人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案：6 2 4　組合數(shù)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE16.2.4組合數(shù)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式.2.能解決有限制條件的組合問題.通過研究組合數(shù)公式及解決有限制條件的組合問題，提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主梳理1.組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示.2.組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)(n，m∈N*，m≤n).規(guī)定Ceq\o\al(0,n)＝1.1.組合數(shù)與組合是兩個(gè)不同的概念.根據(jù)定義，一個(gè)組合是具體的一件事，它不是一個(gè)數(shù)；而組合數(shù)是所有組合的個(gè)數(shù)，它是一個(gè)數(shù).2.組合數(shù)公式可以由排列數(shù)公式表示，但要注意公式的結(jié)構(gòu).自主檢驗(yàn)1.思考辨析，判斷正誤(1)Ceq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60.(×)〖提示〗Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(5×4×3,3×2×1)＝10.(2)Ceq\o\al(2016,2017)＝Ceq\o\al(1,2017)＝2017.(√)(3)“從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素合成一組”，叫做“從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)”.(×)〖提示〗“從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素合成一組”，叫做“從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合”.(4)下列兩個(gè)等式成立①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)(其中n，m∈N*，m≤n).(√)2.若Ceq\o\al(2,n)＝10，則n的值為()A.10 B.5C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(n（n－1）,2×1)＝10，解得n＝5(n＝－4舍去).3.從9名學(xué)生中選出3名參加“希望英語”口語比賽，不同選法有()A.504種 B.729種C.84種 D.27種〖答案〗C〖解析〗共有選法Ceq\o\al(3,9)＝eq\f(9×8×7,3×2×1)＝84(種).4.計(jì)算Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(10,10)＝__________.〖答案〗2〖解析〗Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(10,10)＝1＋1＝2.題型一組合數(shù)公式及應(yīng)用〖例1〗求值：(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)；(2)Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n).解(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)＝3×eq\f(8×7×6,3×2×1)－2×eq\f(5×4,2×1)＝148.(2)∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤38－n≤3n，,0＜3n≤21＋n，))∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，∴Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)＝Ceq\o\al(28,30)＋Ceq\o\al(30,31)＝Ceq\o\al(2,30)＋Ceq\o\al(1,31)＝eq\f(30×29,2×1)＋31＝466.思維升華(1)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)一般用于計(jì)算，而組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)一般用于含字母的式子的化簡與證明.(2)要善于挖掘題目中的隱含條件，簡化解題過程，如組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)的隱含條件為m≤n，且m，n∈N*.〖訓(xùn)練1〗(1)計(jì)算：Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(2)證明：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1).(1)解Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2×1)＋200＝4950＋200＝5150.(2)證明eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1)＝eq\f(n,n－m)·eq\f(（n－1）！,m?。╪－1－m）！)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)＝Ceq\o\al(m,n).題型二與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題〖例2〗如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D1，D2，D3，D4.(1)以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形？其中含C1點(diǎn)的有多少個(gè)？(2)以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？解(1)法一可作出三角形Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)＝116(個(gè)).法二可作三角形Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,4)＝116(個(gè)).其中以C1為頂點(diǎn)的三角形有Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝36(個(gè)).(2)可作出四邊形Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,6)＝360(個(gè)).思維升華圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用間接法.〖訓(xùn)練2〗空間中有10個(gè)點(diǎn)，其中有5個(gè)點(diǎn)(無三點(diǎn)共線)在同一個(gè)平面內(nèi)，其余點(diǎn)無三點(diǎn)共線，無四點(diǎn)共面，則以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為()A.205 B.110C.204 D.200〖答案〗A〖解析〗法一可以按從共面的5個(gè)點(diǎn)中取0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)進(jìn)行分類，則得到所有構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(0,5)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,5)＝205.法二從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)的方法數(shù)中去掉4個(gè)點(diǎn)全部取自共面的5個(gè)點(diǎn)的情況，得到所有構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,5)＝205.題型三分組、分配問題角度1不同元素的分組分配問題〖例3〗6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每組2本(平均分組)；(2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)；(3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組).解(1)每組2本，均分為3組的分組種數(shù)為eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,3))＝eq\f(15×6×1,6)＝15.(2)一組1本，一組2本，一組3本的分組種數(shù)為Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)＝20×3×1＝60.(3)一組4本，另外兩組各1本的分組種數(shù)為eq\f(Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))＝eq\f(15×2×1,2)＝15.角度2相同元素分配問題〖例4〗將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子，求下列放法的種數(shù).(1)每個(gè)盒子都不空；(2)恰有一個(gè)空盒子；(3)恰有兩個(gè)空盒子.解(1)先把6個(gè)相同的小球排成一行，然后在小球之間5個(gè)空隙中任選3個(gè)空隙各插一塊隔板，故共有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)放法.(2)恰有一個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行.先在首尾兩球外側(cè)各放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有Ceq\o\al(2,5)種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000||00|，有Ceq\o\al(1,4)種插法，故共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)＝40(種)放法.(3)恰有兩個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行.先在首尾兩球外側(cè)各放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選1個(gè)空隙插一塊隔板，有Ceq\o\al(1,5)種插法，如|00|0000|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒.①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個(gè)盒子，如||00||0000|，有Ceq\o\al(2,3)種插法.②將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|||0000|，有Ceq\o\al(1,3)種插法.故共有Ceq\o\al(1,5)·(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3))＝30(種)放法.思維升華“分組”與“分配”問題的解法(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻分組，最后必須除以n??；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配.〖訓(xùn)練3〗將4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的小球放入4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子中.(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)恰好有一個(gè)空盒，有多少種放法？(4)每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少種放法？(5)把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？(6)把4個(gè)不同的小球換成20個(gè)相同的小球，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不少于它的編號(hào)數(shù)，有多少種放法？解(1)每個(gè)小球都可能放入4個(gè)盒子中的任何一個(gè)，將小球一個(gè)一個(gè)放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(種)放法.(2)這是全排列問題，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)放法.(3)法一先將4個(gè)小球分為三組，有eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))種方法，再將三組小球投入四個(gè)盒子中的三個(gè)盒子，有Aeq\o\al(3,4)種投放方法，故共有eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,4)＝144(種)放法.法二先取4個(gè)球中的兩個(gè)“捆”在一起，有Ceq\o\al(2,4)種選法，把它與其他兩個(gè)球共3個(gè)元素分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子，有Aeq\o\al(3,4)種投放方法，所以共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)＝144(種)放法.(4)1個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的選法有Ceq\o\al(1,4)種，當(dāng)1個(gè)球與1個(gè)盒子的編號(hào)相同時(shí)，用局部列舉法可知其余3個(gè)球的投入方法有2種，故共有Ceq\o\al(1,4)·2＝8(種)放法.(5)先從四個(gè)盒子中選出三個(gè)盒子，再從三個(gè)盒子中選出一個(gè)盒子放入兩個(gè)球，余下兩個(gè)盒子各放一個(gè)，由于球是相同的即沒有順序，所以屬于組合問題，故共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＝12(種)放法.(6)(隔板法)先將編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子分別放入0，1，2，3個(gè)球，再把剩下的14個(gè)球分成四組，即在○○○○○○○○○○○○○○這14個(gè)球中間的13個(gè)空中放入三塊隔板，共有Ceq\o\al(3,13)＝2