線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

描述控制系統(tǒng)輸入、輸出變量及內(nèi)部變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。★描述控制系統(tǒng)的輸入－輸出變量數(shù)學(xué)模型:微分方程、傳遞函數(shù)、方框圖、頻率特性★描述控制系統(tǒng)的內(nèi)部變量數(shù)學(xué)模型：狀態(tài)空間說明◆要分析自動控制系統(tǒng)的性能，必須先建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；◆一個物理系統(tǒng)，要處理的問題或要達到的精度不同，得到的數(shù)學(xué)模型也不同?！?－1微分方程

主要內(nèi)容§2－2傳遞函數(shù)§2－3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及動態(tài)響應(yīng)§2－4電氣網(wǎng)絡(luò)的運算阻抗與傳遞函數(shù)§2－5方框圖§2－5反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

§2－1微分方程

對于線性定常系統(tǒng),可以用線性常系數(shù)微分方程作為其數(shù)學(xué)模型，如a0dnc

(t)/dtn+a1dn-1c

(t)/dtn-1+…＋anc

(t)=b0dmr(t)/dtm+b1dm-1r(t)/dtm-1+…+bmr(t)c(t):

系統(tǒng)的輸出；r(t):

系統(tǒng)的輸入；a0……an;b0……bm

均為實數(shù)，均由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定的，且n為系統(tǒng)的階數(shù)，n≥m。建立微分方程的一般步驟(1)確定輸入量和輸出量；(2)增設(shè)中間變量，圍繞輸入量、輸出量及中間量，列微分方程組。(3)消去中間變量，整理出只含有輸入量和輸出變量及其各階導(dǎo)數(shù)的微分方程；(4)標準化，將輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)放在等號左邊，將輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)放在等號右邊，各階導(dǎo)數(shù)項按階次由高到低排列。電氣系統(tǒng)

電氣系統(tǒng)中最常見的裝置是由電阻、電感、電容、運算放大器等元件組成的電路，又稱電氣網(wǎng)絡(luò)。無源網(wǎng)絡(luò)：由無源元件組成的電氣網(wǎng)絡(luò)。不含電源的器件：R、L、C等。有源網(wǎng)絡(luò)：包含有源元件的電氣網(wǎng)絡(luò)。

含電源的器件：運算放大器。電氣系統(tǒng)

列寫電氣網(wǎng)絡(luò)的微分方程要用到以下規(guī)律：KCL電流定律：KVL電壓定律：元件的伏安關(guān)系：理想運算放大器：虛短、虛斷

§2－2傳遞函數(shù)一.定義線性定常系統(tǒng)→線性常系數(shù)微分方程c(t):

系統(tǒng)的輸出；r(t):

系統(tǒng)的輸入；a0……an;b0……bm

均為實數(shù)，均由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定的，且n≥m。令c(t)和r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0－時的值為零,（a0Sn+a1Sn-1+…+an-1S+an)C(S)=(b0Sm+b1Sm-1+…+bm-1S+bm)R(S)經(jīng)過整理得：（零初始條件）兩端拉氏變換得到以復(fù)變量S為自變量的代數(shù)方程：傳遞函數(shù)的定義：零初始條件下系統(tǒng)輸出與輸入的拉氏變換之比。說明（2）傳遞函數(shù)由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與輸入信號的具體形式和大小無關(guān)。（1）由于拉氏變換只是線性定常微分方程的數(shù)學(xué)變換，故傳遞函數(shù)僅為線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。（4）傳遞函數(shù)的自變量是S，所以傳遞函數(shù)時系統(tǒng)的復(fù)頻域描述，而微分方程則為系統(tǒng)的時域描述。(3)C(S)=R(S)G(S)，信號傳遞的性質(zhì)。用方框圖表示：R(S)G(S)C(S)（5）對實際系統(tǒng)，傳遞函數(shù)是S的有理分式設(shè)式中：k為比例系數(shù);z1…zm稱為傳遞函數(shù)的零點;p1…pn稱為傳遞函數(shù)的極點。（6）傳遞函數(shù)的零、極點、增益模型零點和極點是在復(fù)數(shù)平面上的點，因此可以是實數(shù)（在實軸上），也可以是復(fù)數(shù)，如為復(fù)數(shù)必為共軛出現(xiàn)。例：以零極形式表示，并在復(fù)平面上標出。S1、S2=-2±j3為一對共軛復(fù)數(shù)極點。Imj3-j3Re-2－6S1S2解：G(S)的零極形式為：（7）系統(tǒng)的特征方程系統(tǒng)傳遞函數(shù)分母等于零所得的方程，即令特征根：特征方程的根，也是傳遞函數(shù)的極點?！?－3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及動態(tài)響應(yīng)為了分析方便，往往將一個復(fù)雜的控制系統(tǒng)分成一個個小部分，稱為環(huán)節(jié)?？刂葡到y(tǒng)雖然是各種各樣的，但常見的典型環(huán)節(jié)并不多。一.比例環(huán)節(jié)1、傳遞函數(shù)2、階躍響應(yīng)R(S)KC(S)二.慣性環(huán)節(jié)1、傳遞函數(shù)2、階躍響應(yīng)R(S)C(S)說明

經(jīng)過3T~4T，輸出接近穩(wěn)態(tài)值，約為穩(wěn)態(tài)值的95%~98%；由于的存在，輸出呈現(xiàn)緩慢上升過程，這一現(xiàn)象稱為系統(tǒng)具有一定的慣性，用時間常數(shù)T來表征；

T=0，即比例環(huán)節(jié)，無慣性；

T越大輸出接近穩(wěn)態(tài)的時間越長，上升越緩慢，系統(tǒng)慣性越大。三.積分環(huán)節(jié)1、傳遞函數(shù)2、階躍響應(yīng)四.比例積分環(huán)節(jié)1、傳遞函數(shù)2、階躍響應(yīng)五.微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)2、階躍響應(yīng)1、傳遞函數(shù)說明理想微分環(huán)節(jié)很難應(yīng)用，引入實際微分環(huán)節(jié)。1、傳遞函數(shù)2、階躍響應(yīng)六.比例微分環(huán)節(jié)（一階微分環(huán)節(jié)）2、階躍響應(yīng)1、傳遞函數(shù)或說明

與微分環(huán)節(jié)類似，在實際中所用的比例微分環(huán)節(jié)也是帶慣性環(huán)節(jié)的。實際中的比例微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：當(dāng)τ很小時，則近似于理想的比例微分環(huán)節(jié)七.比例積分微分環(huán)節(jié)2、階躍響應(yīng)1、傳遞函數(shù)八.二階振蕩環(huán)節(jié)1、傳遞函數(shù)T——時間常數(shù)ζ——阻尼比2、階躍響應(yīng)九.延遲環(huán)節(jié)：輸出為輸入信號的延遲。1、動態(tài)方程2、傳遞函數(shù)

說明：延遲環(huán)節(jié)可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定，τ越大，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性越不利?！?－4電氣網(wǎng)絡(luò)的運算阻抗與傳遞函數(shù)一.運算阻抗元件運算阻抗（復(fù)阻抗）RRLsLC二.伏安關(guān)系時域電路運算電路可見，運算阻抗可以當(dāng)做普通電阻使用！三.電路定律時域電路運算電路

對電氣網(wǎng)絡(luò)，可以不列微分方程，僅利用運算電路，經(jīng)過簡單的代數(shù)運算，就可以求得傳遞函數(shù)！§2－5控制系統(tǒng)的方框圖

方框圖是以圖形表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；通過方框圖，能夠非常清楚地表示出信號在系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間的傳遞過程；方框圖可以方便地求出復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；方框圖是分析控制系統(tǒng)的一個簡明而有效的工具。一.方框圖的概念和繪制構(gòu)成方框圖的基本符號有四種：（1）信號線：R(s)箭頭表示信號傳遞的方向，線上表明所對應(yīng)的變量。1、方框圖是傳遞函數(shù)的圖解化表示，框圖中各信號均以s為自變量，反應(yīng)系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)的連接關(guān)系。（2）函數(shù)方框：方框中為各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)Gn(S)Xi(S)X0(S)X0(S)＝Xi(S)×Gn(S)（3）比較點：信號的代數(shù)和，具有相同量綱X1(S)X2(S)X1(S)+X2(S)++X1(S)X2(S)X1(S)－X2(S)－+（4）引出點：X

(S)X

(S)X

(S)只是傳送信號，并不提取能量，不是求和！2、方框圖的繪制列系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程組

拉氏變換方框圖系統(tǒng)的微分方程為：

式中T1、T2、K1、K2、K3均為正的常數(shù)，系統(tǒng)的輸入為r(t)，輸出為c(t)，畫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖。①②③④例題②①③④注意方框圖形式要規(guī)范，前向通路、反饋通路要清晰明確，左邊為系統(tǒng)總輸入R(s)，右邊為輸出C(s)。方框圖中的各個環(huán)節(jié)都必須是典型環(huán)節(jié)。若遵循前一個環(huán)節(jié)的輸出為下一個環(huán)節(jié)的輸入，則容易畫圖。二.環(huán)節(jié)間的連接關(guān)系1.串聯(lián)G1(S)R(S)G2(S)…C(S)Gn(S)2.并聯(lián)G1(S)G2(S)...Gn(S)＋＋＋C(S)R(S)3.反饋R(S)C(S)G(S)H(S)B(S)E(S)＋正反饋負反饋單位反饋：H(S)＝1R(S)C(S)G(S)H(S)B(S)E(S)＋C(S)=E(S)G(S)E(S)=R(S)－B(S)B(S)=C(S)H(S)＋注意傳遞函數(shù)中：負反饋取＋正反饋?。璕(S)C(S)G(S)H(S)B(S)E(S)Φ(S)也稱作自動控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)R(S)C(S)--R(S)C(S)-三.比較點和引出點的移動目的：為了對較復(fù)雜的方框圖進行化簡。原則：不能改變輸入、輸出之間總的數(shù)學(xué)關(guān)系式。1.比較點前移R1(S)G(S)C(S)R2(S)＋R1(S)G(S)C(S)R2(S)G

(S)1＋2.比較點后移R1(S)G(S)C(S)R2(S)＋G(S)R1(S)G(S)C(S)R2(S)＋3.相鄰比較點之間的移動R1(S)R3(S)-R2(S)-C(S)R1(S)R2(S)-R3(S)-C(S)＋R1(S)R3(S)-R2(S)-C(S)4.引出點前移G

(S)R(S)C(S)C(S)G

(S)R(S)C(S)C(S)G

(S)5.引出點后移G

(S)R(S)C(S)R(S)G

(S)R(S)C(S)R(S)G

(S)16.相鄰引出點之間移動X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)說明比較點與引出點之間不要相互移動，等效關(guān)系太復(fù)雜！四.方框圖的化簡1、利用比較點、引出點移動來化簡

關(guān)鍵：找非獨立回路，消除交叉結(jié)構(gòu)，將方框圖變成串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接。例題求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---aG3(S)H2(S)H1(S)H3(S)R(S)1/G4(S)例題求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---aG3(S)H2(S)H1(S)H3(S)bR(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)bR(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b1/G2(S)R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b1/G2(S)R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b1/G2(S)R(S)G1(S)C(S)-H1(S)對結(jié)構(gòu)圖進行簡化，求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù).解（1）

a點后移R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---

G3(S)例題aR(S)G1(S)G2(S)G3(S)G4(S)C(S)---

1/G4(S)R(S)G1(S)G2(S)C(S)--1/G4(S)R(S)G1(S)G2(S)R(S)--1/G4(S)

bPage31例2－7對結(jié)構(gòu)圖進行簡化，求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。Page31例2－8對結(jié)構(gòu)圖進行簡化，求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。2、梅森公式——

所有各回路的“回路傳遞函數(shù)”之和?！?/p>

兩兩互不接觸回路，其“回路傳遞函數(shù)”乘積之和?！?/p>

三個互不接觸的回路，其“回路傳遞函數(shù)”乘積之和?；芈穫鬟f函數(shù)——

回路的前向通路和反饋通路的傳遞函數(shù)的乘積。包括反饋極性！相接觸回路——

在框圖中具有共同的重合部分，包括共同的函數(shù)方框、或共同的相加點等。梅森公式n——

系統(tǒng)前向通路個數(shù)；Pk

——

從輸入端到輸出端的第k條前向通路上各傳遞函數(shù)之積。例題求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)L1L2L3例題某電氣網(wǎng)絡(luò)的方框圖如下，求閉環(huán)傳遞函數(shù)。R(S)C(S)---

L1L2L3§2－6反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖：G1(S)G2(S)R(S)C(S)E(S)B(S)H(S)+N(S)一.閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：

G(S)=G1(S)G2(S)H(S)二.系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)1.輸出對輸入的傳遞函數(shù)令N(S)＝0G1(S)G2(S)Xi(S)X0(S)E(S)B(S)H(S)+N(S)

（2-11）2.輸出對擾動的傳遞函數(shù)G1(S)G2(S)Xi(S)X0(S)E(S)B(S)H(S)+D(S)令Xi(S)＝0G1(S)G2(S)X0(S)H(S)