人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：§6 1 第1課時　計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第1課時計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用學(xué)習目標1.理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理.2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數(shù)問題．導(dǎo)語從我們班推選出兩名同學(xué)擔任班長，有多少種不同的選法？如果把我們的同學(xué)排成一排，又有多少種不同的排法？要解決這些問題，就要運用有關(guān)排列、組合的知識．在運用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理．這節(jié)課，我們來學(xué)習這兩個原理．一、分類加法計數(shù)原理問題1某全國人大代表明天要從濟南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑可供選擇：一是乘飛機，二是乘高鐵，假如這天飛機有3個航班可乘，高鐵有4個班次可乘．那么該代表從濟南到北京共有多少種快捷途徑可選呢？〖提示〗該代表共有3＋4＝7(種)快捷途徑可選．知識梳理分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．注意點：(1)完成這件事的若干種方法可以分成n類；(2)每類方法都可以完成這件事，且類與類之間兩兩不交．(3)完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．例1(1)設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，則方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦點位于x軸上的橢圓有()A．6個 B．8個C．12個 D．16個〖答案〗A〖解析〗因為橢圓的焦點在x軸上，所以m>n.當m＝4時，n＝1,2,3；當m＝3時，n＝1,2；當m＝2時，n＝1，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6(個)．延伸探究條件不變，結(jié)論變?yōu)椤皠t方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1表示焦點位于x軸上的雙曲線”有()A．6個 B．8個C．12個 D．16個〖答案〗D〖解析〗因為雙曲線的焦點在x軸上，所以m＞0，n＞0，當m＝1時，n＝1,2,3,4；當m＝2時，n＝1,2,3,4；當m＝3時，n＝1,2,3,4；當m＝4時，n＝1,2,3,4，即所求的雙曲線共有4＋4＋4＋4＝16(個)．(2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為________．〖答案〗36〖解析〗方法一根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．方法二分析個位數(shù)字，可分以下幾類：個位數(shù)字是9，則十位數(shù)字可以是1,2,3，…，8中的一個，故共有8個；個位數(shù)字是8，則十位數(shù)字可以是1,2,3，…，7中的一個，故共有7個；同理，個位數(shù)字是7的有6個；……個位數(shù)字是2的有1個．由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．反思感悟(1)分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，然后在這個標準下分類，要做到分類“不重不漏”．(2)利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程．跟蹤訓(xùn)練1(1)一個科技小組有3名男同學(xué)，5名女同學(xué)，從中任選1名同學(xué)參加學(xué)科競賽，不同的選派方法共有________種．〖答案〗8〖解析〗任選1名同學(xué)參加學(xué)科競賽，有兩類方案：第一類，從男同學(xué)中選取1名參加學(xué)科競賽，有3種不同的選法；第二類，從女同學(xué)中選取1名參加學(xué)科競賽，有5種不同的選法．由分類加法計數(shù)原理得，不同的選派方法共有3＋5＝8(種)．(2)若x，y∈N*，且x＋y≤6，則有序自然數(shù)對(x，y)共有________個．〖答案〗15〖解析〗將滿足條件x，y∈N*，且x＋y≤6的x的值進行分類：當x＝1時，y可取的值為5,4,3,2,1，共5個；當x＝2時，y可取的值為4,3,2,1，共4個；當x＝3時，y可取的值為3,2,1，共3個；當x＝4時，y可取的值為2,1，共2個；當x＝5時，y可取的值為1，共1個．即當x＝1,2,3,4,5時，y的值依次有5,4,3,2,1個，由分類加法計數(shù)原理得，不同的數(shù)對(x，y)共有5＋4＋3＋2＋1＝15(個)．二、分步乘法計數(shù)原理問題2用前6個大寫英文字母和1～9九個阿拉伯數(shù)字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？〖提示〗編寫一個號碼要先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數(shù)字，由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6×9＝54(個)不同的號碼．知識梳理分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．注意點：(1)完成一件事有多個步驟，缺一不可；(2)每一步都有若干種方法．(3)如果完成一件事情需要n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事情共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．例2(1)4名同學(xué)報名參加跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，則不同的報名方法數(shù)為()A．43B．34C．7D．12〖答案〗B〖解析〗要完成的是“4名同學(xué)每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，四人都報完才算完成，于是按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有3×3×3×3＝34(種)報名方法．延伸探究4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠三個項目的冠軍(每項冠軍只允許一人獲得)，共有多少種可能的結(jié)果？解要完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，于是應(yīng)以“確定三項冠軍得主”為線索進行分步，而每項冠軍是四人中的某一人，有4種可能的情況，于是共有4×4×4＝64(種)可能的結(jié)果．(2)人們習慣把最后一位是6的多位數(shù)叫作“吉祥數(shù)”，則無重復(fù)數(shù)字的四位吉祥數(shù)(首位不能是零)共有_____個．〖答案〗448〖解析〗第一步，確定千位，除去0和6，有8種不同的選法；第二步，確定百位，除去6和千位數(shù)字外，有8種不同的選法；第三步，確定十位，除去6和千位、百位上的數(shù)字外，有7種不同的選法．故共有8×8×7＝448(個)不同的“吉祥數(shù)”．反思感悟利用乘法計數(shù)原理解題的注意點及解題思路(1)應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可．(2)利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路①分步：將完成這件事的過程分成若干步；②計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；③結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練2(1)一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成________個四位數(shù)的號碼(各位上的數(shù)字允許重復(fù))．〖答案〗10000〖解析〗按從左到右的順序撥號可以分四步完成：第一步，有10種撥號方式，所以m1＝10；第二步，有10種撥號方式，所以m2＝10；第三步，有10種撥號方式，所以m3＝10；第四步，有10種撥號方式，所以m4＝10.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共可以組成N＝10×10×10×10＝10000(個)四位數(shù)的號碼．(2)從－1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共________個，其中不同的偶函數(shù)共________個．(用數(shù)字作答)〖答案〗186〖解析〗一個二次函數(shù)對應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知，共有不同的二次函數(shù)3×3×2＝18(個)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0.a的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知，共有不同的偶函數(shù)3×2＝6(個)．三、兩個原理的簡單應(yīng)用例3現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？解(1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法．(2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種，2種，7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法．(3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法；第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法．所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法．反思感悟(1)在處理具體的應(yīng)用題時，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么，選擇合理的標準處理事件，關(guān)鍵是看能否獨立完成這件事，避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏．(2)對于一些比較復(fù)雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題，我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．跟蹤訓(xùn)練3集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，從A，B中各取1個元素，作為點P(x，y)的坐標．(1)可以得到多少個不同的點？(2)這些點中，位于第一象限的有幾個？解(1)可分為兩類：A中元素為x，B中元素為y或A中元素為y，B中元素為x，則共得到3×4＋4×3＝24(個)不同的點．(2)第一象限內(nèi)的點，即x，y均為正數(shù)，所以只能取A，B中的正數(shù)，共有2×2＋2×2＝8(個)不同的點．1．知識清單：(1)分類加法計數(shù)原理．(2)分步乘法計數(shù)原理．2．方法歸納：分類討論．3．常見誤區(qū)：“分類”與“分步”不清，導(dǎo)致計數(shù)錯誤．1．某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中1本，則購買方式共有()A．3種B．6種C．7種D．9種〖答案〗C〖解析〗分3類：買1本書，買2本書和買3本書．各類的購買方式依次有3種、3種和1種，故購買方式共有3＋3＋1＝7(種)．2．現(xiàn)有3名老師、8名男生和5名女生共16人．若需1名老師和1名學(xué)生參加評選會議，則不同的選法種數(shù)為()A．39B．24C．15D．16〖答案〗A〖解析〗先從3名老師中任選1名，有3種選法，再從13名學(xué)生中任選1名，有13種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為3×13＝39.3．現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的1個講座，不同選法的種數(shù)是()A．56B．65