《反比例函數(shù)》考點例析與拓展

《反比例函數(shù)》

考點例析與拓展一、反比例函數(shù)的意義【例1】函數(shù)是反比例函數(shù)時，則m的值是多少？解析如果函數(shù)是反比例函數(shù)，則其形式必須滿足（k為常數(shù)，）或（k為常數(shù)，）.此題中應滿足：.答案因為函數(shù)是反比例函數(shù)，所以解得：因此當函數(shù)是反比例函數(shù)時，則m的取值是-2.歸納拓展根據(jù)反比例函數(shù)的一般式（k為常數(shù)，），也可寫成（k為常數(shù)，）.所以函數(shù)為反比例函數(shù)必須具備兩個條件：（1）x的次數(shù)為-1，（2）系數(shù)不能為0.兩者缺一不可.解決此類問題一定要深刻理解反比例函數(shù)的定義，對兩種表達式的系數(shù)和次數(shù)都怎么要求的要搞清楚.【變式訓練1】判斷下列函數(shù)哪些是反比例函數(shù)：（1）（2）（3）（4）（k為常數(shù)，）（5）（6）答案（3）（4）（5）二、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例2】如圖，在反比例函數(shù)的圖象上任取一點P，過P點作x軸和y軸的垂線，垂足分別是N、M，那么四邊形ONPM的面積是多少？yxOPMN答案矩形的面積等于長乘以寬，PN、PM就是矩形的長和寬.設P（x，y），則PN=、PM=，所以歸納拓展反比例函數(shù)的（k為常數(shù)，）的比例常數(shù)k，不僅決定了函數(shù)圖象的位置，同時在圖象上還有它的幾何意義，即過雙曲線上任意一點做x軸和y軸的垂線，兩垂線與兩坐標軸所得的矩形的面積為.同時過雙曲線上任意一點作其中一個坐標軸的垂線，這一點和垂足及坐標原點所構成的三角形的面積等于.【變式訓練2】如圖，的頂點A是雙曲線與直線在第四象限的交點，軸于B，且yxOBCAD（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）求直線與雙曲線的兩個交點A，C的坐標和的面積.答案（1）設A點的坐標為（x，y），點A在第四象限內(nèi)，反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為（2）聯(lián)立方程組解得所以A點坐標為（1，-3），C點坐標為（-3,1），設直線AC與y軸交于點D，則Ｄ點坐標為（０，-２），三、反比例函數(shù)的應用【例3】舞臺燈光可以在很短的時間內(nèi)將陽光燦爛的晴日變成濃云密布的陰天，或由黑夜變白晝，這樣的效果是通過改變電阻控制電流的變化實現(xiàn)的.當電流I較小時，燈光較暗，反之，燈光較亮.在某一電路保持電壓不變，電流Ｉ（安培）與電阻Ｒ（歐姆）成反比例，當電阻Ｒ＝２０歐姆時，電流I=11安培.（1）求I與R的函數(shù)關系式.（2）當電流I=8時，電阻R的值.解析解決問題的關鍵是明白當電壓不變，電流I（安培）與電阻R（歐姆）成反比例，結合我們的物理知識可設解析式為.求出U來確定解析式，進一步的求問題（2）.答案（1）根據(jù)題意可設I與R的函數(shù)關系式：，把R=20，I=11代入，解得U=220.所以I與R的函數(shù)關系式：（2）把I=8代入，得到R=27.5.所以當電流I=8時，電阻R的值為27.5歐姆.歸納拓展能夠從實際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學模型，是解決實際問題的關鍵一步，培養(yǎng)了學生的建模能力和從實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化的能力.在解決這些實際問題的時候我們還用到了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學科中的知識.【變式訓練3】某水庫蓄水160萬立方米，由于連降大雨，水庫的水量達到了190萬立方米，為了保證安全，該區(qū)地防洪部門決定開閘放水，使水庫蓄水量回到160萬立方米.（1）寫出放水時間t（天）與放水量a（萬立方米/天）之間的函數(shù)關系.（2）如果每天放水6萬立方米，幾天可以使水庫的蓄水量回到160萬立方米？答案（1）水庫蓄水量達到160萬立方米，就必須放水30萬立方米.由題意可得at=30，即.放水時間t（天）與放水量a（萬立方米/天）之間的函數(shù)關系為.（2）將a=6代入，得t=5.即每天放水6萬立方米，5天可以回到160萬立方米.四、數(shù)形結合的思想【例4】如圖，一定質(zhì)量的氧氣，其體積V（）是密度的反比例函數(shù)，請根據(jù)圖中的信息，寫出函數(shù)表達式

，并求出時，氧氣的體積是

.VOA51.8解析設反比例函數(shù)的表達式為，由圖象可知當.代入，解得k=9.所以體積V（）與密度的函數(shù)表達式為當，代入得到答案；歸納拓展在此章的題目中利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關鍵所在.已知點在圖象上，那么點一定滿足這個函數(shù)的解析式，反過來，如果這個點滿足函數(shù)的解析式，那么這個點一定在函數(shù)的圖象上.還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大小.將數(shù)與形結合在一起，是分析解決問題的一種好方法.【變式訓練4】如圖，已知A（-4,2）、B（n，-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個交點.yxOBA（1）求兩函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的x的取值范圍.解析觀察圖象A、B兩點都在反比例函數(shù)上，代入解析式，可以求出n，k，b.也就確定了兩個函數(shù)的解析式.利用圖象，看看什么時候哪個函數(shù)在上面，此時那個的函數(shù)值就大，然后找到相應的自變量的值.答案（1）因為點A（-4,2）、B（n，-4）都在反比例函數(shù)的圖象上，所以解得：m=-8，n=2.所以點B的坐標為（2，-4）.又因為點A（