數(shù)學(xué)課前導(dǎo)引：兩角和與差的三角函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§1兩角和與差的三角函數(shù)課前導(dǎo)引問題導(dǎo)入【問題1】對于tan（α±β）公式的使用應(yīng)注意什么？思路分析:（1）使用此公式的前提條件是α、β、α±β都不等于kπ+(k∈Z）,否則不能使用，處理此類問題可使用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化。（2）當(dāng)α=β即tan2α應(yīng)保證α、2α都不等于kπ+(k∈Z)時(shí)才能使用.如當(dāng)α=kπ+時(shí)，tan2α=tan2（kπ+）=tan（2kπ+π）=tanπ=0.【問題2】對于asinx+bcosx=sin（x+φ）,應(yīng)如何理解？思路分析:這種變形是引入輔助角的一種重要變換，基本思想是逆用和角的正弦公式化成Asin（x+φ)的形式,關(guān)鍵是如何確定A和φ?，F(xiàn)就a、b作一般討論如下：設(shè)a=Acosφ,b=Asinφ,則有asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ）=Asin(x+φ），由sin2φ+cos2φ=1得(）2+()2=1，∴A2=a2+b2。這樣得到A=±。不妨取A=，于是cosφ=,sinφ=，從而tanφ=.由于a、b已知，所以φ可確定.歸納上述有asinx+bcosx=（sinx+cosx）。令cosφ=，sinφ=，則asinx+bcosx=sin（x+φ）。知識預(yù)覽一、公式C（α±β)，S（α±β），T(α±β）的推導(dǎo)及應(yīng)用1。（1）在C（α—β）公式中,令-β=β，則有：cos（α+β）=cosαcos(-β）+sinαsinα（—β）=cosαcosβ-sinαsinβ（即C(α+β)).(2)運(yùn)用C（α+β）和誘導(dǎo)公式有：sin（α+β)=cos[-（α+β)］=cos［（—α）-β］=cos（-α）cosα+sin(-α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.（3）在S（α+β)中令—β=β，可得：sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ（即S(α—β））。（4）將S（α±β），C(α±β)兩邊分別相除可得：tan(α±β)=（即T(α±β））。2。對于兩角和與差的公式的異同要進(jìn)行對比與分析，便于理解記憶和應(yīng)用（1）明確角、函數(shù)名和排列順序以及公式中每一項(xiàng)的符號;(2）要牢記公式,并能熟練地進(jìn)行左右互相轉(zhuǎn)化；(3)和、差角公式可以看成是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式可以看成是和、差角公式的特例。3。公式的逆向、多向變換使用任何一個公式都要注意它的逆向、多向變換，這是靈活使用公式所必需的，特別是三角函數(shù)公式.如：計(jì)算sin20°cos50°—sin70°cos40°，能逆用兩角差的正弦化為sin（20°—50°)=sin(—30°）=.計(jì)算:=tan30°=。以下幾種變換要熟練掌握tanα±tanβ=tan(α±β）(1tanαtanβ);1tanαtanβ=。二、關(guān)于asinx+bcosx形式的化簡教材上僅以一個例題的方式給出了這種變形，它的實(shí)質(zhì)是逆用了兩角和與差的正余弦公式將數(shù)值看成了特殊角的三角函數(shù)值得來的.在三角函數(shù)的化簡、求周期、最值、單調(diào)區(qū)間等方面起著重要的作用，對于以下式子要熟練掌握：sinx+cosx=sin(x+)=cos（x—）；sinx—cosx=sin(