專題12.11 三角形全等幾何模型（一線三等角）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題12.11三角形全等幾何模型（一線三等角）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】一線三直角模型1.基本圖形題型特征：如圖1，在直線BC上出現(xiàn)三個直角，如圖中∠B=∠ACE=∠D=90°圖1圖2圖3解題方法：只要題目再出現(xiàn)一組等邊（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可證△ABE≌△ECD（AAS或ASA）結(jié)論延伸1：如圖2，兩個直角三角形在直線兩側(cè)時，同樣成立結(jié)論延伸2：圖1中連接AE，得到如圖3，可得以下結(jié)論：四邊形ABDE為直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）【知識點(diǎn)二】一線三等角模型圖4圖5題型特征：如圖4，圖形的某條線段上出現(xiàn)三個相等的角，如圖中∠B=∠ACE=∠D解題方法：只要題目再出現(xiàn)一組等邊（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必證△ABC≌△CDE（AAS或ASA）結(jié)論延伸：如圖5，兩個三角形在直線兩側(cè)時，同樣成立第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】直接用“一線三直角”模型求值或證明【例1】（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且，，垂足分別為．（1）求證：；（2）若，，求四邊形的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）利用余角性質(zhì)證明，再利用“”即可證明；（）由得到，，進(jìn)而得到，再根據(jù)梯形的面積計算公式計算即可求解；本題考查了余角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證明：，，，，，，，在和中，；（2）解：，，，∵，，又，，，，∴四邊形的面積為．【變式1】（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，小虎用塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（，），點(diǎn)C在上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離的長度為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，證明即可得到答案；解：由題意可得，，，，∵，∴，，∴，在與中，∵，∴，∴，，∴，故選：A．【變式2】（23-24九年級下·重慶開州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．若，，則的長度為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，先證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)一步可得的長．解：，，，，，，，在和中，，∴，，，，，，，，故答案為：．【題型2】直接用“一線三等角”模型求值或證明【例2】（23-24八年級上·新疆昌吉·期中）已知是直角三角形，，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，分別過點(diǎn)B、C向直線l作垂線，垂足分別為D、E

（1）如圖a，當(dāng)點(diǎn)B、C位于直線l的同側(cè)時，證明：（2）如圖b，銳角中，，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)D、E分別在直線l上，點(diǎn)B，C位于l的同一側(cè)，如果，請找到圖中的全等三角形，并寫出線段和之間的數(shù)量關(guān)系【答案】(1)證明見解析；(2)，【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，掌握利用證明三角形全等是解本題的關(guān)鍵．（1）先證明，再利用證明即可；（2）由，可得，證明，可得，，從而可得結(jié)論．（1）證明：，，，在中，，∵，∴，∴，在和中，，∴；（2）解：，；理由如下：∵，，∴，∴，在和中，∴，∴，，∴．【變式1】（21-22八年級上·浙江溫州·期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．【變式2】（23-24七年級下·吉林長春·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊上，且，點(diǎn)E、F在線段上．，的面積為18，則與的面積之和．【答案】12【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，和三角形的面積求法，能夠證明是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)與等高，底邊值為，得出與面積比為1∶2，再證，即可得出和的面積和，即可選出答案．解：標(biāo)記角度如下：∵在等腰中，，，∴與等高，底邊比值為∴與的面積比為，∵的面積為18∴的面積為6，的面積為12，∵,即，∴，∵，，，∴，∴∴與的面積相等，∴，故答案為：12．【題型3】構(gòu)造“一線三直角”模型求值或證明【例3】（23-24八年級上·山西呂梁·期末）數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們利用三角形紙片進(jìn)行操作活動，探究有關(guān)線段之間的關(guān)系問題情境：如圖1，三角形紙片中，，.將點(diǎn)C放在直線上，點(diǎn)A，B位于直線的同側(cè)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D初步探究：（1）在圖1的直線上取點(diǎn)E，使，得到圖2，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）小穎又拿了一張三角形紙片繼續(xù)進(jìn)行拼圖操作，其中，.小穎在圖1的基礎(chǔ)上，將三角形紙片的頂點(diǎn)P放在直線上，點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，過點(diǎn)N作于點(diǎn)H.如圖3，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了全等三角形的常見模型－垂直模型，熟記模型的構(gòu)成以及結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，證得，根據(jù)“三線合一”可得，即可求解；（2）結(jié)合（1）的推理過程可得得，再證得即可求解．（1）解：，理由如下：過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，即，，，，.，..在和中，，..，，..（2）解：.理由如下：過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，∴，由（1）可得：，.，，.，..在和中，，..【變式1】（23-24八年級上·新疆喀什·期中）如圖，則的面積為（）A．9 B．6 C． D．【答案】A【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．首先作于,作交的延長線于.根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得出，證明，得出的高即為，即可求得面積．解：作于,作交的延長線于，在和中，的高即為,故選：A．【變式2】（20-21七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在中，，過點(diǎn)作，且，連接，若，則的長為．【答案】3【分析】過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，先證明，則，然后根據(jù)求即可．解：過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，則∠DMC=90°=∠ABC，，，，，，，，，，．故填．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形證得成為解答本題的關(guān)鍵．【題型4】“一線三直（等）角”模型的延伸與拓展【例4】如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3.0），D為x軸上的一個動點(diǎn)，AE⊥AD，且AE=AD，連接BE交y軸于點(diǎn)M（1）若D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5.0），求E點(diǎn)的坐標(biāo):（2）求證:M為BE的中點(diǎn)（3）當(dāng)D點(diǎn)在x軸上運(yùn)動時，探索:為定值【答案】（1）E(3,-2)；（2）詳見解析；（3）【分析】(1)過E點(diǎn)作EF⊥y軸交y軸于F點(diǎn)，先證明△AOD≌△EFA(AAS)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)先把D點(diǎn)的位置畫出來，再證明△AOD≌△EFA(AAS)，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明△BOM≌△EFM(AAS)，即可證明M為BE的中點(diǎn)；(3)從(1)(2)的信息可知得到，再結(jié)合即可得到的比值為定值；解：(1)過E點(diǎn)作EF⊥y軸交y軸于F點(diǎn)

∵AD⊥AE,EF⊥AF∠AOD=∠AFE=90°∵∠DAO+∠EAF=90°∠EAF+∠AEF=90°∴∠DAO=∠AEF在△AOD和△EFA中△AOD≌△EFA(AAS)EF=OA=3

AF=OD=5OF=AF-OA=5-3=2E(3,-2)(2)如圖，D點(diǎn)在以上3個位置，

根據(jù)題意知道：AE=AD，，又∵，∴

∴△AOD≌△EFA(AAS)∴OB=EF∠BOM=∠EMF=90°∠BOM=∠EMF∴△BOM≌△EFM(AAS)BM=EM=BE(3)根據(jù)(2)可知，D點(diǎn)在可以在3個位置，當(dāng)D點(diǎn)如下圖的位置時，過D作直線a⊥x軸與D，過A作AG垂直直線a于G，由(2)知△BOM≌△EFM(AAS)，∴EF=OB，又由(1)知△AOD≌△EFA(AAS)即：EF=OA=OB，AF=OD∴，又∵∴=，當(dāng)D在另外兩個位置時，同理可證得=；【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形全等的判定以及性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，能正確畫出圖像，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24八年級上·陜西西安·階段練習(xí)）勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖所示，把一個邊長分別為3，4，5的三角形和三個正方形放置在大長方形中，則該長方形中空白部分的面積為（）A．54 B．60 C．100 D．110【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一線三垂直證明全等是突破本題的關(guān)鍵．利用一線三直角證明三角形全等，可得長方形的長11與寬10，計算出長方形的面積后減去三個正方形的面積即可．解：如圖延長交于M，其他字母標(biāo)注如圖示：根據(jù)題意，，，，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，同理可證，∴，∴．空白部分的面積＝長方形面積三個正方形的面積和．故選：B．【變式2】已知：四邊形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面積為1，則線段AC的長度是.【答案】2【分析】過B作BE⊥AC于E,過D作DF⊥AC于F,構(gòu)造得出BE=AF利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC的面積為1進(jìn)行計算即可.解：過B作BE⊥AC于E,過D作DF⊥AC于F,∴∠BEA=∠AFD=90°∴∠2+∠3=90°∵∠BAD=90°∴∠1+∠2=90°∴∠1=∠3∵AB=AD∴∴BE=AF∵AD=CD，DF⊥AC∴AF=∴BE=AF=∴∴AC=2故答案為2【點(diǎn)撥】本題考查了利用一線三等角構(gòu)造全等三角形，以及利用三角形面積公式列方程求線段，熟練掌握輔助線做法構(gòu)造全等是解題的關(guān)鍵.第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川南充·中考真題）如圖，，AD是內(nèi)部一條射線，若，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．求證：．【分析】根據(jù)AAS證明△BAE≌△ACF，即可得．證明：∵，∴∠BAE＋∠CAF＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE＋∠EBA＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，∵AB＝AC，∴△BAE≌△ACF，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023·重慶·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)F．若，，則的長度為．

【答案】3【分析】證明，得到，即可得解．解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中：，∴，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（22-23八年級下·河南洛陽·期中）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“過等腰三角形頂點(diǎn)的直線”為主題開展數(shù)學(xué)探究．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在中，，且，直線l經(jīng)過點(diǎn)A．小華分別過B、C兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．易證，此時，線段、、的數(shù)量關(guān)系為：；（2）拓展應(yīng)用：如圖乙，為等腰直角三角形，，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．請利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)：；（3）遷移探究：①如圖丙，小華又作了一個等腰，，且，她在直線l上取兩點(diǎn)D、E，使得，請你幫助小華判斷（1）中線段、、的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明；若變化，寫出它們的關(guān)系式并說明理由；②如圖丁，中，，，點(diǎn)D、E在直線上，且，請直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)①，理由見解析；②【分析】（1）由全等得到邊長關(guān)系即可．（2）分別按照（1）中情形過A、B做出軸垂線，得到三角形全等后根據(jù)邊長關(guān)系得到點(diǎn)A坐標(biāo)．（3）①將（1）中互余的角度變成計算關(guān)系，仍可得角度相等，從而得到全等的三角形，進(jìn)而得到邊長關(guān)系