數(shù)學(xué)物理方法-復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

數(shù)學(xué)物理方法概述《數(shù)學(xué)物理方法》是物理系本科的必修課，是銜接數(shù)學(xué)與物理學(xué)的一門重要的基礎(chǔ)課程。本課程在高等數(shù)學(xué)和普通物理學(xué)的基礎(chǔ)上論述古典數(shù)學(xué)物理中的常用方法，為后續(xù)的理論物理系列課程做準(zhǔn)備，打下用數(shù)學(xué)知識(shí)定量解決復(fù)雜物理問題的基礎(chǔ)。課程的主要目的是，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述物理問題的能力、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，提高運(yùn)算能力。課程的主要內(nèi)容有：復(fù)變函數(shù)論和數(shù)學(xué)物理方程兩大部分.數(shù)學(xué)物理方法復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程教材及指導(dǎo)書

一、教材：梁昆淼編.《數(shù)學(xué)物理方法》，第三版，高等教育出版社，1998年6月二、主要的參考書：。胡嗣柱、倪光炯編，《數(shù)學(xué)物理方法》高等教育出版社。陸全康編，《數(shù)學(xué)物理方法》上、下，上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社。陸全康編，《數(shù)學(xué)物理方法自學(xué)輔導(dǎo)》，上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社。郭敦仁編，《數(shù)學(xué)物理方法》，北京：人民教育出版社。胡嗣柱、倪光炯編，《數(shù)學(xué)物理方法》，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)及運(yùn)算第二節(jié)區(qū)域第三節(jié)復(fù)變函數(shù)第四節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性第一節(jié)復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)形如z=x+iy的數(shù)被稱為復(fù)數(shù)，其中x,y∈R。x=Rez，y=Imz分別為z的實(shí)部和虛部，i為虛數(shù)單位，其意義為i2=-1z1=z2當(dāng)且僅當(dāng)Rez1=Rez2且Imz1=Imz1復(fù)平面復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)z平面復(fù)數(shù)z=x+iy虛軸實(shí)軸模幅角復(fù)數(shù)不能比較大小主幅角復(fù)數(shù)的表示代數(shù)表示：z=x+iy三角表示：z=r(cosθ+isinθ)指數(shù)表示：z=rexp(iθ)注意在三角表示和指數(shù)表示下，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)模相等且幅角相差2kπ復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè)z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算z1±

z2=(x1±x2)

+i(y1±

y2)復(fù)數(shù)加減法滿足平行四邊形法則，或三角形法則z1+(-

z2)-

z2乘法運(yùn)算兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘，幅角相加除法運(yùn)算兩個(gè)復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除，幅角相減共軛運(yùn)算復(fù)數(shù)z=x+iy的共軛復(fù)數(shù)為z*=x-iy共軛復(fù)數(shù)為z*是復(fù)數(shù)z關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)零點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)平面上有些個(gè)點(diǎn)比較特殊,比如:零點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).(1)復(fù)數(shù)零的幅角無(wú)意義,模為0.(2)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的模為∞,幅角沒有意義.關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的定義需要借助測(cè)地投影法。復(fù)球面無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)測(cè)地投影法定義無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)A舉例ii第三節(jié)復(fù)變函數(shù)為了更好的理解這個(gè)定義，我們需要了解以下概念：區(qū)域、鄰域、內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、境界線、閉區(qū)域、開區(qū)域等。鄰域：以z0為圓心，以任意小正數(shù)ε為半徑作一圓，則圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合稱為z0的鄰域。內(nèi)點(diǎn)：

z0及其鄰域均屬于點(diǎn)集G，則該點(diǎn)叫作G的內(nèi)點(diǎn)。境界線：若z0及其鄰域內(nèi)既有屬于G的點(diǎn)，也有不屬于G的點(diǎn)，則該點(diǎn)為境界點(diǎn)，境界點(diǎn)的全體稱為境界線。外點(diǎn)：

z0及其鄰域均不屬于點(diǎn)集G，則該點(diǎn)叫作G的外點(diǎn)。境界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)區(qū)域境界線開集設(shè)G為一平面點(diǎn)集，z0為G中任意一點(diǎn)，如果存在z0的一個(gè)鄰域，使該鄰域的所有點(diǎn)都屬于G，那么稱z0為G的內(nèi)點(diǎn)。如果G內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，那么稱G為開集。Gz0區(qū)域的概念Dz1z2p連通性點(diǎn)集中的任何兩點(diǎn)都可以用一條曲線連接起來(lái)，且線上的點(diǎn)全屬于該點(diǎn)集。區(qū)域平面點(diǎn)集D稱為一個(gè)區(qū)域，如果它滿足下列兩個(gè)條件：1.D是開集；2.D是連通的。閉區(qū)域區(qū)域D連同它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域，記為Dz1z2pxyORxyORxyROr

1xyR-ROxOyxOy

2

1舉例用復(fù)數(shù)表示的平面點(diǎn)集單連通域與復(fù)連通域設(shè)B為復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域，如果在其中作一條簡(jiǎn)單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而曲線內(nèi)部總屬于B

，則稱B為單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域。BB單連通域復(fù)連通域復(fù)變函數(shù)的定義設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy的集合。如果有一個(gè)確定的法則存在，按照這一法則，對(duì)于集合G中的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)ω=u+iv與之對(duì)應(yīng)，那么稱復(fù)變數(shù)ω是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)，或復(fù)變函數(shù)，記為ω=f(z)。說(shuō)明1如果z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著ω的唯一一個(gè)值，那么我們稱f(z)是單值的；如果z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著多個(gè)ω的值，那么我們稱f(z)是多值函數(shù)。說(shuō)明2復(fù)變函數(shù)ω=f(z)可以看作是z平面到ω平面上的一個(gè)映射。復(fù)變函數(shù)ω=f(z)可以寫成ω=u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iyω=f(z)z平面ω平面舉例求0<θ<π,0<r<1經(jīng)ω=iz變換后在ω平面上的圖形。z平面ω平面ω=iz=zexp(iπ/2)復(fù)變函數(shù)舉例—基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)1，沒有零點(diǎn)2，乘積公式3，周期性舉例求z平面上帶形區(qū)域-∞<Rez<+∞,0<Imz<π經(jīng)ω=ez

變換后在ω平面上的圖形。ω=ez注意根式函數(shù)記注意根式函數(shù)是多值函數(shù)舉例1設(shè)，規(guī)定0≤arg(z-1)<2π，求ω(2),ω(i),ω(0),ω(-i)。對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)1性質(zhì)2注意符號(hào)lnz與ln|z|，以及Lnz的區(qū)別恒等式下列式子不成立舉例計(jì)算Ln2，

Ln(-1)，Ln(-i)，Ln(1+i)Oxy1+i2-i-1三角函數(shù)性質(zhì)1，周期性：周期2π2，三角關(guān)系式：3，非有界函數(shù)：舉例求解sinz=0的全部根求解sinz=2的全部根雙曲函數(shù)性質(zhì)1.

以2πi為周期2.

sinh

z=-isin(iz),cosh

z=cos(iz)3.

恒等式：cosh2z-sinh2z=1冪函數(shù)第四節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)ω=f(z)定義在區(qū)域B的單值函數(shù)，如果任給實(shí)數(shù)

ε>0，若存在實(shí)數(shù)δ>0,當(dāng)B內(nèi)的z滿足0<|z-z0|<δ時(shí)，存在有確定復(fù)數(shù)滿足，則稱ω0為f(z)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限，記為定理1定理2設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0，z=x0+iy0，那么舉例復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性稱函數(shù)ω=f(z)在z=z0點(diǎn)連續(xù)，如果1.f(z0)存在；2.定理3設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在z=z0點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)u(x,y)和v(x,y)皆在(x0,y0)點(diǎn)連續(xù)。定理4連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算仍連續(xù)。舉例第五節(jié)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

從定義形式上看，復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)是完全一樣的，所以實(shí)變函數(shù)論中的相關(guān)規(guī)則往往可以適用于復(fù)變函數(shù)。例如：

但是，復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)卻比實(shí)變函數(shù)復(fù)雜的多，因?yàn)閷?shí)變函數(shù)Δx只能沿實(shí)軸逼近0，而復(fù)變函數(shù)Δz則可以沿任何曲線逼近于0，因此，復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)有更嚴(yán)格的要求。首先看Δz則沿實(shí)軸逼近于0的情形：5.1復(fù)變函數(shù)f(z)在點(diǎn)z可微的必要條件：柯西-黎曼條件再看Δz沿虛軸逼近于0的情形：既然與路徑無(wú)關(guān)，以上兩式應(yīng)該相等，即以上條件為復(fù)數(shù)z可導(dǎo)的必要條件，又稱為柯西—黎曼條件（簡(jiǎn)稱C-R條件）。總結(jié)以上結(jié)論，得到函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D上一點(diǎn)(x,y)可微的必要條件是:

(1)u(x,y)和v(x,y)在(x,y)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在；

(2)滿足C-R條件。注意：函數(shù)在一點(diǎn)可微，則它在該點(diǎn)必定連續(xù)，反之則不一定正確。即：可微可導(dǎo)連續(xù)例如：試討論函數(shù)在復(fù)平面上的連續(xù)和可微性注意：u(x,y),v(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且滿足C-R條件只是必要條件，而不是充分條件。例如函數(shù)在z=0點(diǎn)滿足上述條件，但函數(shù)在z=0點(diǎn)不可微。5.2復(fù)變函數(shù)f(z)在點(diǎn)z可微的充分必要條件把上述的C-R條件加強(qiáng)，就得到f(z)可微的充分必要條件：設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D確定，則f(z)在D的內(nèi)點(diǎn)z=x+iy可微的充分必要條件是u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微并滿足C-R條件。相當(dāng)于下述兩個(gè)條件：(1)在點(diǎn)(x,y)不僅存在，而且還連續(xù)；(2)在點(diǎn)(x,y)滿足C-R條件。滿足上述條件的復(fù)變函數(shù)的微分可以寫成下列形式之一：

可見，解析函數(shù)在每點(diǎn)的鄰域內(nèi)，其實(shí)部與虛部是相互聯(lián)系的，聯(lián)系的紐帶為C-R條件。因此只要已知解析函數(shù)f(z)的實(shí)部或虛部中的任一個(gè)就能由C-R條件求出另一個(gè)。第六節(jié)解析函數(shù)定義：如果函數(shù)ω=f(z)在區(qū)域D上處處可微，則稱f(z)是區(qū)域D上的解析函數(shù)，或稱f(z)在D上解析。有時(shí)也說(shuō)函數(shù)ω=f(z)在某點(diǎn)解析，應(yīng)理解為不僅在該點(diǎn)可微，而且在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)是可微的。如果函數(shù)ω=f(z)在z0點(diǎn)不解析，則z0稱為函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)。例：討論函數(shù)ω=f(z)=x+ixy的解析性。解析函數(shù)的實(shí)部與虛部是通過C-R條件相互聯(lián)系的，因此只要已知解析函數(shù)f(z)的實(shí)部或虛部中的任一個(gè)就能由C-R條件求出另一個(gè)。由C-R條件，用線積分得到，例1,已知函數(shù)f(z)的實(shí)部u(x,y)=x2-y2+xy,求虛部v(x,y)和這個(gè)解析函數(shù)f(z)。例2，求常數(shù)k，使為調(diào)和函數(shù)，并求以u(píng)為實(shí)部的解析函數(shù)f(z)例3，已知解析函數(shù)的實(shí)部u=exsiny,求v(x,y)和解析函數(shù)f(z).例4，已知解析函數(shù)的實(shí)部u=ex(xcosy-ysiny),f(0)=0,求f(z).例5，已知解析函數(shù)的虛部v=y/

(x2+y2),f(2)=0,求f(z).第七節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

拉普拉斯方程：直角坐標(biāo)系下：上式稱為二維拉普拉斯(Laplace)方程(或稱調(diào)和方程)。定義：凡具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并滿足二維拉普拉斯方程的函數(shù)，稱為二維調(diào)和函數(shù)。

解析函數(shù)的實(shí)部與虛部是通過C-R條件相互聯(lián)系，

解析函數(shù)具有任意階的導(dǎo)數(shù)（下一章將證明），因而u，v總是有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，將C-R條件的第一個(gè)式子對(duì)x，第二個(gè)式子對(duì)y求導(dǎo)，有兩式相加得定理：任何一個(gè)在區(qū)域D上解析的函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),

其實(shí)部與虛部都是該區(qū)域上的調(diào)和函數(shù)，他們二者通過C-R條件聯(lián)系，又稱做相互共軛的調(diào)和函數(shù)。同理可得簡(jiǎn)寫為或注意：反過來(lái)，如果u與