常微分方程課件

常微分方程

一、二階常系數(shù)方程的解法

1。齊次方程通解 設(shè)

得相異實(shí)根共軛復(fù)根重根

2。非其次方程特解：比較系數(shù)法二、二階變系數(shù)方程的解法1、級(jí)數(shù)解法

廣義冪級(jí)數(shù)

代入方程，比較系數(shù)法確定參數(shù)c和

an

設(shè)

代入，得

首項(xiàng)xc的系數(shù)為0——指標(biāo)方程第n項(xiàng)xn+c的系數(shù)為0

——遞推公式

由指標(biāo)方程的第一根c=c1可以得到方程的第一個(gè)解當(dāng)c1－c2不為整數(shù)或0時(shí)，由常規(guī)方法可得第二解。當(dāng)c1、c2

為重根時(shí)，第二解為當(dāng)c1－c2為整數(shù)時(shí)，第二解為

2。Bessel方程及其級(jí)數(shù)解

稱(chēng)為k階Bessel方程。采用冪級(jí)數(shù)解法，得首項(xiàng)系數(shù)為0的指標(biāo)方程

遞推公式

第一解

第二解分為以下三種情況

i)k為分?jǐn)?shù)

ii)k=0

iii)k為整數(shù)

3、Legendre方程與Legendre函數(shù) 設(shè)

代入，得

遞推公式 根據(jù)冪級(jí)數(shù)收斂判別法知，在x=±1處級(jí)數(shù)發(fā)散，但物理上函數(shù)又是有界的，因此只有參數(shù)l取整數(shù)才能保證級(jí)數(shù)在x=±1處收斂，此時(shí)級(jí)數(shù)成為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式

性質(zhì)

Bessel函數(shù)、Legendre函數(shù)均為正交函數(shù)族，滿(mǎn)足正交條件，可以作為函數(shù)基將任意分片光滑的函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)，分別稱(chēng)為Fourier－Bessel級(jí)數(shù)和Fourier－Legendre級(jí)數(shù)。

三、一階常系數(shù)方程組的矩陣解法

齊次方程

設(shè)代入方程得 從中可解出n個(gè)特征根和特征向量，構(gòu)成基解矩陣通解或

y=Yc

常數(shù)c由初始條件確定

四、線性穩(wěn)定性分析方法穩(wěn)定性（stability)——系統(tǒng)的一種動(dòng)態(tài)特性，指偏離定常狀態(tài)后能否自動(dòng)返回該定常態(tài)的性質(zhì),系統(tǒng)抗干擾能力的度量。定常態(tài)（steadystate)——穩(wěn)態(tài)（與瞬態(tài)對(duì)應(yīng)），系統(tǒng)不隨時(shí)間變化的某個(gè)狀態(tài)。穩(wěn)定態(tài)（stablestate)——穩(wěn)定的定常態(tài)。 穩(wěn)定——差之毫厘，失之毫厘 不穩(wěn)定——差之毫厘，失之千里

流動(dòng)的穩(wěn)定性——雷諾實(shí)驗(yàn)、圓柱型水流 反應(yīng)器的熱穩(wěn)定性——飛溫與熄火 平行平板間的熱對(duì)流穩(wěn)定性——Benard現(xiàn)象 壓桿、板殼的屈曲穩(wěn)定性穩(wěn)定性分析方法 線性穩(wěn)定性分析：小擾動(dòng)的線性化動(dòng)態(tài)分析，獲得失穩(wěn)判據(jù)。 非線性穩(wěn)定性理論：分叉、混沌，非線性科學(xué)問(wèn)題。

1、線性穩(wěn)定性分析方法 目的——獲取失穩(wěn)判據(jù)； 方法——穩(wěn)態(tài)附近對(duì)小擾動(dòng)線性展開(kāi)，由特征根確定非線性動(dòng)力系統(tǒng) 定常態(tài)f(ys)=0

設(shè)x(t)為小擾動(dòng)，令

y(t)=ys+x(t)

代入原方程，泰勒展開(kāi)，保留線性項(xiàng)通解穩(wěn)定性判別

若A的特征根都是負(fù)的，則零解是漸近穩(wěn)定的；若至少有一個(gè)根的是正的，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若都為零，則不定。

因此，線性穩(wěn)定性分析的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性化方程的矩陣A的特征根的正負(fù)號(hào)判別問(wèn)題。如何根據(jù)A得到穩(wěn)定性判據(jù)？Routh-Hurwitz系數(shù)判別法。

特征根方程

Routh方法： 如果系數(shù)aj不同號(hào)，或某些系數(shù)為零，則方程必然有大于等于零的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

Routh－Hurwitz判定行列式

Routh指出，若采用如下的判定函數(shù)RiR0=△0,R1=△1,R2=△2

/△1,…,Rn

=△n

/△n-1=an則當(dāng)所有的判定函數(shù)為正值時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。Hurwitz則證明了以下定理：實(shí)系數(shù)的n次代數(shù)方程的一切根的實(shí)部都是負(fù)數(shù)的充分必要條件是所有判定行列式均大于0。

2、穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的分類(lèi)

1）tr2－4

>0，

>0：

1

2

>0，穩(wěn)態(tài)點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)2）tr2－4

>0，

<0：

1

2

<0， 穩(wěn)態(tài)點(diǎn)為鞍點(diǎn)

3）tr2－4

<0，tr

0

：

1，

2

為復(fù)數(shù)，穩(wěn)態(tài)點(diǎn)振蕩焦點(diǎn)4）tr

＝0，

>0，

1，

2都是純虛數(shù)

穩(wěn)態(tài)點(diǎn)為中心點(diǎn)

3、化學(xué)反應(yīng)器的熱穩(wěn)定性

取 x=cA－cAs,y=T－Ts

將