同步優(yōu)化設(shè)計(jì)2024年高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化課后篇鞏固提升含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè)

數(shù)學(xué)文化【數(shù)學(xué)文化簡(jiǎn)介】數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué),也是一種文化,即“數(shù)學(xué)文化”;數(shù)學(xué)文化是人類文化的重要組成部分,是人類精神與社會(huì)進(jìn)步的產(chǎn)物,也是推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的動(dòng)力.對(duì)于數(shù)學(xué)文化,這在近幾年的高考試題中有所體現(xiàn).我國(guó)古代數(shù)學(xué)里有大量的實(shí)際問題,世界的數(shù)學(xué)寶庫中也有很多經(jīng)典的實(shí)例,同時(shí)也應(yīng)了解當(dāng)前的一些新科技和一些優(yōu)秀科學(xué)家的杰出貢獻(xiàn).將數(shù)學(xué)文化融合到問題當(dāng)中,這些問題同時(shí)也體現(xiàn)了應(yīng)用性的考查,要引起學(xué)生的重視.比如在《九章算術(shù)·方田》《九章算術(shù)·商攻》《圓錐曲線論》等著作中有較多關(guān)于本冊(cè)學(xué)問的典型案例.【數(shù)學(xué)文化舉例】第一章直線與圓1.趙州橋是當(dāng)今世界上建立最早、保存最完整的我國(guó)古代單孔敞肩石拱橋(圖1).若以趙州橋跨徑AB所在直線為x軸,橋的拱高OP所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系(圖2),橋的圓拱APB所在的圓的方程為x2+(y+20.7)2=27.92,求|OP|.(圖1)(圖2)解在方程x2+(y+20.7)2=27.92中,令x=0,則(y+20.7)2=27.92,解得y1=7.2,y2=-48.6(舍去).∴|OP|=7.2.2.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果.他證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)A(-3,0),B(3,0),動(dòng)點(diǎn)M滿意|MA||MB|=2,則動(dòng)點(diǎn)A.64π B.16π C.4π D.2π解析設(shè)M(x,y),則|MA|=(x同理|MB|=(x而|MA||MB|化簡(jiǎn),得3x2-30x+27+3y2=0,即x2-10x+9+y2=0,整理,得(x-5)2+y2=42,從而M的軌跡是以(5,0)為圓心,4為半徑的圓,∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成的面積為4×4×π=16π.答案B其次章圓錐曲線1.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn),C,D為橢圓的短軸端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿意|MA||MB|=A.23 B.33解析設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵動(dòng)點(diǎn)M滿意|MA|則(x+a)化簡(jiǎn)得x-5a32+y2=16∵△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,∴12×2a×43a=8,1解得a=6,b=62∴橢圓的離心率為1答案D2.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著.第九章“勾股”,講解并描述了勾股定理及一些應(yīng)用.直角三角形的兩直角邊與斜邊的長(zhǎng)分別稱“勾”“股”“弦”,且“勾2+股2=弦2”.設(shè)F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),直線y=3x交橢圓于A,B兩點(diǎn),若|AF|,|BF|恰好是Rt△ABF的“勾A.3-1 BC.3-解析∵|AF|,|BF|恰好是Rt△ABF的“勾”“股”,∴AF⊥BF,∴OA=OB=OF=c.∴Ac2,3∴c2即a2-b2ab2a22+6·b2a2-3=0?b2a2=23-3,e2=∴e=3-1.答案A3.位于德國(guó)東部薩克森州的萊科勃克橋(如圖所示)有“仙境之橋”之稱,它的橋形可近似地看成拋物線,該橋的高度為h,跨徑為a,則橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.a2C.a2解析依據(jù)題意,以橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn),橋形的對(duì)稱軸為y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,該拋物線方程可寫為x2=-2py(p>0).∵該拋物線經(jīng)過點(diǎn)a2,-h,代入拋物線方程可得a24=2hp,解得p=a28h,答案A4.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切割圓錐得到圓錐曲線的方法.如圖,將兩個(gè)完全相同的圓錐對(duì)頂放置(兩圓錐的軸重合),已知兩個(gè)圓錐的底面半徑均為1,母線長(zhǎng)均為2,記過圓錐軸的平面ABCD為平面α(α與兩個(gè)圓錐面的交線為AC,BD),用平行于α的平面截圓錐,該平面與兩個(gè)圓錐側(cè)面的截線即為雙曲線Γ的一部分,且雙曲線Γ的兩條漸近線分別平行于AC,BD,則雙曲線Γ的離心率為()A.23C.3 D.解析兩個(gè)圓錐的底面半徑為r=1,母線長(zhǎng)均為l=2,可得圓錐的高為h=22由雙曲線Γ的兩條漸近線分別平行于AC,BD,設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=±bax即有ba=33答案A第三章空間向量與立體幾何1.中國(guó)古代數(shù)學(xué)家名著《九章算術(shù)》中記載:“芻甍者,下有袤有廣,而上有袤無廣.芻,草也.甍,屋蓋也.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形,頂部只有長(zhǎng)沒有寬為一條棱.芻甍就是茅草屋頂.”現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示,四邊形ABCD為正方形,四邊形ABFE,CDEF為兩個(gè)全等的等腰梯形,AB=4,EF12AB,若這個(gè)芻甍的體積為403,則異面直線AB與CF所成角的余弦值為A.13 BC.53解析取CD,AB的中點(diǎn)M,N,連接FM,FN,則多面體分割為棱柱與棱錐兩個(gè)部分,設(shè)E到平面ABCD的距離為h,則12×4×h×2+13×4×2∴h=2,∵CN=16+4=25,∴CF=5+4=3,∵CD∥AB,∴∠FCD為異面直線AB與CF所成角,在△FCM中,FM=FC=3,CM=2,∴cos∠FCD=9+4答案A2.我國(guó)古代《九章算術(shù)》里,記載了一個(gè)例子:今有羨除,下廣六尺,上廣一丈,深三尺,末廣八尺,無深,袤七尺,問積幾何?該問題中的羨除是指如圖所示的五面體ABCDEF,其三個(gè)側(cè)面皆為等腰梯形,且AB∥CD∥EF,兩個(gè)底面為直角三角形,且BC⊥CF,AD⊥DE,其中AB=6尺,CD=10尺,EF=8尺,AB,CD間的距離為3尺,CD,EF間的距離為7尺,則異面直線DF與AB所成的角的正弦值為()A.9130C.97解析如圖,五面體ABCDEF中,四邊形ABFE,ABCD,EFCD均為等腰梯形,EF∥AB∥CD,△ADE,△BCF均為直角三角形,AD⊥DE,BC⊥CF,CD=10,AB=6,AD=22+32=13∵sin∠DCF=7210,∴cos∠DCF=∴DF=100+50-∵AB∥CD,∴∠CDF是異面直線DF與AB所成的角,∴cos∠CDF=CD2+DF2-∴異面直線DF與AB所成角的正弦值為7答案B3.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商攻》中,闡述:“斜解立方,得兩壍堵.斜解壍堵,其一為陽馬,一為鱉臑.陽馬居二,鱉臑居一.”若稱為“陽馬”的某四棱錐如圖所示,ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,AB=4,則PA與BC所成的角等于;PB與平面PDC所成角的正弦值等于.

解析∵底面ABCD為矩形,∴AD∥BC,則∠PAD為PA與BC所成的角,∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,在Rt△PDA中,∵PD=AD,∴∠PAD=45°,即PA與BC所成的角等于45°.∵PD⊥平面ABCD,PD?平面PDC,則平面PDC⊥平面ABCD,又平面ABCD∩平面PDC=DC,AD⊥DC,可得AD⊥平面PDC,又AD∥BC,∴BC⊥平面PDC,∴∠BPC是PB與平面PDC所成的角,∵PD=3,DC=4,∴PC=5,又BC=3,∴PB=3∴sin∠BPC=BC答案45°34.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有倉,廣三丈,袤四丈五尺,容粟一萬斛,問高幾何?”其意思為:“今有一個(gè)長(zhǎng)方體(記為ABCD-A1B1C1D1)的糧倉,寬3丈(即AD=3丈),長(zhǎng)4丈5尺(即AB=4.5丈),可裝粟一萬斛,問該糧倉的高是多少?”已知1斛粟的體積為2.7立方尺,一丈為10尺,則下列推斷正確的是.(填寫全部正確結(jié)論的編號(hào))

①該糧倉的高AA1是2丈;②異面直線AD與BC1所成角的正弦值為313③長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面積為1334π解析長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=3丈,AB=4.5丈,V=10000×2.7×10-3=27(立方丈),糧倉的高AA1=VAD·AB=273×如圖所示,AD∥BC,∴∠CBC1是異面直線AD與BC1所成的角,∴sin∠CBC1=CC1BC長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的直徑的平方為(2R)2=(AC1)2=22+32+4.52=33.25=1334(丈∴外接球的表面積為4πR2=1334π(平方丈),③綜上,正確的結(jié)論是①③.答案①③5.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,在第一卷《方田》中,將直角梯形稱之為“邪田”,當(dāng)直角梯形底邊橫放時(shí),以“頭”稱其上下底,以“正從”稱其高,如圖(1),在“邪田”ABCD中,E,F分別在“正從”和“下頭”上,沿EF,FD,DE將圖形翻折起來,使A,B,C重合為一點(diǎn)O.(1)求證:OE⊥DF;(2)若在“邪田”ABCD中,“正從”AB=4,“上頭”AD=5,試求二面角O-DF-E的平面角的余弦值.(1)證明如圖(2),依題意E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),且由AD⊥AE,BF⊥BE,得OD⊥OE,OE⊥OF,∵OF∩OD=O,∴OE⊥平面ODF,∵DF?平面ODF,∴OE⊥DF.(2)解如圖(3),過D作DG⊥BC于G,則AD=5,DG=AB=4,圖(3)∵OD=DA=DC,∴DC=5,∴CG=3,∵F為BC的中點(diǎn),又BF+CF=8,∴CF=4,∴FG=1,∴DF=17,由(1)知OE⊥平面ODF,所以O(shè)E為平面ODF的一個(gè)法向量.如圖(4),以O(shè)為原點(diǎn),在平面OED中垂直于OF的直線為x軸,OF為y軸,OE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,圖(4)則F(0,4,0),E(0,0,2),設(shè)D(x,y,0),OE=(0,0,2),則由|CD|=5,|FD|=17,聯(lián)立方程組x解得x=4,∴D(4,3,0).設(shè)平面EFD的一個(gè)法向量m=(a,b,c),則m令a=1,得m=(1,4,8).設(shè)所求二面角的平面角為θ,由圖形知θ為銳角,則cosθ=|cos<OE,m>|=|∴二面角O-DF-E的平面角的余弦值為86.木工技藝是我國(guó)傳統(tǒng)文化珍寶之一,體現(xiàn)了勞動(dòng)人民的無窮才智.很多古代建筑和家具不用鐵釘,保存到現(xiàn)代卻依舊堅(jiān)固,這其中,有連接加固功能的“楔子”發(fā)揮了重要作用.如圖,是一個(gè)楔子形態(tài)的直觀圖.其底面ABCD為一個(gè)矩形,其中AB=6,AD=4.頂部線段EF∥平面ABCD,棱EA=ED=FB=FC=62,EF=2,二面角F-BC-A的余弦值為1717,設(shè)M,N是AD,BC的中點(diǎn)(1)證明:BC⊥平面EFNM;(2)求平面BEF和平面CEF所成銳二面角的余弦值.(1)證明∵EF∥平面ABCD,且EF?平面EFAB,又平面ABCD∩平面EFAB=AB,∴EF∥AB.又M,N是平行四形ABCD兩邊AD,BC的中點(diǎn),∴MN∥AB,∴EF∥MN,∴E,F,M,N四點(diǎn)共面.∵FB=FC,∴BC⊥FN,又∵BC⊥MN,且FN∴BC⊥平面EFNM.(2)解在平面EFNM內(nèi)過點(diǎn)F作MN的垂線,垂足為H,則由第(1)問可知:BC⊥平面EFNM,則平面ABCD⊥平面EFNM,所以FH⊥平面ABCD,又因?yàn)镕N⊥BC,HN⊥BC,則二面角F-BC-A的平面角為∠FNH.在Rt△FNB和Rt△FNH中,FN=FB2-BN2=68∴FH=8,過H作邊AB,CD的垂線,垂足為S,Q,連接FS,FQ,則AB⊥SQ,AB⊥FH,則AB⊥平面FSQ,由第(1)問,EF∥AB,∴EF⊥平面FSQ,∴∠SFQ是所求二面角B-EF-C的平面角.在△SFQ中,tan∠FSQ=tan∠FQS=82=∴tan∠SFQ=tan(π-∠FSQ-∠FQS)=-tan∠∴cos∠SFQ=1517,即二面角B-EF-C的余弦值是第五章計(jì)數(shù)原理1.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)探討成果.《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》……《緝古算經(jīng)》等10部專著,有著非常豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期.某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著的選法為()A.45種 B.42種C.28種 D.16種解析有1部是魏晉南北朝時(shí)期專著的選法為C71C31=21(種),有2部是魏晉南北朝時(shí)期專著的選法為C72=21種,共有21答案B2.楊輝三角如圖所示,楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外,均能被行數(shù)5整除,則具有類似性質(zhì)的行是()A.第6行 B.第7行C.第8行 D.第9行解析由題意,第6行為1615201561第7行為172135352171故第7行除去兩端數(shù)字1以外,均能被7整除.答案B3.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的種數(shù)是.

解析在不超過30的素?cái)?shù)中和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3種.答案34.桌上有十個(gè)蘋果,要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里,無論怎樣放,我們會(huì)發(fā)覺至少會(huì)有一個(gè)抽屜里面至少放兩個(gè)蘋果.這一現(xiàn)象就是我們所說的“抽屜原理”.現(xiàn)已知某市一中有2556名學(xué)生,假設(shè)沒有同學(xué)在2月29號(hào)過生日,那么在一年365天中最多人過生日的那天,至少有人同時(shí)過生日.

解析∵2556÷365≈7.00274,∴在一年365天中最多人過生日的那天,至少有8人同時(shí)過生日.答案85.已知大夫、不更、簪裊、上造、公士是古代五個(gè)不同爵次的官員,現(xiàn)皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成兩組(一組2人,一組3人),派去兩地執(zhí)行公務(wù),則大夫、不更恰好在同一組的種數(shù)為.

解析大夫、不更恰好在同一組包含的種數(shù)m=C22C答案86.《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作.其中的一道題“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚.問:得幾何?”意思是:“有一塊棱長(zhǎng)為3尺的正方體方木,要把它作成邊長(zhǎng)為5寸的正方體枕頭,可作多少個(gè)?”已知1尺為10寸,現(xiàn)有這樣的一個(gè)正方體木料,其外周已涂上油漆,則從切割后的正方體枕頭中任取一塊,恰有一面涂上油漆的塊數(shù)為.

解析由正方體的結(jié)構(gòu)及鋸木塊的方法,可知一面帶有油漆的木塊是每個(gè)面的中間那16塊,共有6×16=96(塊).答案967.《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首,它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬事萬物的深刻而又樸實(shí)的相識(shí),是中華人文文化的基礎(chǔ),它反映出中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語說明為:把陽爻“”當(dāng)作數(shù)字“1”,把陰爻“”當(dāng)作數(shù)字“0”,則八卦中的四卦所代表的數(shù)表示如下:卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類推,則六十四卦中的“屯”卦,符號(hào)“”表示的十進(jìn)制數(shù)是.

解析由題意類推,可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二進(jìn)制數(shù)的010001,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17.答案178.楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教化家.楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要探討成果,它的很多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān),楊輝三角中隱藏了很多美麗的規(guī)律.如圖是一個(gè)11階楊輝三角:(1)求第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù);(2)若第n行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)的比為23,求n的值解(1)由題意,得第n行的從左到右第m+1個(gè)數(shù)為Cnm(n∈N+,m∈N且m≤∴第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù)為C203=1(2)由題意,得第n行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)的比為23∴Cn13Cn14=2第六章概率1.如圖,我國(guó)古代珠算算具——算盤每個(gè)檔(掛珠的桿)上有7顆算珠,用梁隔開,梁上面2顆叫上珠,下面5顆叫下珠.若從某一檔的7顆算珠中任取3顆,至少含有一顆上珠的概率為()A.57 BC.27解析從某一檔的7顆算珠中任取3顆,樣本點(diǎn)總數(shù)n=C73至少含有一顆上珠包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)m=C22∴至少含有一顆上珠的概率為m答案A2.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說,河圖、洛書是中國(guó)古代流傳下來的兩幅神奇圖案,蘊(yùn)含了深邃的宇宙星象之理,被譽(yù)為“宇宙魔方”,是中華文化,陰陽術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如圖,白圈為陽數(shù),黑點(diǎn)為陰數(shù),若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù),則其差的肯定值為3的概率為()A.15 BC.725解析因?yàn)殛枖?shù)為1,3,5,7,9,陰數(shù)為2,4,6,8,10,所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取1個(gè)的全部組合共有5×5=25(個(gè)),滿意差的肯定值為3的有:(1,4),(3,6),(5,2),(5,8),(7,10),(7,4),(9,6),共7個(gè),則所求概率是7答案C3.中國(guó)古代的“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”合稱“六藝”.某校國(guó)學(xué)社團(tuán)打算于周六上午9點(diǎn)分別在6個(gè)教室開展這六門課程講座,每位同學(xué)只能選擇一門課程,則甲乙兩人至少有一人選擇“禮”的概率是()A.56 B.2536解析六門課程講座,甲乙各選擇一門課程的選法總數(shù)為6×6=36(種);甲乙兩人至少有一人選擇“禮”的總數(shù)選法為36-5×5=11(種);所以甲乙兩人至少有一人選擇“禮”的概率是11答案D4.1654年,法國(guó)貴族德·梅雷騎士偶遇數(shù)學(xué)家布萊茲·帕斯卡,在閑聊時(shí)梅雷談了最近遇到的一件事:某天在一酒吧中,肖恩和尤瑟納爾兩人進(jìn)行角力競(jìng)賽,約定勝者可以喝杯酒,當(dāng)肖恩贏20局且尤瑟納爾贏40局時(shí)他們發(fā)覺桌子上還剩最終一杯酒.此時(shí)酒吧老板和店員提議兩人采納七局四勝制的方法競(jìng)賽,兩人中先勝四局的可以喝最終那杯酒,假如四局、五局、六局、七局后可以決出輸贏那么分別由肖恩、尤瑟納爾、酒吧店員和酒吧老板付費(fèi),梅雷由于接到吩咐須要覲見國(guó)王,沒有等到競(jìng)賽結(jié)束就匆忙離開了酒館.請(qǐng)利用數(shù)學(xué)學(xué)問做出合理假設(shè),揣測(cè)最終付酒資的最有可能是()A.肖恩 B.尤瑟納爾C.酒吧店員 D.酒吧老板解析由題意可得,肖恩每局獲勝的概率為2020+40=13設(shè)決出輸贏的場(chǎng)數(shù)為X,則P(X=4)=C44134+C44P(X=5)=C43133×2P(X=6)=C53133×232×13+C532P(X=7)=C63133×233=∵17∴P(X=4)<P(X=7)<P(X=6)<P(X=5),∴最終付酒資的最有可能是尤瑟納爾.答案B5.田忌賽馬是《史記》中記載的一個(gè)故事,說的是齊國(guó)將軍田忌常常與齊國(guó)眾人賽馬,孫臏發(fā)覺田忌與他們的馬腳力都差不多,都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍制定了一個(gè)必勝策略:競(jìng)賽即將起先時(shí),他讓田忌用下等馬對(duì)戰(zhàn)他們的上等馬,用上等馬對(duì)戰(zhàn)他們的中等馬,用中等馬對(duì)戰(zhàn)他們的下等馬,從而使田忌贏得很多賭注.假設(shè)田忌的各等級(jí)馬與某人的各等級(jí)馬進(jìn)行一場(chǎng)競(jìng)賽獲勝的概率如表所示:獲勝概率某人的馬上等馬中等馬下等馬田忌的馬上等馬0.50.81中等馬0.20.50.9下等馬00.050.4競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定:一次競(jìng)賽由三場(chǎng)賽馬組成,每場(chǎng)由公子和田忌各出一匹馬出賽,結(jié)果只有勝和負(fù)兩種,并且每一方三場(chǎng)賽馬的馬的等級(jí)各不相同,三場(chǎng)競(jìng)賽中至少獲勝兩場(chǎng)的一方為最終成功者.(1)假如按孫臏的策略競(jìng)賽一次,求田忌獲勝的概率;(2)假如競(jìng)賽約定,只能同等級(jí)馬對(duì)戰(zhàn),每次競(jìng)賽賭注1000金,即成功者贏得對(duì)方1000金,每月競(jìng)賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望.解(1)記事務(wù)A表示“按孫臏的策略競(jìng)賽一次,田忌獲勝”.對(duì)于事務(wù)A,三次競(jìng)賽中,由于第三場(chǎng)必輸,則前兩次競(jìng)賽中田忌都勝.因此,P(A)=0.8×0.9=0.72;(2)設(shè)田忌在每次競(jìng)賽所得獎(jiǎng)金為隨機(jī)變量ξ,則隨機(jī)變量ξ的可能取值為-1000和1000,若競(jìng)賽一次,田忌獲勝,則三場(chǎng)競(jìng)賽中,田忌輸贏的分布為:勝勝勝、負(fù)勝勝、輸贏勝、勝輸贏,設(shè)競(jìng)賽一次,田忌獲勝的概率為P,則P=12×1隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示:ξ-10001000P119所以,E(ξ)=-1000×1120+1000×9因此,田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望為-100×12=-1200(金).6.京劇是我國(guó)的國(guó)粹,是“國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”,某機(jī)構(gòu)在網(wǎng)絡(luò)上調(diào)查發(fā)覺各地京劇票友的年齡ξ聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),同時(shí)隨機(jī)抽取100位參與某電視臺(tái)《我愛京劇》節(jié)目的票友的年齡作為樣本進(jìn)行分析探討(全部票友的年齡都在[30,80]內(nèi)),樣本數(shù)據(jù)分別在區(qū)間[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]內(nèi),由此得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)若P(ξ<38)=P(ξ>68),求a,b的值;(2)在樣本年齡在[70,80]的票友中組織了一次有關(guān)京劇學(xué)問的問答,每人回答一個(gè)問題,答對(duì)贏得一臺(tái)老年戲曲演唱機(jī),答錯(cuò)沒有獎(jiǎng)品,假設(shè)每人答對(duì)的概率均為23,且每個(gè)人回答正確與否相互之間沒有影響,用η表示票友們贏得老年戲曲演唱機(jī)的臺(tái)數(shù),求η的分布列及數(shù)學(xué)期望解(1)∵P(ξ<38)=P(ξ>68),∴μ=38+682=53由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得:(0.01+0.03+b+0.02+a)×10=1,0.1×35+0.3×45+10b×55+0.2×65+10a×75=53,聯(lián)立解得a=0.005,b=0.035.(2)樣本年齡在[70,80]的票友共有0.005×10×100=5(人),由題意可得η=0,1,2,3,4,5,η~B5,23,P(η=k)=C5k23k135-k,P(η=0)=P(η=1)=10243,P(η=2)=40243,P(η=3)=P(η=4)=80243,P(η=5)=∴η的分布列為:η012345P11040808032可得E(η)=5×第七章統(tǒng)計(jì)案例1.地?cái)偨?jīng)濟(jì)作為推動(dòng)地方經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的一個(gè)支點(diǎn),有利于促進(jìn)經(jīng)濟(jì)社會(huì)秩序的復(fù)原,小李的流淌攤位某商品的售價(jià)X元和銷售量Y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示:價(jià)格X99.51010.511銷售量Y1110865由散點(diǎn)圖可知,銷售量Y與價(jià)格X之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,其線性回來直線方程是:Y=-3.2X+a^,則a^=解析由表格中的數(shù)據(jù)可得x=9+9y=11+10+8+6+5將點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)代入回來直線方程得-3.2×10+a^=8,解得a答案403.2024年春節(jié)期間,某支付軟件公司推出“紅包大行動(dòng)”,用發(fā)紅包的方法刺激支付軟件的運(yùn)用.某商家統(tǒng)計(jì)前5名顧客掃描紅包所得金額分別為5.2元,2.9元,3.3元,5.9元,4.8元,商家從這5名顧客中隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送飲水杯.(1)求獲得飲水杯的三人中至少有一人的紅包超過5元的概率;(2)統(tǒng)計(jì)一周內(nèi)每天運(yùn)用該支付軟件付款的人數(shù)X與商家每天的凈利潤(rùn)Y元,得到7組數(shù)據(jù),如表所示,并作出了散點(diǎn)圖.X12162629252230Y60100150270240210330①干脆依據(jù)散點(diǎn)圖推斷,Y=a^+b^X與Y=ec+dX②依據(jù)①的推斷,建立Y關(guān)于X的回來方程;若商家產(chǎn)天的凈利潤(rùn)至少是1400元,估計(jì)運(yùn)用該支付軟件付款的人數(shù)至少是多少?(a^,b^,c參考數(shù)據(jù):xy∑i=17(xi-x∑i=17(xi-x)(yi-22.86194.29268.863484.29附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回來直線V=α^+β解(1)由已知5名顧客中紅包超過5元的有2人,分別記為A,B,不足5元的有3人,分別記為c,d,e,從這5人隨機(jī)抽取3人,樣本點(diǎn)有ABc,ABd,ABe,Acd,Ace,Ade,Bcd,Bce,Bde,cde共10種,設(shè)事務(wù)M表示“獲得飲水杯的3人中至少有1人的紅包超過5元”,則它的對(duì)立事務(wù)是M表示“獲得飲水杯的3人中沒有1人的紅包超過5元”,滿