人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：6 2 3　第2課時　組合數(shù)的性質(zhì)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE1第2課時組合數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標1.掌握組合數(shù)公式和組合數(shù)的性質(zhì).2.能運用組合數(shù)的性質(zhì)進行計算.3.會用組合數(shù)公式解決一些簡單的組合問題．導(dǎo)語在組合數(shù)的運算和化簡、證明過程中，除了直接使用組合數(shù)公式外，還有與組合數(shù)有關(guān)的一些性質(zhì)，這節(jié)課就來探究組合數(shù)的性質(zhì)．一、組合數(shù)的性質(zhì)1問題1假如我們年級將在月底進行一場籃球比賽．包括體育委員在內(nèi)，班上籃球運動員有8人，按照籃球比賽規(guī)則，比賽時一個球隊的上場隊員是5人．我們可以形成多少種隊員上場方案？我們又可以形成多少種隊員不上場方案？這兩種方案有什么關(guān)系？〖提示〗上場的方案有Ceq\o\al(5,8)，不上場的方案有Ceq\o\al(3,8)；Ceq\o\al(5,8)＝Ceq\o\al(3,8)＝56.知識梳理組合數(shù)的性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).注意點：(1)體現(xiàn)了“取法”與“剩法”是一一對應(yīng)的思想；(2)兩邊下標相同，上標之和等于下標．例1(1)計算：Ceq\o\al(2021,2022)＝________，Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－2,n)＝__________.〖答案〗2022eq\f(nn2－1,2)〖解析〗Ceq\o\al(2021,2022)＝Ceq\o\al(1,2022)＝2022，Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－2,n)＝Ceq\o\al(1,n＋1)·Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(nn2－1,2).(2)(多選)若Ceq\o\al(2n－3,20)＝Ceq\o\al(n＋2,20)(n∈N*)，則n等于()A．4B．5C．6D．7〖答案〗BD〖解析〗由題意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或7.反思感悟性質(zhì)“Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)”的意義及作用跟蹤訓(xùn)練1(1)若Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(5,n)，則Ceq\o\al(10,n)等于()A．1B．10C．11D．55〖答案〗C〖解析〗由Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(5,n)，得n＝6＋5＝11，Ceq\o\al(10,n)＝Ceq\o\al(10,11)＝Ceq\o\al(1,11)＝11.(2)若Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)，則Ceq\o\al(n,8)＝____________.〖答案〗28〖解析〗由Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，解得n＝2或n＝8(舍去)，故Ceq\o\al(2,8)＝28.二、組合數(shù)的性質(zhì)2問題2從問題1中的這8名籃球運動員中選擇5人的時候，可以按照體育委員是否入選進行分類：當(dāng)體育委員入選時，有Ceq\o\al(4,7)種選法；當(dāng)體育委員未入選時，有Ceq\o\al(5,7)種選法．這與直接選5人參加的選法一樣嗎？你能得出什么結(jié)論？〖提示〗一樣，Ceq\o\al(5,8)＝Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,7).知識梳理組合數(shù)的性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).注意點：(1)下標相同而上標差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標比原下標多1而上標與大的相同的一個組合數(shù)；(2)體現(xiàn)了“含”與“不含”的分類思想．例2(1)已知m≥4，Ceq\o\al(3,m)－Ceq\o\al(4,m＋1)＋Ceq\o\al(4,m)等于()A．1B．mC．m＋1D．0〖答案〗D〖解析〗Ceq\o\al(3,m)－Ceq\o\al(4,m＋1)＋Ceq\o\al(4,m)＝Ceq\o\al(3,m)＋Ceq\o\al(4,m)－Ceq\o\al(4,m＋1)＝Ceq\o\al(4,m＋1)－Ceq\o\al(4,m＋1)＝0.(2)Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)等于()A．Ceq\o\al(2,2020) B．Ceq\o\al(3,2021)C．Ceq\o\al(3,2022) D．Ceq\o\al(4,2023)〖答案〗D〖解析〗原式＝Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)＝Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)＝Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)＝…＝Ceq\o\al(2018,2022)＋Ceq\o\al(2019,2022)＝Ceq\o\al(2019,2023)＝Ceq\o\al(4,2023).延伸探究若將式子換成“Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,2022)”，則其值為多少？解Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,2022)＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2022)－Ceq\o\al(4,4)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2022)－1…＝Ceq\o\al(4,2022)＋Ceq\o\al(3,2022)－1＝Ceq\o\al(4,2023)－1.反思感悟性質(zhì)2常用于有關(guān)組合數(shù)式子的化簡或組合數(shù)恒等式的證明．應(yīng)用時要注意公式的正用、逆用和變形用．正用是將一個組合數(shù)拆成兩個，逆用則是“合二為一”，使用變形Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)－Ceq\o\al(m,n)，為某些項前后抵消提供了方便，在解題中要注意靈活應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練2(1)若Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，則n等于()A．12B．13C．14D．15〖答案〗C〖解析〗Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(7,n)＋Ceq\o\al(8,n)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，∴n＋1＝7＋8，n＝14.(2)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,18)等于()A．Ceq\o\al(3,18) B．Ceq\o\al(3,19)C．Ceq\o\al(3,18)－1 D．Ceq\o\al(3,19)－1〖答案〗B〖解析〗Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,18)＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,18)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,18)＝Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,18)＝…＝Ceq\o\al(3,19).三、組合數(shù)在實際問題中的簡單應(yīng)用例3在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，依下列條件各有多少種選派方法？(1)有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；(2)既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生．解(1)先選內(nèi)科醫(yī)生有Ceq\o\al(3,6)種選法，再選外科醫(yī)生有Ceq\o\al(2,4)種選法，故有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,4)＝120(種)選派方法．(2)既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生，正面思考應(yīng)包括四種情況，內(nèi)科醫(yī)生去1人、2人、3人、4人，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,4)＝246(種)選派方法．若從反面考慮，則有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)選派方法．反思感悟在求與兩個基本原理的應(yīng)用有關(guān)的問題時，即分類與分步的運用，在分類與分步時，一定要注意有無重復(fù)和遺漏．跟蹤訓(xùn)練3某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，鑒定結(jié)果有15種假貨，現(xiàn)從35種商品中選取3種．(1)恰有2種假貨在內(nèi)的不同取法有多少種？(2)至少有2種假貨在內(nèi)的不同取法有多少種？(3)至多有2種假貨在內(nèi)的不同取法有多少種？解(1)從20種真貨中選取1件，從15種假貨中選取2件，有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100(種)．所以恰有2種假貨在內(nèi)的不同取法有2100種．(2)選取2件假貨有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)種，選取3件假貨有Ceq\o\al(3,15)種，共有選取方法Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(3,15)＝2555(種)．(3)選取3件的種數(shù)有Ceq\o\al(3,35)，因此有選取方法Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(3,15)＝6090(種)．所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種．1．知識清單：(1)組合數(shù)的兩個性質(zhì)及性質(zhì)的理解．(2)組合數(shù)在實際問題中的應(yīng)用．2．方法歸納：分類討論、間接法．3．常見誤區(qū)：不注意組合數(shù)中m與n的限制條件；計算中不能構(gòu)造組合數(shù)性質(zhì)．1．若Ceq\o\al(6,n＋1)－Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(7,n)(n∈N*)，則n等于()A．11B．12C．13D．14〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，Ceq\o\al(6,n＋1)－Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(7,n)變形可得，Ceq\o\al(6,n＋1)＝Ceq\o\al(6,n)＋Ceq\o\al(7,n)，由組合性質(zhì)可得，Ceq\o\al(6,n)＋Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(7,n＋1)，即Ceq\o\al(6,n＋1)＝Ceq\o\al(7,n＋1)，則可得到n＋1＝6＋7?n＝12.2．把5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同的分配方案有()A．80種B．120種C．140種D．50種〖答案〗A〖解析〗當(dāng)甲組中有3人，乙、丙組中各有1人時，有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＝20(種)不同的分配方案；當(dāng)甲組中有2人，乙組中也有2人，丙組中只有1人時，有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)＝30(種)不同的分配方案；當(dāng)甲組中有2人，乙組中有1人，丙組中有2人時，有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30(種)不同的分配方案．故共有20＋30＋30＝80(種)不同的分配方案．3．Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝________________.〖答案〗Ceq\o\al(4,22)〖解析〗因為Ceq\o\al(0,3)＝Ceq\o\al(0,4)，所以Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝(Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4))＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝(Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5))＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝…