數(shù)學(xué)物理方法第二章

1.有向曲線:設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,2.1復(fù)變函數(shù)的積分(與實函數(shù)積分相似，定義為和的極限)——復(fù)平面上的線積分1數(shù)學(xué)物理方法第二章簡單閉曲線正向的定義:簡單閉曲線C的正向是指當(dāng)曲線上的點P順此方向前進(jìn)時,鄰近P點的曲線的內(nèi)部始終位于P點的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說明:在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作為起點,另一個作為終點,除特殊聲明外,正方向總是指從起點到終點的方向.2數(shù)學(xué)物理方法第二章2.積分的定義:3數(shù)學(xué)物理方法第二章(4數(shù)學(xué)物理方法第二章關(guān)于定義的說明:5數(shù)學(xué)物理方法第二章3.存在的條件和計算法證正方向為參數(shù)增加的方向,6數(shù)學(xué)物理方法第二章7數(shù)學(xué)物理方法第二章根據(jù)線積分的存在定理,8數(shù)學(xué)物理方法第二章當(dāng)n無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,9數(shù)學(xué)物理方法第二章在形式上可以看成是公式積分的計算法110數(shù)學(xué)物理方法第二章積分的計算法211數(shù)學(xué)物理方法第二章在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.12數(shù)學(xué)物理方法第二章設(shè)L是簡單逐段光滑曲線，f,g在L上連續(xù)，則性質(zhì)：常數(shù)因子可以移到積分號外函數(shù)的和的積分等于各函數(shù)積分之和反轉(zhuǎn)積分路徑，積分反號全路徑上的積分等于各段上積分之和13數(shù)學(xué)物理方法第二章注意到性質(zhì)(5)可以寫為

特別地，若在L上有，L的長記為L，則性質(zhì)(5)成為

注意：數(shù)學(xué)分析中的積分中值定理不能推移到復(fù)變函數(shù)積分上來，例如：而

(6)14數(shù)學(xué)物理方法第二章例1解直線方程為15數(shù)學(xué)物理方法第二章這兩個積分都與路線C無關(guān)16數(shù)學(xué)物理方法第二章例2解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x17數(shù)學(xué)物理方法第二章(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x18數(shù)學(xué)物理方法第二章y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為19數(shù)學(xué)物理方法第二章例3解積分路徑的參數(shù)方程為20數(shù)學(xué)物理方法第二章例4解積分路徑的參數(shù)方程為21數(shù)學(xué)物理方法第二章重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).22數(shù)學(xué)物理方法第二章2.2柯西定理討論復(fù)變函數(shù)積分與積分路徑的關(guān)系（一）單通區(qū)域情形在區(qū)域中做任何簡單閉合圍道，圍道內(nèi)的點都屬于該區(qū)域單連通區(qū)域：復(fù)連通區(qū)域，或稱多連通區(qū)域區(qū)別：區(qū)域中任一閉合曲線能否連續(xù)變形而縮成一點。連續(xù)變形：變形時曲線始終屬于該區(qū)域。23數(shù)學(xué)物理方法第二章復(fù)習(xí)：二元函數(shù)積分的格林公式路徑無關(guān)的充要條件：實變線積分在單連通區(qū)域B內(nèi)與在B內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且由于復(fù)變函數(shù)的積分可轉(zhuǎn)化為兩個實變線積分因此可得到復(fù)變函數(shù)的積分與路徑無關(guān)的充要條件24數(shù)學(xué)物理方法第二章單連通區(qū)域柯西定理：

如果函數(shù)f(z)在閉單連通域B上解析，則沿B上任一分段光滑閉曲線l（也可以是B的邊界），有

推廣：如果函數(shù)f(z)在單通域B上解析，在閉單連通域B上連續(xù)，則沿B上任一分段光滑閉曲線l（也可以是B的邊界），有Bl25數(shù)學(xué)物理方法第二章由定理得26數(shù)學(xué)物理方法第二章連續(xù)，且格林公式同理連續(xù)，且證明：回路積分化成面積分27數(shù)學(xué)物理方法第二章例1解根據(jù)柯西定理,有28數(shù)學(xué)物理方法第二章例2證由柯西定理,29數(shù)學(xué)物理方法第二章由柯西定理,由上節(jié)例4可知,30數(shù)學(xué)物理方法第二章例3解根據(jù)柯西－古薩定理得31數(shù)學(xué)物理方法第二章32數(shù)學(xué)物理方法第二章奇點：復(fù)變函數(shù)不解析的點若f(z)在z=b不解析（或沒有定義），而在z=b的無心鄰域0<

z?b

<R內(nèi)解析，則z=b為f(z)的孤立奇點。含孤立奇點的區(qū)域，可將其每個奇點的有限小鄰域挖掉，使原區(qū)域變?yōu)閺?fù)通區(qū)域（二）復(fù)通區(qū)域情形有時，所研究的函數(shù)在區(qū)域上并非處處解析33數(shù)學(xué)物理方法第二章沿著一條簡單曲線C有兩個相反的方向，其中一個方向是：當(dāng)觀察者順此方向沿C前進(jìn)一周時，C的內(nèi)部一直在C的左方，即“逆時針”方向，稱為正方向；另一個方向是：當(dāng)觀察者順此方向沿C前進(jìn)一周時，C的外部一直在C的左方，即“順時針”方向，稱為負(fù)方向。區(qū)域境界線正方向：34數(shù)學(xué)物理方法第二章在l圍成的區(qū)域中含f(z)的孤立奇點

，則可引入曲線l1將此奇點挖掉，在余下的區(qū)域(一復(fù)連通區(qū)域)中，

f(z)解析。由柯西定理或又

l與l1方向相反，但與-l1方向相同。35數(shù)學(xué)物理方法第二章(多連通域柯西定理)設(shè)B是以邊為界的有界n+1連通區(qū)域，其中l(wèi)1，l2，…，ln是簡單光滑閉曲線l內(nèi)部互相外離的n條簡單光滑閉曲線。若f(z)在

上連續(xù)，在B內(nèi)解析，則有其中C取關(guān)于區(qū)域B的正向，或?qū)憺椋?6數(shù)學(xué)物理方法第二章例1解依題意知,37數(shù)學(xué)物理方法第二章根據(jù)復(fù)合閉路定理,38數(shù)學(xué)物理方法第二章例2解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,39數(shù)學(xué)物理方法第二章例3解40數(shù)學(xué)物理方法第二章由復(fù)合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來很方便,因為不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內(nèi)即可.41數(shù)學(xué)物理方法第二章例4解由上例可知42數(shù)學(xué)物理方法第二章柯西定理總結(jié)閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線的積分為零。閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向的積分和為零。閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時針方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時針方向的積分的和。固定起點和終點，積分路徑的連續(xù)形變不改變積分43數(shù)學(xué)物理方法第二章定理一由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點和終點有關(guān),(如下頁圖)1.兩個主要定理:2.3不定積分44數(shù)學(xué)物理方法第二章45數(shù)學(xué)物理方法第二章定理二證利用導(dǎo)數(shù)的定義來證.46數(shù)學(xué)物理方法第二章由于積分與路線無關(guān),47數(shù)學(xué)物理方法第二章48數(shù)學(xué)物理方法第二章由積分的估值性質(zhì),49數(shù)學(xué)物理方法第二章此定理與微積分學(xué)中的對變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.[證畢]50數(shù)學(xué)物理方法第二章2.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:證51數(shù)學(xué)物理方法第二章那末它就有無窮多個原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]52數(shù)學(xué)物理方法第二章3.不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)53數(shù)學(xué)物理方法第二章證根據(jù)柯西-古薩基本定理,[證畢]說明:有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計算.54數(shù)學(xué)物理方法第二章典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,55數(shù)學(xué)物理方法第二章例2解(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法)56數(shù)學(xué)物理方法第二章例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,57數(shù)學(xué)物理方法第二章例3另解此方法使用了微積分中“分部積分法”58數(shù)學(xué)物理方法第二章例4解利用分部積分法可得課堂練習(xí)答案59數(shù)學(xué)物理方法第二章例5解60數(shù)學(xué)物理方法第二章例6解所以積分與路線無關(guān),根據(jù)牛—萊公式:61數(shù)學(xué)物理方法第二章2.4柯西公式

柯西積分公式:若f(z)在閉單通區(qū)域B上解析，l為B境界線，

為B內(nèi)的任一點，那么證明：由于只需證明62數(shù)學(xué)物理方法第二章如果l是圓周z=

+reiθ，這就是說，一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周的平均值。若f(z)在l所圍區(qū)域上存在奇點，這就要考慮挖去奇點后的復(fù)通區(qū)域。在復(fù)通區(qū)域上f(z)解析，顯然柯西公式仍然成立，只要將l理解為所有境界線，并且其方向均取正向。定理：解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為：其中l(wèi)為解析區(qū)域內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線。63數(shù)學(xué)物理方法第二章Morera定理：(Cauchy定理的逆定理）設(shè)f(z)在區(qū)域G中連續(xù)，如果對于G中的任何閉合圍道l，都有則f(z)在G內(nèi)解析。證明：由路徑無關(guān)性，定義f(z)

的連續(xù)性0所以F(z)解析，其導(dǎo)數(shù)為f(z)，再由高階導(dǎo)數(shù)的存在性，f(z)在G內(nèi)解析。64數(shù)學(xué)物理方法第二章模數(shù)定理：f(z)在某個閉區(qū)域上解析，則|f(z)|只能在境界線上取極大值應(yīng)用柯西公式證明：對若|f(z)|在l上極大值為M，|z|的極小值為

，l的長為s65數(shù)學(xué)物理方法第二章Liouville定理：如f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即|f(z)|

N，則f(z)必為常數(shù)。半徑為R的園周總結(jié)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)函數(shù)復(fù)數(shù)函數(shù)單值復(fù)數(shù)函數(shù)多值復(fù)數(shù)函數(shù)單值復(fù)數(shù)函數(shù)單值函數(shù)與實變函數(shù)相似兩個二元實變函數(shù)的有序組合重點66數(shù)學(xué)物理方法第二章奇點柯西定理及推論極限連續(xù)積分導(dǎo)數(shù)(微分)解析函數(shù)解析區(qū)域柯西公式高階導(dǎo)數(shù)公式u,v可微C-R條件點點可導(dǎo)(不解析的點)積分區(qū)域有無奇點67數(shù)學(xué)物理方法第二章典型例題例1解68數(shù)學(xué)物理方法第二章由柯西積分公式69數(shù)學(xué)物理方法第二章例2解由柯西積分公式70數(shù)學(xué)物理方法第二章例3解由柯西積分公式71數(shù)學(xué)物理方法第二章例４解根據(jù)柯西積分公式知,72數(shù)學(xué)物理方法第二章例5解73數(shù)學(xué)物理方法第二章例5解74數(shù)學(xué)物理方法第二章由閉路復(fù)合定理,得例5解75數(shù)學(xué)物理方法第二章例6解根據(jù)柯西積分公式知,76數(shù)學(xué)物理方法第二章比較兩式得77數(shù)學(xué)物理方法第二章例1解78數(shù)學(xué)物理方法第二章79數(shù)學(xué)物理方法第二章根據(jù)復(fù)合閉路定理80數(shù)學(xué)物理方法第二章81數(shù)學(xué)物理方法第二章例2解82數(shù)學(xué)物理方法第二章83數(shù)學(xué)物理方法第二章例3解由柯西－古薩基本定理得由柯西積分公式得84數(shù)學(xué)物理方法第二章85數(shù)學(xué)物理方法第二章課堂練習(xí)答案86數(shù)學(xué)物理方法第二章例4解87數(shù)學(xué)物理方法第二章根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,88數(shù)學(xué)物理方法第二章89數(shù)學(xué)物理方法第二章例5(Morera定理