球

的體積即可.

【詳解】

設(shè)球的半徑為Rcm,正方體棱長(zhǎng)為acm,

.".6a2=6,.'.a—1cm,即2R=1,，R=；cm,

???球的體積V=—cm3.

33{2J6

故選：A.

4.C

【解析】

【分析】

補(bǔ)全該陽馬所得到的長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為該陽馬外接球的直徑，求出外接球半徑，即可得出答案.

【詳解】

解：因?yàn)樗睦忮FP-ABCD為陽馬，側(cè)棱叢，底面ABC￡),

如圖，補(bǔ)全該陽馬所得到的長(zhǎng)方體，

則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為該陽馬外接球的直徑，設(shè)外接球半徑為R,

=AB2+BC2+PA2=4+4+8=16,

所以R=2,

所以該陽馬的外接球的表面積為4萬/?2=16%.

故選：C.

5.C

【解析】

【分析】

把三棱錐放置在長(zhǎng)方體中，根據(jù)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征求出三棱錐外接球的半徑，再由三棱錐外接球的表面積公式計(jì)算.

【詳解】

三棱錐A-3C￡＞中，側(cè)面45CL底面BCO,把該三棱錐放入長(zhǎng)方體中，如圖所示

設(shè)三棱錐外接球的球心為0,則AG=|AM=|X3石=26,

0G=-CD=2,

2

三棱錐外接球的半徑R=OA=yj0G2+AG2=百+(2回=4,

則三棱錐外接球的表面積為S=4萬/?2=4^x42=64萬.

故選：C.

6.A

【解析】

【分析】

由題意求出外接球的半徑，將正四面體補(bǔ)成正方體，求出其棱長(zhǎng)，用正方體的體積減去四個(gè)小的三棱錐體積即為所

求.

【詳解】

設(shè)外接球半徑為R,則S=4iR?=6;r,解得R=迎,

2

將正四面體S-A3C恢復(fù)成正方體，知正四面體的棱為正方體的面對(duì)角線，

9

則正四面體S-ABC的外接球即為正方體的外接球，

則正方體的體對(duì)角線等于外接球的直徑，

椒ABx絲乂6=瓜,解得AB=2,正方體棱長(zhǎng)為2x』;=夜

2：

故該正四面體的體積為何-舊亭必必應(yīng)善2,

故選：A.

7.A

【解析】

【分析】

由已知可證得BC，PC,從而可得球心。是PB的中點(diǎn)，取A8的中點(diǎn)D,連接0。，然后在RtZ\0￡>8中

可求得球的半徑，進(jìn)而可求得球的體積

【詳解】

如圖，因?yàn)锳C=BC=0，AB=2,

所以AC'+BC?=ABh所以月C_18c.

因?yàn)镻4J?平面ABC,A8,BCu平面ABC,

所以B4_LAB,PA1BC.

又ACcPA=A,所以BCJ■平面PAC,

所以BCLPC,所以球心。是PB的中點(diǎn).

取A3的中點(diǎn)3,連接。。，則

所以。。_1_平面A3C,所以。。=6.

設(shè)球。的半徑為R,在Rtz2\OD8中，R=OB=[OD?+DB。=J（可+『=2,

所以球。的體積為:7W=gx乃x2?=等，

故選：A.

8.A

【解析】

【分析】

在AMC中利用余弦定理求得第三邊，并判斷AMC為直角三角形且面積為定值，由面積公式求得AMC的面積,

從而分析知當(dāng)D到平面ABC的距離取得最大值時(shí)球的體積最大.

【詳解】

在AABC中，VBC=2,AC=4,Z4CB=60°,

=AC2+BC2-2ACBCcosZACfi=16+4-2x4x2xl=12,

2

AC2=AB2+BC2,ZABC=90°.

AABC外接圓半徑r=，AC=2.

2

如圖所示，設(shè)AC的中點(diǎn)為。一則。1為過45C的截面圓的圓心，設(shè)球的半徑為R,所以球心。到平面A3C的距離

為OOX=—產(chǎn)=，尸一4

當(dāng)點(diǎn)。_L平面ABC時(shí)，四面體。-ABC體積的最大

即：^A4SC-(/?+OO,)=^X2V3(/?+OO1)=4,解得R=延，

333

..4萬,4&25673

故選：A.

9.C

【解析】

【分析】

先求得AMC的外接圓的半徑r,再由K=求得外接球的半徑求解.

【詳解】

如圖所示:

cM

+（呵-（洞2（§+（同—（3同

由余弦定理可得~—..........=~—...........

2x,x岳2X8CXV13

22

解得3C=2.

（布）2+（3及）2-2221

故cosNBAC=sinNBAC=

2x710x372

設(shè)AMC的外接圓半徑為，、由正弦定理可得缶=2,

BC

故r=---------------

2sinNBAC

所以球。的半徑為R==3

球。的表面積為S=4成2=36兀，

故選：C.

10.C

【解析】

【分析】

設(shè)棱錐O-ABE的外接球球心為。，半徑為R,則平面BCEF,因?yàn)榈拿娣e為定值，所當(dāng)高最大時(shí),

三棱錐O-ABE的體積最大，過。作。尸于尸，設(shè)點(diǎn)M為ZXAfiE的外心，則有

(DF-OM)2+FM-=R2,OM2+EM2=心通過計(jì)算可得點(diǎn)M為外接球的球心，從而可求得結(jié)果

【詳解】

解：過。作_LAE于/，設(shè)點(diǎn)M為△ABE的外心，G為AE的中點(diǎn)，連接用G,MF,

因?yàn)檎叫?8co中，AB=2,E是C￡＞邊的中點(diǎn)，

所以DE=1,則===EG=9，DF=^-^~=^,

2A2755

所以EF=JDE2-DF?=Ji^=^,MG，EG=ZEM=-,

V55244

所以FG=EG-EF=J^-K=^~,

2510

所以FM=yjMG2+FG2=J—+—=,

V1610020

設(shè)棱錐ABE的外接球球心為。，半徑為R,則OML平面3CEF,設(shè)OM=x,

因?yàn)椤鰽BE的面積為定值，所當(dāng)高最大時(shí)，三棱錐D-ABE的體積最大,

此時(shí)平面ADE_L平面BCEF,

因?yàn)镈E_LAE,平面APED平面8CEF=A￡；,

所以￡>尸_1_平面BCEF,

所以（OF-OMy+FM?=R2,o"+EM2=收,

所以（。尸-。同y+尸例？=0M2+《〃2,

所以。尸2一2。尸.。知+五例2=四2,

所以3-2x2.OM+?="，解得OM=0,

558016

所以△相￡：的外心為三棱錐￡>-A8E?外接球的球心,

所以R=￡M=?

所以三棱錐外接球的表面積為4萬胃=4萬*?=華

11.B

【解析】

【分析】

當(dāng)點(diǎn)尸位于垂直于面AO3的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐o-as的體積最大，利用三棱錐。-尸43體積的最大值為2叵求出

3

半徑，即可求出球。的表面積.

【詳解】

解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)尸位于垂直于面AO8的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐。-的的體積最大，

設(shè)球O的半徑為R,

止匕時(shí)V-PAB=VpfoB=gx；R,X與XR=,

O

解得R=2,則球。的表面積為4萬R?=16%,

故選：B.

【解析】

【分析】

作出圖形，結(jié)合圖形知，當(dāng)點(diǎn)P與球心。以及△ABC外接圓圓心M三點(diǎn)共線且尸與^ABC外接圓圓心位于球心的

異側(cè)時(shí)，三棱錐P-ABC的體積取得最大值，結(jié)合三棱錐的體積求出三棱錐尸-ABC的高〃，并注意到此時(shí)該三棱

錐為正三棱錐，利用心AQAM,求出球0的半徑R,最后利用球體的表面積公式可求出答案.

【詳解】

如圖所示，

設(shè)點(diǎn)M為AABC外接圓的圓心，當(dāng)點(diǎn)尸、O、M三點(diǎn)共線時(shí)，且P、M分別位于點(diǎn)。的異側(cè)時(shí)，三棱錐P-A3C的

體積取得最大值.

因?yàn)锳ABC的面積為氈，所以邊長(zhǎng)為3,

4

由于三棱錐P-ABC的體積的最大值為L(zhǎng)x%叵xPM=?叵，得PM=3,

344

易知SML平面ABC,則三棱錐P-ABC為正三棱錐，

△ABC的外接圓直徑為2AM=1歷=2?,所以A〃=G,

S，n3

設(shè)球。的半徑為R,則R2=OA2=AM2+(PM-P0)2=3+(.3-R)2,

解得R=2,

所以球的表面積為S=4TW=]6a

故選：A

13.A

【解析】

【分析】

三棱錐P-A3C放入長(zhǎng)方體內(nèi)，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為外接球直徑，即PC為球直徑，由球的體積求出尸C的長(zhǎng)

度，再求出尸8,由三棱錐體積公式求解即可.

【詳解】

因?yàn)锳3=AC=2,BC=2也，

易知三角形A8C為等腰直角三角形，

又尸8,平面ABC,所以PB為三棱錐P-AfiC的高，

則可將三棱錐P-ABC放入長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖，

長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為外接球直徑，即PC為球直徑,

,“4PCX..

..V=-7r=367r

3I2J9

:.PC=6

又PC=y]PB2+BC2=yJPB2+8=6>

解得PB=2出,

所以三棱錐的體積V=-x—x2x2x2>/7=勺自,

323

故選：A

14.A

【解析】

【分析】

由棱柱體積求得棱柱的高，然后求得外接球的半徑，得表面積.

【詳解】

國(guó)a乂后

設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為。，由△ABC的外接圓半徑為號(hào)可得一一2、亍，故a=S，

3sin—

3

則AABC的面積5=3/=述由三棱柱的體積為速可得5.9=述.44述，故e=2西，

442-4?2”3

設(shè)三棱柱外接球的半徑為R,則/?2=（容）+（竽j=g+|=3,

故該三棱柱外接球的表面積為4兀店=12兀.

故選：A.

15.D

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件確定出三棱錐0-ABC體積最大時(shí)的點(diǎn)C位置，再求出球半徑即可得解.

【詳解】

設(shè)球的半徑為R,因4408=90。，則“。8的面積％。8=3收，

而^O-ABC~^C-AOB?且AAOB面積為定值，則當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，^O-ABC最大，

于是，當(dāng)C是與球的大圓面A03垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC體積最大，最大值為gxgx=36,解得R=6,

所以球。的表面積為4萬穴2=4乃x62=144萬.

故選：D

16.C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)，再結(jié)合題意與有關(guān)知識(shí)可得外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線，求出長(zhǎng)方體的對(duì)

角線，即可得到球的直徑，進(jìn)而可根據(jù)球的表面積公式求出球的表面積.

【詳解】

ah=2a=1

解析：設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,由題意得?ac=3得,方=2

be=6c=3

二長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為jT+22+32=屈,

???其外接球的半徑為近

2

/.S球=4乃7?2=144.

故選：C

17.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意畫出圖形，證得三棱錐P-ABC為正三棱錐，結(jié)合球的截面性質(zhì)求得外接球的半徑，利用球的表面積公式,

即可求解.

【詳解】

如圖所示，過點(diǎn)P作PG_L平面ABC,連接AG交8c于￡）,

所以PGLBC,又由尸A_L3C且%=所以BCL平面PAG,可得8CLAD,

同理可證4?，CG,則G為等邊AABC的垂心，即中心，

則三棱錐P-43c為正三棱錐，

設(shè)其外接球的球心為。，則。再PG上，連接04,

在等邊A4?C中，由AB=石，可得AG=gj3-哼尸=1，則PG=J%2_AG2=下,，

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R,則R2=（G-R）2+『，解得《=2叵，

3

所以三棱錐P-A8C的外接球的表面積為S=4乃六=4萬義（等）2=等

故選：D.

18.B

【解析】

【分析】

取PC中點(diǎn)。，連接OAO8,OD8D先證明點(diǎn)0就是四棱錐外接球的球心，再求出外接球的半徑即得解.

【詳解】

p

取PC中點(diǎn)O,連接0AoBD.

由題得R4LAC,又OP=OC,所以O(shè)P=OC=Q4,

因?yàn)?_LAQ,8_LPA,A￡>nPA=A,A￡>,A4u平面PA。，

所以C￡>J?平面PAD,又P￡>u平面PAO,

所以80XPO=OC,:.OP=OC=OD.

同理OP=OC=O3,

所以O(shè)P=OC=04=O8=O￡>,

所以點(diǎn)。就是四棱錐外接球的球心.

因?yàn)閆BAD=120°,AB=AD=2,

所以ADAC=60ZDCA=30,:.AC=4.

所以PC="7?=2卮所以外接球的半徑為6.

所以該四棱錐外接球的表面積S=4"（百）2=20萬.

故選：B

19.A

【解析】

【分析】

設(shè)球半徑為R,圓錐的底面半徑為廣，利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式求得R,即可求解.

【詳解】

B

A

2

圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球。面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為一萬，面積為3%,

3

\O

設(shè)母線為/,則乃x『=3萬，可得：1=3,

2

由扇形的弧長(zhǎng)公式可得：2仃=§乃/,所以/?=1,

圓錐的高O。=/2-F=2&，

由產(chǎn)+(2&=尸，解得：R=n，

Q1Q1

所以球0的表面積等于4萬代=4少夫=?》，

328

故選：A

20.D

【解析】

【分析】

若三棱錐從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱互相垂直，則該三棱錐的外接球與以這三條棱為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球相同.

【詳解】

因?yàn)槿忮FP-ABC中，PA,PB、PC兩兩垂直，

所以其外接球半徑R滿足2R=+戶］+pc?=24,R=@

故三棱錐尸-ABC的外接球表面積為4萬x(亞，=8".

故選：D.

21.A

【解析】

【分析】

設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接08.0。，則由矩形的性質(zhì)可知04=OC=O3=OD,所以可得。為四面體。-他C外接球

的球心，求出04的長(zhǎng)可得球的半徑，從而可求出球的體積

【詳解】

解：設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接08,00,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以。4=OC=O8=OD,ZABC=90°,

所以。為四面體O-ABC外接球的球心，

因?yàn)锳8=3,8C=1,所以47=，4玄+302=6+一=&5，

所以O(shè)A=，AC=叵，所以面體￡)-ABC外接球的半徑為叵，

222

所以該四面體外接球的體積為萬［粵］=粵*

故選：A

22.B

【解析】

【分析】

先確定底面AABC的外接圓圓心及半徑，再確定球心位置，并利用球心和圓心的連線垂直于底面，得到直角三角形,

利用勾股定理求解.

【詳解】

設(shè)AB=AC=A4t=2機(jī)，

三角形A3C外接圓0,的半徑為r,直三棱柱ABC-AqG外接球。的半徑為R.

因?yàn)镹B4C=120。，所以NAC3=3()。，

AB

于是2r=*---------4m,r=2m,O^C-lm.

sin30°

又球心。到平面ABC的距離等于側(cè)棱長(zhǎng)AA的一半，所以。a=".

在中,由0C~=。。/+0［C~,得&=W+4機(jī)2,R=-jsm.

所以球的體積丫=3加遙機(jī))3=型叵，解得“7=1.

33

于是直三棱柱的高是M=2m=2.

故選：B.

23.B

【解析】

【分析】

首先在AABC中利用余弦定理求出8C的長(zhǎng)，進(jìn)一步可判斷AMC為直角三角形，根據(jù)直角三角形和直棱柱的性質(zhì)

即可求出球心和半徑，由體積公式即可求解.

【詳解】

c

在AA3C中，AB=2,AC=6，ZBAC=30,

由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2-2ACABxcos30=3+4-4y/3x—=],

2

所以5C=1,

所以8c2+AC)=AB?,可得A45C為直角三角形，

所以A8的中點(diǎn)。即為AABC外接圓的圓心，

設(shè)A4的中點(diǎn)為E,則DE的中點(diǎn)。即為直三棱柱ABC-ABC外接球的球心，

設(shè)外接球的半徑為R,OD=-AA.=—,CD=^-AB=\,

2'22

3

所以Rnjo/P+C。=—,

2

所以外接球的體積是力店=0x(式=2%,

33⑶2

故選：B.

24.B

【解析】

【分析】

推導(dǎo)出M、SB、SC兩兩垂直，然后將正三棱錐S-ABC補(bǔ)成正方體S4D8-CEFG,計(jì)算出正方體&⑦8-CEFG

的體對(duì)角線長(zhǎng)，即為三棱錐S-ABC的外接球直徑，利用球體的表面積公式可得結(jié)果.

【詳解】

取AC中點(diǎn)N,連接BN、SN,

QN為AC中點(diǎn)，SA=SC,/.ACYSN,同理ACJ_8V,

?.?SNfW=N,平面SBN,

SBu平面SBN,.IAC_LSB,

?.?58_14加且4。門4〃=4,，581.平面54。，

-.-SA.SCu平面SAC,:.SAISB,SBA.SC,

?.?三棱錐S-ABC是正三棱錐，.?.&!、SB、SC三條側(cè)棱兩兩互相垂直.

將正三棱錐S-A8C補(bǔ)成正方體SAAB-CEFG,如下圖所示：

因?yàn)?4=2,所以正方體SADB-CEFG的體對(duì)角線長(zhǎng)為SF=而A=2石，

所以，正三棱錐S-A8C的外接球的直徑27?=2百，

所以，正三棱錐S-ABC的外接球的表面積是S=4萬/J?=lx(2R『=127，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；

②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定

在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.

25.AB

【解析】

【分析】

設(shè)三棱柱ABC-44G的高為3AB=AC=a,三棱柱側(cè)面積得Q+g)"=8+46,可得“=4,設(shè)N,M分

別是三棱柱上下底面的外心，則三棱柱外接球球心。是MN中點(diǎn)，由正弦定理求得AA3C外接圓的半徑小由勾股

定理結(jié)合基本不等式求得外接球半徑R的最小值，再由球的體積公式結(jié)合選項(xiàng)即可求解.

【詳解】

設(shè)三棱柱ABC—44cl的高為h,AB=AC=a.因?yàn)锳BAC=120°,

所以BC=2ABcos30=Ga,

則該三棱柱的側(cè)面積為(2+G)必=8+4代，故必=4,

設(shè)N,“分別是三棱柱上下底面的外心，則三棱柱外接球球心。是MN中點(diǎn),

設(shè)AABC的外接圓半徑為r,則MC=r=———=—叵一=a,

2sinNBAC2xsin120

設(shè)球。的半徑為A,則。72=7?2=/+/21=。2+匯=2+匯24,

⑶4人24

所以R22,故球O的體積為：弓九

32

結(jié)合選項(xiàng)可知：球。體積可能是12兀，-yTt,

故選：AB.

M

26.AB

【解析】

【分析】

設(shè)圓錐的底面半徑為「，球的半徑為凡由圓錐的底面面積與球面面積比值為《，得到r與R的關(guān)系，計(jì)算出圓錐的

高，從而求出圓錐體積與球體積的比.

【詳解】

設(shè)圓錐的底面半徑為r,球的半徑為R,

?.?圓錐的底面面積與球面面積比值為9,

.開產(chǎn)2m2V2

47TR293

設(shè)球心到圓錐底面的距離為d,則d=依-戶=；R,

42

所以圓錐的高為〃=d+R=-R^h=R-d=—Rf

設(shè)圓錐體積為K與球體積為匕，

A一九-------R-A

當(dāng)力=￡R時(shí)，圓錐體積與球體積的比為匕=3—.=313J3=_8_,

3匕4.27

33

當(dāng)力=?/?時(shí)，圓錐體積與球體積的比為匕=j=313)3:4.

3匕，叱7、27

33

故選：AB

27.AD

【解析】

【分析】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為“，由線段MN的最小值為百-1求出。，按照球的性質(zhì)逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，則其外接球的半徑為R=@a,內(nèi)切球的半徑為R=9，

正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N,由于兩球球心相同，

可得MN的最小值為叵-g=6-l,解得。=2,故C錯(cuò)誤；

22

所以外接球的半徑為百，表面積為47x3=12%,故A正確；

4

內(nèi)切球的半徑為1,體積為:乃，故B錯(cuò)誤；

A/N的最大值為R+??，=6+1，故D正確；

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方體的外接球與內(nèi)切球，正確求出正方體的外接球與內(nèi)切球的半徑是關(guān)鍵，考查了學(xué)生的空間想象能力,

屬于中檔題.

28.ACD

【解析】

【分析】

求出當(dāng)8=90時(shí)，四面體A8CD的體積最大，利用錐體的體積公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用余弦定理可判斷B

選項(xiàng)的正誤；利用/區(qū)4。=90時(shí)，四面體A3CD的表面積的最大，可判斷C