2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解三角形1.2余弦定理課時素養(yǎng)評價含解析北師大版必修5

PAGE余弦定理(20分鐘35分)1.設(shè)△ABC中內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a+c=2b,3sinB=5sinA,則C= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為3sinB=5sinA,所以由正弦定理可得3b=5a,所以a=QUOTEb.因為a+c=2b,所以c=QUOTE,所以cosC=QUOTE=-QUOTE,因為C∈(0,π),所以C=QUOTE.【補償訓(xùn)練】在△ABC中,sin2A-sin2C-sin2B=sinCsinB,則A等于 ()A.60° B.45° C.120° D.30°【解析】選C.由正弦定理得a2-c2-b2=bc,結(jié)合余弦定理得cosA=QUOTE=-QUOTE,又A∈(0,π),所以A=120°.2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列結(jié)論不正確的是 ()A.a2=b2+c2-2bccosA B.asinB=bsinAC.a=bcosC+ccosB D.acosB+bcosA=sinC【解析】選D.選項A,是余弦定理,所以該選項正確;選項B,事實上是正弦定理QUOTE=QUOTE的變形,所以該選項是正確的;選項C,由于sinA=sin(B+C),所以sinA=sinBcosC+cosBsinC,所以a=bcosC+ccosB,所以該選項正確;選項D,acosB+bcosA=2R(sinAcosB+sinBcosA)=2RsinC(R為△ABC的外接圓半徑),不肯定等于sinC,所以該項是錯誤的.3.在△ABC中,a,b,c為角A,B,C的對邊,且b2=ac,則B的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥QUOTE,因為0<B<π,所以B∈QUOTE.4.已知在△ABC中,AB=7,BC=5,CA=6,則·=.

【解析】在△ABC中,分別用a,b,c表示邊BC,CA,AB,則·=ca·cosB=ca·QUOTE=QUOTE(a2+c2-b2)=QUOTE(52+72-62)=19.答案:195.已知銳角三角形的邊長分別為1,3,a,則a的范圍是.

【解析】只需讓3和a所對的邊均為銳角即可.故QUOTE解得2QUOTE<a<QUOTE.答案:2QUOTE<a<QUOTE6.在△ABC中,若ccosB=bcosC,cosA=QUOTE.(1)求sinB的值.(2)若b=2,求a.【解析】方法一:(1)由ccosB=bcosC,結(jié)合正弦定理得sinCcosB=sinBcosC,故sin(B-C)=0,因為0<B<π,0<C<π,所以-π<B-C<π,所以B-C=0,B=C,故b=c.因為cosA=QUOTE,所以由余弦定理得3a2=2b2,再由余弦定理得cosB=QUOTE,故sinB=QUOTE.(2)由(1)知b=c=2,所以a2=b2+c2-2bccosA=4+4-2×2×2×QUOTE=QUOTE,則a=QUOTE.方法二:(1)由余弦定理和ccosB=bcosC得c×QUOTE=b×QUOTE,化簡得b=c,cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故3a2=2b2,即QUOTEa=QUOTEb,又由cosA=QUOTE,知sinA=QUOTE,由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)因為cosA=QUOTE,所以sinA=QUOTE,由正弦定理得a=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且cos2QUOTE=QUOTE,則△ABC是 ()A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形【解析】選A.因為cos2QUOTE=QUOTE及2cos2QUOTE-1=cosA,所以cosA=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以a2+b2=c2,則△ABC是直角三角形.2.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=2,QUOTE=QUOTE,則A= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為QUOTE=QUOTE,所以由正弦定理得QUOTE=QUOTE,化簡得b2+c2-a2=QUOTEbc,所以cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又因為0<A<π,所以A=QUOTE.3.(2024·全國Ⅲ卷)在△ABC中,cosC=QUOTE,AC=4,BC=3,則cosB= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由余弦定理可知cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=3,又由余弦定理可知:cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.4.鈍角三角形ABC的面積是QUOTE,AB=1,BC=QUOTE,則AC= ()A.5 B.QUOTE C.2 D.1【解析】選B.由面積公式得:QUOTE×1×QUOTEsinB=QUOTE,解得sinB=QUOTE,所以B=45°或B=135°,當B=45°時,由余弦定理得:AC2=1+2-2QUOTEcos45°=1,所以AC=1,又因為AB=1,BC=QUOTE,所以此時△ABC為等腰直角三角形,不合題意,舍去;所以B=135°,由余弦定理得:AC2=1+2-2QUOTEcos135°=5,所以AC=QUOTE.【誤區(qū)警示】本題易由sinB=QUOTE干脆得出B=45°,從而產(chǎn)生錯誤.5.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若bsinA-QUOTEacosB=0,且b2=ac,則QUOTE的值為 ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.4【解析】選A.在△ABC中,因為bsinA-QUOTEacosB=0,且b2=ac,由正弦定理得sinBsinA-QUOTEsinAcosB=0,因為A∈(0,π),則sinA>0,所以sinB-QUOTEcosB=0,即tanB=QUOTE,解得B=QUOTE,由余弦定理得b2=a2+c2-2acosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-3b2,即4b2=(a+c)2,解得QUOTE=2.二、填空題(每小題5分,共15分)6.在△ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若c=QUOTEb,cosB=QUOTEcosC,a=QUOTE,則S△ABC=.

【解析】因為cosB=QUOTEcosC,所以QUOTE=QUOTE,結(jié)合c=QUOTEb,化簡得a=QUOTEb,從而有b2+c2=a2,即△ABC為直角三角形,將c=QUOTEb,a=QUOTE代入b2+c2=a2,得b=1,于是c=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEbc=QUOTE.答案:QUOTE【補償訓(xùn)練】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a2=b2+QUOTEc2,則QUOTE的值為.

【解析】因為a2=b2+QUOTEc2,所以b2=a2-QUOTEc2.所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=3,b=4,c=6,則bccosA+accosB+abcosC的值是.

【解析】因為cosA=QUOTE,所以bccosA=QUOTE(b2+c2-a2).同理accosB=QUOTE(a2+c2-b2),abcosC=QUOTE(a2+b2-c2),所以bccosA+accosB+abcosC=QUOTE(a2+b2+c2)=QUOTE.答案:QUOTE8.若△ABC為鈍角三角形,三邊長分別為2,3,x,則x的取值范圍是.

【解析】①若x>3,則x所對角的余弦值QUOTE<0且2+3>x,解得QUOTE<x<5.②若x<3,則3所對角的余弦值QUOTE<0且x+2>3,解得1<x<QUOTE.故x的取值范圍是(1,QUOTE)∪(QUOTE,5).答案:(1,QUOTE)∪(QUOTE,5)三、解答題(每小題10分,共20分)9.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(a+b)(a-b)=c(c-b).(1)求角A的大小;(2)若a=bcosC,c=2,求△ABC的面積S.【解析】(1)由a2-b2=c2-bc,可得cosA=QUOTE=QUOTE,又A∈(0,π),所以A=QUOTE.(2)由正弦定理得sinA=sin(B+C)=sinBcosC,即cosBsinC=0.因為sinC≠0,故cosB=0,所以B=QUOTE,又c=2,所以a=2QUOTE,所以S=QUOTE=2QUOTE.10.(2024·全國Ⅱ卷)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周長的最大值.【解析】(1)因為sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC,所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=AC·AB,所以cosA=QUOTE=-QUOTE,因為A∈(0,π),所以A=QUOTE.(2)由(1)知A=QUOTE,又BC=3,所以由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=AC2+AB2+AC·AB=9,即(AC+AB)2-AC·AB=9.因為AC·AB≤QUOTE(當且僅當AC=AB時取等號),所以9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-QUOTE=QUOTE(AC+AB)2,解得:AC+AB≤2QUOTE(當且僅當AC=AB時取等號),所以△ABC的周長=AC+AB+BC≤3+2QUOTE,所以△ABC周長的最大值為3+2QUOTE.1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積,sin(A+C)=QUOTE,且A,B,C成等差數(shù)列,則C的大小為.

【解析】在△ABC中,由A,B,C成等差數(shù)列,可得2B=A+C=π-B,即B=QUOTE,sin(A+C)=QUOTE,即為sinB=QUOTE,即有b2=c2+ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,即有a=2c,b=QUOTEc,cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因為C為三角形的內(nèi)角,所以C=QUOTE.答案:QUOTE2.如圖,△ABC的頂點坐標分別為A(3,4),B(0,0),C(c,0).(1)若c=5,求sinA的值;(2)若A為鈍角,求c的取值范圍.【解析】(1)因為A(3,4),B(0,0),所以AB=5,當c=