同步優(yōu)化設(shè)計2024年高中數(shù)學數(shù)學文化課后篇鞏固提升含解析北師大版選擇性必修第一冊

數(shù)學文化【數(shù)學文化簡介】數(shù)學不僅是一門科學,也是一種文化,即“數(shù)學文化”;數(shù)學文化是人類文化的重要組成部分,是人類精神與社會進步的產(chǎn)物,也是推動社會發(fā)展的動力.對于數(shù)學文化,這在近幾年的高考試題中有所體現(xiàn).我國古代數(shù)學里有大量的實際問題,世界的數(shù)學寶庫中也有很多經(jīng)典的實例,同時也應了解當前的一些新科技和一些優(yōu)秀科學家的杰出貢獻.將數(shù)學文化融合到問題當中,這些問題同時也體現(xiàn)了應用性的考查,要引起學生的重視.比如在《九章算術(shù)·方田》《九章算術(shù)·商攻》《圓錐曲線論》等著作中有較多關(guān)于本冊學問的典型案例.【數(shù)學文化舉例】第一章直線與圓1.趙州橋是當今世界上建立最早、保存最完整的我國古代單孔敞肩石拱橋(圖1).若以趙州橋跨徑AB所在直線為x軸,橋的拱高OP所在直線為y軸,建立平面直角坐標系(圖2),橋的圓拱APB所在的圓的方程為x2+(y+20.7)2=27.92,求|OP|.(圖1)(圖2)解在方程x2+(y+20.7)2=27.92中,令x=0,則(y+20.7)2=27.92,解得y1=7.2,y2=-48.6(舍去).∴|OP|=7.2.2.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果.他證明過這樣一個命題:平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中,設(shè)A(-3,0),B(3,0),動點M滿意|MA||MB|=2,則動點A.64π B.16π C.4π D.2π解析設(shè)M(x,y),則|MA|=(x同理|MB|=(x而|MA||MB|化簡,得3x2-30x+27+3y2=0,即x2-10x+9+y2=0,整理,得(x-5)2+y2=42,從而M的軌跡是以(5,0)為圓心,4為半徑的圓,∴動點M的軌跡圍成的面積為4×4×π=16π.答案B其次章圓錐曲線1.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題:平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B為橢圓的長軸端點,C,D為橢圓的短軸端點,動點M滿意|MA||MB|=A.23 B.33解析設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵動點M滿意|MA|則(x+a)化簡得x-5a32+y2=16∵△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,∴12×2a×43a=8,1解得a=6,b=62∴橢圓的離心率為1答案D2.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著.第九章“勾股”,講解并描述了勾股定理及一些應用.直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”,且“勾2+股2=弦2”.設(shè)F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點,直線y=3x交橢圓于A,B兩點,若|AF|,|BF|恰好是Rt△ABF的“勾A.3-1 BC.3-解析∵|AF|,|BF|恰好是Rt△ABF的“勾”“股”,∴AF⊥BF,∴OA=OB=OF=c.∴Ac2,3∴c2即a2-b2ab2a22+6·b2a2-3=0?b2a2=23-3,e2=∴e=3-1.答案A3.位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋(如圖所示)有“仙境之橋”之稱,它的橋形可近似地看成拋物線,該橋的高度為h,跨徑為a,則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為()A.a2C.a2解析依據(jù)題意,以橋頂為坐標原點,橋形的對稱軸為y軸建立如下圖所示的平面直角坐標系,該拋物線方程可寫為x2=-2py(p>0).∵該拋物線經(jīng)過點a2,-h,代入拋物線方程可得a24=2hp,解得p=a28h,答案A4.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切割圓錐得到圓錐曲線的方法.如圖,將兩個完全相同的圓錐對頂放置(兩圓錐的軸重合),已知兩個圓錐的底面半徑均為1,母線長均為2,記過圓錐軸的平面ABCD為平面α(α與兩個圓錐面的交線為AC,BD),用平行于α的平面截圓錐,該平面與兩個圓錐側(cè)面的截線即為雙曲線Γ的一部分,且雙曲線Γ的兩條漸近線分別平行于AC,BD,則雙曲線Γ的離心率為()A.23C.3 D.解析兩個圓錐的底面半徑為r=1,母線長均為l=2,可得圓錐的高為h=22由雙曲線Γ的兩條漸近線分別平行于AC,BD,設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=±bax即有ba=33答案A第三章空間向量與立體幾何1.中國古代數(shù)學家名著《九章算術(shù)》中記載:“芻甍者,下有袤有廣,而上有袤無廣.芻,草也.甍,屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形,頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍就是茅草屋頂.”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示,四邊形ABCD為正方形,四邊形ABFE,CDEF為兩個全等的等腰梯形,AB=4,EF12AB,若這個芻甍的體積為403,則異面直線AB與CF所成角的余弦值為A.13 BC.53解析取CD,AB的中點M,N,連接FM,FN,則多面體分割為棱柱與棱錐兩個部分,設(shè)E到平面ABCD的距離為h,則12×4×h×2+13×4×2∴h=2,∵CN=16+4=25,∴CF=5+4=3,∵CD∥AB,∴∠FCD為異面直線AB與CF所成角,在△FCM中,FM=FC=3,CM=2,∴cos∠FCD=9+4答案A2.我國古代《九章算術(shù)》里,記載了一個例子:今有羨除,下廣六尺,上廣一丈,深三尺,末廣八尺,無深,袤七尺,問積幾何?該問題中的羨除是指如圖所示的五面體ABCDEF,其三個側(cè)面皆為等腰梯形,且AB∥CD∥EF,兩個底面為直角三角形,且BC⊥CF,AD⊥DE,其中AB=6尺,CD=10尺,EF=8尺,AB,CD間的距離為3尺,CD,EF間的距離為7尺,則異面直線DF與AB所成的角的正弦值為()A.9130C.97解析如圖,五面體ABCDEF中,四邊形ABFE,ABCD,EFCD均為等腰梯形,EF∥AB∥CD,△ADE,△BCF均為直角三角形,AD⊥DE,BC⊥CF,CD=10,AB=6,AD=22+32=13∵sin∠DCF=7210,∴cos∠DCF=∴DF=100+50-∵AB∥CD,∴∠CDF是異面直線DF與AB所成的角,∴cos∠CDF=CD2+DF2-∴異面直線DF與AB所成角的正弦值為7答案B3.中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)·商攻》中,闡述:“斜解立方,得兩壍堵.斜解壍堵,其一為陽馬,一為鱉臑.陽馬居二,鱉臑居一.”若稱為“陽馬”的某四棱錐如圖所示,ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,AB=4,則PA與BC所成的角等于;PB與平面PDC所成角的正弦值等于.

解析∵底面ABCD為矩形,∴AD∥BC,則∠PAD為PA與BC所成的角,∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,在Rt△PDA中,∵PD=AD,∴∠PAD=45°,即PA與BC所成的角等于45°.∵PD⊥平面ABCD,PD?平面PDC,則平面PDC⊥平面ABCD,又平面ABCD∩平面PDC=DC,AD⊥DC,可得AD⊥平面PDC,又AD∥BC,∴BC⊥平面PDC,∴∠BPC是PB與平面PDC所成的角,∵PD=3,DC=4,∴PC=5,又BC=3,∴PB=3∴sin∠BPC=BC答案45°34.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有倉,廣三丈,袤四丈五尺,容粟一萬斛,問高幾何?”其意思為:“今有一個長方體(記為ABCD-A1B1C1D1)的糧倉,寬3丈(即AD=3丈),長4丈5尺(即AB=4.5丈),可裝粟一萬斛,問該糧倉的高是多少?”已知1斛粟的體積為2.7立方尺,一丈為10尺,則下列推斷正確的是.(填寫全部正確結(jié)論的編號)

①該糧倉的高AA1是2丈;②異面直線AD與BC1所成角的正弦值為313③長方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面積為1334π解析長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=3丈,AB=4.5丈,V=10000×2.7×10-3=27(立方丈),糧倉的高AA1=VAD·AB=273×如圖所示,AD∥BC,∴∠CBC1是異面直線AD與BC1所成的角,∴sin∠CBC1=CC1BC長方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的直徑的平方為(2R)2=(AC1)2=22+32+4.52=33.25=1334(丈∴外接球的表面積為4πR2=1334π(平方丈),③綜上,正確的結(jié)論是①③.答案①③5.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,在第一卷《方田》中,將直角梯形稱之為“邪田”,當直角梯形底邊橫放時,以“頭”稱其上下底,以“正從”稱其高,如圖(1),在“邪田”ABCD中,E,F分別在“正從”和“下頭”上,沿EF,FD,DE將圖形翻折起來,使A,B,C重合為一點O.(1)求證:OE⊥DF;(2)若在“邪田”ABCD中,“正從”AB=4,“上頭”AD=5,試求二面角O-DF-E的平面角的余弦值.(1)證明如圖(2),依題意E,F分別為AB,BC的中點,且由AD⊥AE,BF⊥BE,得OD⊥OE,OE⊥OF,∵OF∩OD=O,∴OE⊥平面ODF,∵DF?平面ODF,∴OE⊥DF.(2)解如圖(3),過D作DG⊥BC于G,則AD=5,DG=AB=4,圖(3)∵OD=DA=DC,∴DC=5,∴CG=3,∵F為BC的中點,又BF+CF=8,∴CF=4,∴FG=1,∴DF=17,由(1)知OE⊥平面ODF,所以O(shè)E為平面ODF的一個法向量.如圖(4),以O(shè)為原點,在平面OED中垂直于OF的直線為x軸,OF為y軸,OE為z軸,建立空間直角坐標系,圖(4)則F(0,4,0),E(0,0,2),設(shè)D(x,y,0),OE=(0,0,2),則由|CD|=5,|FD|=17,聯(lián)立方程組x解得x=4,∴D(4,3,0).設(shè)平面EFD的一個法向量m=(a,b,c),則m令a=1,得m=(1,4,8).設(shè)所求二面角的平面角為θ,由圖形知θ為銳角,則cosθ=|cos<OE,m>|=|∴二面角O-DF-E的平面角的余弦值為86.木工技藝是我國傳統(tǒng)文化珍寶之一,體現(xiàn)了勞動人民的無窮才智.很多古代建筑和家具不用鐵釘,保存到現(xiàn)代卻依舊堅固,這其中,有連接加固功能的“楔子”發(fā)揮了重要作用.如圖,是一個楔子形態(tài)的直觀圖.其底面ABCD為一個矩形,其中AB=6,AD=4.頂部線段EF∥平面ABCD,棱EA=ED=FB=FC=62,EF=2,二面角F-BC-A的余弦值為1717,設(shè)M,N是AD,BC的中點(1)證明:BC⊥平面EFNM;(2)求平面BEF和平面CEF所成銳二面角的余弦值.(1)證明∵EF∥平面ABCD,且EF?平面EFAB,又平面ABCD∩平面EFAB=AB,∴EF∥AB.又M,N是平行四形ABCD兩邊AD,BC的中點,∴MN∥AB,∴EF∥MN,∴E,F,M,N四點共面.∵FB=FC,∴BC⊥FN,又∵BC⊥MN,且FN∴BC⊥平面EFNM.(2)解在平面EFNM內(nèi)過點F作MN的垂線,垂足為H,則由第(1)問可知:BC⊥平面EFNM,則平面ABCD⊥平面EFNM,所以FH⊥平面ABCD,又因為FN⊥BC,HN⊥BC,則二面角F-BC-A的平面角為∠FNH.在Rt△FNB和Rt△FNH中,FN=FB2-BN2=68∴FH=8,過H作邊AB,CD的垂線,垂足為S,Q,連接FS,FQ,則AB⊥SQ,AB⊥FH,則AB⊥平面FSQ,由第(1)問,EF∥AB,∴EF⊥平面FSQ,∴∠SFQ是所求二面角B-EF-C的平面角.在△SFQ中,tan∠FSQ=tan∠FQS=82=∴tan∠SFQ=tan(π-∠FSQ-∠FQS)=-tan∠∴cos∠SFQ=1517,即二面角B-EF-C的余弦值是第五章計數(shù)原理1.我國古代有著輝煌的數(shù)學探討成果.《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》……《緝古算經(jīng)》等10部專著,有著非常豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學的重要文獻.這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期.某中學擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著的選法為()A.45種 B.42種C.28種 D.16種解析有1部是魏晉南北朝時期專著的選法為C71C31=21(種),有2部是魏晉南北朝時期專著的選法為C72=21種,共有21答案B2.楊輝三角如圖所示,楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外,均能被行數(shù)5整除,則具有類似性質(zhì)的行是()A.第6行 B.第7行C.第8行 D.第9行解析由題意,第6行為1615201561第7行為172135352171故第7行除去兩端數(shù)字1以外,均能被7整除.答案B3.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的種數(shù)是.

解析在不超過30的素數(shù)中和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3種.答案34.桌上有十個蘋果,要把這十個蘋果放到九個抽屜里,無論怎樣放,我們會發(fā)覺至少會有一個抽屜里面至少放兩個蘋果.這一現(xiàn)象就是我們所說的“抽屜原理”.現(xiàn)已知某市一中有2556名學生,假設(shè)沒有同學在2月29號過生日,那么在一年365天中最多人過生日的那天,至少有人同時過生日.

解析∵2556÷365≈7.00274,∴在一年365天中最多人過生日的那天,至少有8人同時過生日.答案85.已知大夫、不更、簪裊、上造、公士是古代五個不同爵次的官員,現(xiàn)皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成兩組(一組2人,一組3人),派去兩地執(zhí)行公務(wù),則大夫、不更恰好在同一組的種數(shù)為.

解析大夫、不更恰好在同一組包含的種數(shù)m=C22C答案86.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作.其中的一道題“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚.問:得幾何?”意思是:“有一塊棱長為3尺的正方體方木,要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭,可作多少個?”已知1尺為10寸,現(xiàn)有這樣的一個正方體木料,其外周已涂上油漆,則從切割后的正方體枕頭中任取一塊,恰有一面涂上油漆的塊數(shù)為.

解析由正方體的結(jié)構(gòu)及鋸木塊的方法,可知一面帶有油漆的木塊是每個面的中間那16塊,共有6×16=96(塊).答案967.《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首,它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸實的相識,是中華人文文化的基礎(chǔ),它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語說明為:把陽爻“”當作數(shù)字“1”,把陰爻“”當作數(shù)字“0”,則八卦中的四卦所代表的數(shù)表示如下:卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類推,則六十四卦中的“屯”卦,符號“”表示的十進制數(shù)是.

解析由題意類推,可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二進制數(shù)的010001,轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)的計算為1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17.答案178.楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、教化家.楊輝三角是楊輝的一項重要探討成果,它的很多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān),楊輝三角中隱藏了很多美麗的規(guī)律.如圖是一個11階楊輝三角:(1)求第20行中從左到右的第4個數(shù);(2)若第n行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為23,求n的值解(1)由題意,得第n行的從左到右第m+1個數(shù)為Cnm(n∈N+,m∈N且m≤∴第20行中從左到右的第4個數(shù)為C203=1(2)由題意,得第n行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為23∴Cn13Cn14=2第六章概率1.如圖,我國古代珠算算具——算盤每個檔(掛珠的桿)上有7顆算珠,用梁隔開,梁上面2顆叫上珠,下面5顆叫下珠.若從某一檔的7顆算珠中任取3顆,至少含有一顆上珠的概率為()A.57 BC.27解析從某一檔的7顆算珠中任取3顆,樣本點總數(shù)n=C73至少含有一顆上珠包含的樣本點個數(shù)m=C22∴至少含有一顆上珠的概率為m答案A2.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說,河圖、洛書是中國古代流傳下來的兩幅神奇圖案,蘊含了深邃的宇宙星象之理,被譽為“宇宙魔方”,是中華文化,陰陽術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如圖,白圈為陽數(shù),黑點為陰數(shù),若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù),則其差的肯定值為3的概率為()A.15 BC.725解析因為陽數(shù)為1,3,5,7,9,陰數(shù)為2,4,6,8,10,所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取1個的全部組合共有5×5=25(個),滿意差的肯定值為3的有:(1,4),(3,6),(5,2),(5,8),(7,10),(7,4),(9,6),共7個,則所求概率是7答案C3.中國古代的“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”合稱“六藝”.某校國學社團打算于周六上午9點分別在6個教室開展這六門課程講座,每位同學只能選擇一門課程,則甲乙兩人至少有一人選擇“禮”的概率是()A.56 B.2536解析六門課程講座,甲乙各選擇一門課程的選法總數(shù)為6×6=36(種);甲乙兩人至少有一人選擇“禮”的總數(shù)選法為36-5×5=11(種);所以甲乙兩人至少有一人選擇“禮”的概率是11答案D4.1654年,法國貴族德·梅雷騎士偶遇數(shù)學家布萊茲·帕斯卡,在閑聊時梅雷談了最近遇到的一件事:某天在一酒吧中,肖恩和尤瑟納爾兩人進行角力競賽,約定勝者可以喝杯酒,當肖恩贏20局且尤瑟納爾贏40局時他們發(fā)覺桌子上還剩最終一杯酒.此時酒吧老板和店員提議兩人采納七局四勝制的方法競賽,兩人中先勝四局的可以喝最終那杯酒,假如四局、五局、六局、七局后可以決出輸贏那么分別由肖恩、尤瑟納爾、酒吧店員和酒吧老板付費,梅雷由于接到吩咐須要覲見國王,沒有等到競賽結(jié)束就匆忙離開了酒館.請利用數(shù)學學問做出合理假設(shè),揣測最終付酒資的最有可能是()A.肖恩 B.尤瑟納爾C.酒吧店員 D.酒吧老板解析由題意可得,肖恩每局獲勝的概率為2020+40=13設(shè)決出輸贏的場數(shù)為X,則P(X=4)=C44134+C44P(X=5)=C43133×2P(X=6)=C53133×232×13+C532P(X=7)=C63133×233=∵17∴P(X=4)<P(X=7)<P(X=6)<P(X=5),∴最終付酒資的最有可能是尤瑟納爾.答案B5.田忌賽馬是《史記》中記載的一個故事,說的是齊國將軍田忌常常與齊國眾人賽馬,孫臏發(fā)覺田忌與他們的馬腳力都差不多,都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍制定了一個必勝策略:競賽即將起先時,他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)他們的上等馬,用上等馬對戰(zhàn)他們的中等馬,用中等馬對戰(zhàn)他們的下等馬,從而使田忌贏得很多賭注.假設(shè)田忌的各等級馬與某人的各等級馬進行一場競賽獲勝的概率如表所示:獲勝概率某人的馬上等馬中等馬下等馬田忌的馬上等馬0.50.81中等馬0.20.50.9下等馬00.050.4競賽規(guī)則規(guī)定:一次競賽由三場賽馬組成,每場由公子和田忌各出一匹馬出賽,結(jié)果只有勝和負兩種,并且每一方三場賽馬的馬的等級各不相同,三場競賽中至少獲勝兩場的一方為最終成功者.(1)假如按孫臏的策略競賽一次,求田忌獲勝的概率;(2)假如競賽約定,只能同等級馬對戰(zhàn),每次競賽賭注1000金,即成功者贏得對方1000金,每月競賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學期望.解(1)記事務(wù)A表示“按孫臏的策略競賽一次,田忌獲勝”.對于事務(wù)A,三次競賽中,由于第三場必輸,則前兩次競賽中田忌都勝.因此,P(A)=0.8×0.9=0.72;(2)設(shè)田忌在每次競賽所得獎金為隨機變量ξ,則隨機變量ξ的可能取值為-1000和1000,若競賽一次,田忌獲勝,則三場競賽中,田忌輸贏的分布為:勝勝勝、負勝勝、輸贏勝、勝輸贏,設(shè)競賽一次,田忌獲勝的概率為P,則P=12×1隨機變量ξ的分布列如下表所示:ξ-10001000P119所以,E(ξ)=-1000×1120+1000×9因此,田忌一年賽馬獲利的數(shù)學期望為-100×12=-1200(金).6.京劇是我國的國粹,是“國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”,某機構(gòu)在網(wǎng)絡(luò)上調(diào)查發(fā)覺各地京劇票友的年齡ξ聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),同時隨機抽取100位參與某電視臺《我愛京劇》節(jié)目的票友的年齡作為樣本進行分析探討(全部票友的年齡都在[30,80]內(nèi)),樣本數(shù)據(jù)分別在區(qū)間[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]內(nèi),由此得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)若P(ξ<38)=P(ξ>68),求a,b的值;(2)在樣本年齡在[70,80]的票友中組織了一次有關(guān)京劇學問的問答,每人回答一個問題,答對贏得一臺老年戲曲演唱機,答錯沒有獎品,假設(shè)每人答對的概率均為23,且每個人回答正確與否相互之間沒有影響,用η表示票友們贏得老年戲曲演唱機的臺數(shù),求η的分布列及數(shù)學期望解(1)∵P(ξ<38)=P(ξ>68),∴μ=38+682=53由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得:(0.01+0.03+b+0.02+a)×10=1,0.1×35+0.3×45+10b×55+0.2×65+10a×75=53,聯(lián)立解得a=0.005,b=0.035.(2)樣本年齡在[70,80]的票友共有0.005×10×100=5(人),由題意可得η=0,1,2,3,4,5,η~B5,23,P(η=k)=C5k23k135-k,P(η=0)=P(η=1)=10243,P(η=2)=40243,P(η=3)=P(η=4)=80243,P(η=5)=∴η的分布列為:η012345P11040808032可得E(η)=5×第七章統(tǒng)計案例1.地攤經(jīng)濟作為推動地方經(jīng)濟社會發(fā)展的一個支點,有利于促進經(jīng)濟社會秩序的復原,小李的流淌攤位某商品的售價X元和銷售量Y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示:價格X99.51010.511銷售量Y1110865由散點圖可知,銷售量Y與價格X之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系,其線性回來直線方程是:Y=-3.2X+a^,則a^=解析由表格中的數(shù)據(jù)可得x=9+9y=11+10+8+6+5將點(x,y)的坐標代入回來直線方程得-3.2×10+a^=8,解得a答案403.2024年春節(jié)期間,某支付軟件公司推出“紅包大行動”,用發(fā)紅包的方法刺激支付軟件的運用.某商家統(tǒng)計前5名顧客掃描紅包所得金額分別為5.2元,2.9元,3.3元,5.9元,4.8元,商家從這5名顧客中隨機抽取3人贈送飲水杯.(1)求獲得飲水杯的三人中至少有一人的紅包超過5元的概率;(2)統(tǒng)計一周內(nèi)每天運用該支付軟件付款的人數(shù)X與商家每天的凈利潤Y元,得到7組數(shù)據(jù),如表所示,并作出了散點圖.X12162629252230Y60100150270240210330①干脆依據(jù)散點圖推斷,Y=a^+b^X與Y=ec+dX②依據(jù)①的推斷,建立Y關(guān)于X的回來方程;若商家產(chǎn)天的凈利潤至少是1400元,估計運用該支付軟件付款的人數(shù)至少是多少?(a^,b^,c參考數(shù)據(jù):xy∑i=17(xi-x∑i=17(xi-x)(yi-22.86194.29268.863484.29附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回來直線V=α^+β解(1)由已知5名顧客中紅包超過5元的有2人,分別記為A,B,不足5元的有3人,分別記為c,d,e,從這5人隨機抽取3人,樣本點有ABc,ABd,ABe,Acd,Ace,Ade,Bcd,Bce,Bde,cde共10種,設(shè)事務(wù)M表示“獲得飲水杯的3人中至少有1人的紅包超過5元”,則它的對立事務(wù)是M表示“獲得飲水杯的3人中沒有1人的紅包超過5元”,滿