廣西壯族自治區(qū)玉林市2024屆高三高中畢業(yè)班第一次摸底測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）VIP

2024屆高中畢業(yè)班第一次摸底測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得集合M，利用余弦函數(shù)值域可得N，結(jié)合交集的概念計(jì)算即可.【詳解】由，即，由余弦函數(shù)的值域可知，所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則直接計(jì)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的虛部的概念即可求解.【詳解】因，所以，所以的虛部為.故選：A.3.已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】圓的方程可化為，其圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離，此時(shí)直線與圓相切，故充分性成立；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，所以，故必要性成立，所以“”是“直線與圓相切”的充要條件.故選：C.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先由切弦互換公式、二倍角公式結(jié)合已知求得，然后由兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，化?jiǎn)并整理得，又因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.5.若函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為（）A.1 B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】分類參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出其大致函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最值即可.【詳解】函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根，分離參數(shù)可得，令，則函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖，作出函數(shù)的大致圖像，由圖可知，所以，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上的最大值為，最小值為，所有在上的最大值與最小值之和為.故選：C.6.已知的外心為，且，，向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定的形狀，并求出角C，再利用投影向量的意義求解作答.【詳解】在中，由，得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，而為的外心，則，即有，又，則為正三角形，因此，，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A7.已知是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性以及可知的周期為2，且在上單調(diào)遞減，將表達(dá)式化簡(jiǎn)可得，，，又易知即可得.詳解】根據(jù)題意可知，即可得，所以函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，所以可得在上單調(diào)遞增；根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，又顯然，所以可得，即；因此可得.故選：A8.如圖所示，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，的右支上存在一點(diǎn)滿足與雙曲線左支的交點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理及已知可得，令，由雙曲線定義及，應(yīng)用勾股定理列方程求得，進(jìn)而求離心率.【詳解】中，中，所以，，又，則，又，所以，令，則，，而，由，則，，可得，即.故選：D二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.為深入學(xué)習(xí)宣傳黨二十大精神，某校開展了“奮進(jìn)新征程，強(qiáng)國伴我行”二十大主題知識(shí)競(jìng)賽.其中高一年級(jí)選派了10名同學(xué)參賽，且該10名同學(xué)的成績(jī)依次是：，.則下列說法正確的有（）A.中位數(shù)為90，平均數(shù)為89B.分位數(shù)為93C.極差為30，標(biāo)準(zhǔn)差為58D.去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分，平均數(shù)變大，方差變小【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)和極差的概念，逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可求解.【詳解】對(duì)于A，由題意中位數(shù)為，平均數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以分位?shù)為，故B正確；對(duì)于C，極差為，方差，所以標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分，則平均數(shù)為，方差為，所以去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分，平均數(shù)變大，方差變小，故D正確.故選：ABD.10.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為16 B.的最小值為9 C.的最大值為1 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式即可判斷A；根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可判斷B；利用消元法即可判斷C；利用消元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以（舍去），所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為16，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9，故B正確；對(duì)于C，由B得，則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱C.函數(shù)在的值域?yàn)镈.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位【答案】ACD【解析】【分析】先由圖象信息求出表達(dá)式，從而即可判斷A；注意到是的對(duì)稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，由此即可判斷B；直接由換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求值域?qū)Ρ燃纯膳袛郈；直接按題述方式平移函數(shù)圖象，求出新的函數(shù)解析式，對(duì)比即可判斷.【詳解】如圖所示：由圖可知，又，所以，所以，又函數(shù)圖象最高點(diǎn)為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，故A選項(xiàng)正確；由A選項(xiàng)分析可知，而是的對(duì)稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在的值域?yàn)?，故C選項(xiàng)正確；若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，則得到的新的函數(shù)解析式為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12.如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，且，，若G是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則()A.與所成角的正切值最大為B.在上存在點(diǎn)G，使得C.當(dāng)G為上的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球半徑最小D.的最小值為【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，由面面垂直性質(zhì)定理得BC⊥面ABEF，得△BCG是直角三角形，再根據(jù)AD∥BC可知∠BCG即為所求角，結(jié)合幾何關(guān)系即可判斷；對(duì)于B，假設(shè)結(jié)論成立，證明AG⊥面BCG，從而可得△ABG為直角三角形，判斷三角形是否有解即可；對(duì)于C，△ABG的外接圓半徑為r，由BC⊥面ABEF可得三棱錐的外接球半徑R滿足：，要求R的最小，即求r最小，由正弦定理得，要求r最小，即求sin∠AGB最大，要求sin∠AGB最大，可求tan∠AGB，結(jié)合幾何關(guān)系即可判斷；對(duì)于D，設(shè)FG＝x，用x表示出AG＋CG，利用兩點(diǎn)間距離公式數(shù)形結(jié)合即可求解．【詳解】∵平面平面，且交線為AB，BC面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥面ABEF，因?yàn)锽G面ABEF，所以BC⊥BG，∥，故與所成角為∠BCG，，當(dāng)G和F重合時(shí)，BG最長，且為5，故最大為，故選項(xiàng)A正確；假設(shè)在上存在點(diǎn)G，使得，因?yàn)锽C⊥面ABEF，因?yàn)锳G面ABEF，所以BC⊥AG，又∵，CG，BC面BCG，所以AG⊥面BCG，又因?yàn)锽G面BCG，所以AG⊥BG，設(shè)，，，則，，在直角△AGB中，，可得方程，該方程無解，故假設(shè)不成立，即在上不存在點(diǎn)G，使得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；設(shè)△ABG的外接圓半徑為r，因?yàn)锽C⊥面ABG，故三棱錐的外接球半徑R滿足：．設(shè)，由正弦定理得，∵，所以，因?yàn)?，故，故θ為銳角，當(dāng)時(shí)，G為EF的中點(diǎn)，取得最小值，tanθ取得最大值，sinθ取得最大值，r取得最小值，三棱錐的外接球半徑R取得最小值，故選項(xiàng)C正確；，，設(shè)M(x,0)，N(0,3)，P(4,5)，如圖，設(shè)N(0,3)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則，直線方程為，令得，即當(dāng)時(shí)，的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________【答案】7【解析】【分析】若公差為且，易得，應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求結(jié)果.【詳解】若公差為且，則，由.故答案為：714.1886年5月1日，芝加哥的二十一萬六千余名工人為爭(zhēng)取實(shí)行八小時(shí)工作制而舉行大罷工，經(jīng)過艱苦的流血斗爭(zhēng)，終于獲得了勝利.為紀(jì)念這次偉大的工人運(yùn)動(dòng)，1889年7月由恩格斯領(lǐng)導(dǎo)的第二國際在巴黎舉行代表大會(huì)，會(huì)議上宣布將五月一日定為國際勞動(dòng)節(jié).五一勞動(dòng)節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一長假期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是_____________【答案】##【解析】【分析】設(shè)“甲在五一假期值班兩天”，“甲連續(xù)值班”，根據(jù)題目條件先分別求出，然后由條件概率公式即可求解.【詳解】設(shè)“甲在五一假期值班兩天”，“甲連續(xù)值班”，因?yàn)橐阎自谖逡婚L假期間值班2天，所以丙和乙分別值班一天、兩天或兩天、一天，所以五一假期甲乙丙三人值班方案共有種，又因?yàn)榧自谖逡婚L假期間連續(xù)值班兩天，可以是第1，2兩天或第2，3兩天或第3，4兩天或第4，5兩天，所以甲在五一長假期間值班2天且甲連續(xù)值班的方案共有種，所以由條件概率公式得.故答案為：.15.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，若求的最大值，轉(zhuǎn)化為求的最大值，再根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合從而得解.詳解】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，若求的最大值，轉(zhuǎn)化為求的最大值，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為B，設(shè)B坐標(biāo)為，則，解得，故B，因?yàn)椋傻?，?dāng)P，B，A三點(diǎn)共線，即P點(diǎn)為時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故答案為：.16.若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，滿足，，且（為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），則可用牛頓切線法求在區(qū)間上的根的近似值：取初始值，依次求出圖象在點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)與的誤差估計(jì)值（m為的最小值）在要求范圍內(nèi)時(shí)，可將相應(yīng)的作為的近似值．用上述方法求方程在區(qū)間上的根的近似值時(shí)，若誤差估計(jì)值不超過0.01，則滿足條件的k的最小值為______，相應(yīng)的值為______．【答案】①.2②.【解析】【分析】根據(jù)牛頓切線法，求解切線方程為，進(jìn)一步得到，代入檢驗(yàn)與的誤差估計(jì)值不超過0.01即可求解.【詳解】設(shè)則，，當(dāng)，故可用牛頓切線法求在區(qū)間上的根的近似值.由于在單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為2，即，圖象在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得，令，則，由于，所以，，，，，，故作為的近似值，故答案為：2，四、解答題：本題共6小題，井70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在（1）；（2）；（3）這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足（1）求角；（2）若的外接圓周長為，求邊上的中線長.【答案】（1）所選條件見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)所選條件，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、三角形面積公式、向量數(shù)量積定義、三角恒等變換化簡(jiǎn)條件求角；（2）由已知易得為頂角為的等腰三角形，是中點(diǎn)，則，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求中線長度.【小問1詳解】選（1），則，所以，而，則，所以；選（2），則，所以，而，則；選（3），則，，所以，所以，則，而，則.【小問2詳解】由，則，故，，即，結(jié)合（1）易知：為頂角為的等腰三角形，如下圖，是中點(diǎn)，的外接圓周長為，若外接圓半徑為，則，所以，而，所以，則，即求邊上的中線長為.18.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，都有，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先可以根據(jù)已知得到，其次注意到，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解.（2）由（1）可知，先將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)得，從而可求得其前項(xiàng)和為，若，都有，則只需，研究的單調(diào)性即可得到其最小值，從而解不等式即可求解.【小問1詳解】一方面：因?yàn)?，所以，所以，即；另一方面：又時(shí)，有，即，且，所以此時(shí)；結(jié)合以上兩方面以及等比數(shù)列的概念可知數(shù)列是首先為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）可知，又由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，又，都有，故只需，而關(guān)于單調(diào)遞增，所以關(guān)于單調(diào)遞減，關(guān)于單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有，因此，即，解得，綜上所述：的取值范圍為.19.后疫情時(shí)代，為了可持續(xù)發(fā)展，提高人民幸福指數(shù)，國家先后出臺(tái)了多項(xiàng)減稅增效政策.某地區(qū)對(duì)在職員工進(jìn)行了個(gè)人所得稅的調(diào)查，經(jīng)過分層隨機(jī)抽樣，獲得500位在職員工的個(gè)人所得稅(單位：百元)數(shù)據(jù)，按，分成九組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：假設(shè)每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是均勻分布的.（1）求這500名在職員工的個(gè)人所得稅的中位數(shù)(保留到小數(shù)點(diǎn)后一位)；（2）從個(gè)人所得稅在三組內(nèi)的在職員工中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有在職員工中隨機(jī)抽取100名員工，記年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望與方差.【答案】（1）百元（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求得，利用中位數(shù)計(jì)算公式計(jì)算即可.（2）求得的所有可能取值和對(duì)應(yīng)的概率即可得到分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可.（3）由題意得，由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式直接計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)這500名在職員工的個(gè)人所得稅的中位數(shù)為，則由頻率分布直方圖得，解得，所以這500名在職員工的個(gè)人所得稅的中位數(shù)為百元.【小問2詳解】由題意抽取的10人中，年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為人，年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為人，年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為人，若現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，則的所有可能取值為，所以，，，，所以的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望為：.【小問3詳解】由頻率分布直方圖可知年個(gè)稅在內(nèi)的概率為，從該地區(qū)所有在職員工中隨機(jī)抽取100名員工，恰有個(gè)員工的年個(gè)稅在內(nèi)的分布列服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望、方差公式可得，即的數(shù)學(xué)期望與方差分別為.20.如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，沿將翻折至，使二面角為直二面角.（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而可證；（2）先建立空間直角坐標(biāo)系由空間法求二面角的正弦值.【小問1詳解】因?yàn)?，，，所以，，，因?yàn)椋?，因二面角為直二面角，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所?【小問2詳解】取的中點(diǎn)，在上取點(diǎn)使，由得，，故，，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由得，故，又，，則，故，，，，則，，由題知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，，，設(shè)二面角的平面角為，則，故，即二面角的正弦值為.21.已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.（1）說明是什么曲線，并求的方程；（2）設(shè)是上關(guān)于軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且異于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，試問是否為定值?若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）為定值，這個(gè)值為【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程可知圓心，半徑，再利用橢圓定義即可求得的軌跡曲線的方程為；（2）依題意設(shè)出,可得，求出直線的直線方程解出其與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，，即可得出的表達(dá)式，再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可知.【小問1詳解】根據(jù)題意可知圓可化為，所以可知圓心，半徑，易知和兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以由橢圓定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，即，可得；因此曲線的方程為.【小問2詳解】不妨設(shè)，，且，；則易知；易知直線的斜率都存在，如下圖所示：所以直線的斜率為，其方程