專題13.15 等腰三角形八大幾何模型與九類題型（模型梳理與題型分類講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題13.15等腰三角形八大幾何模型與九類題型（模型梳理與題型分類講解）第一部分【模型歸納與題型目錄】模型1:角平分線+平行線→等腰三角形模型2:角平分線+垂線→等腰三角形模型3:三角形一個(gè)外角等于其中一個(gè)內(nèi)角2倍等腰三角形模型4:直角三角形中一銳角平分線+斜邊上高線→等腰三角形模型5:等邊三角形中含定角問題模型6:等邊三角形中含“手拉手”模型7:倍半角+角平分線→等腰三角形模型8:倍長中線構(gòu)造等腰三角形題型目錄【題型1】角平分線+平行線→等腰三角形..................................3【題型2】角平分線+垂線（中線）→等腰三角形............................5【題型3】三角形一個(gè)外角等于其中一個(gè)內(nèi)角2倍等腰三角形..............8【題型4】直角三角形中一銳角平分線+斜邊上高線→等腰三角形.............11【題型5】等邊三角形中含定角問題......................................14【題型6】等邊三角形中含“手拉手”....................................16【題型7】倍半角+角平分線→等腰三角形.................................19【題型8】倍長中線構(gòu)造等腰三角形......................................23【題型9】拓展延伸....................................................26第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】角平分線+平行線→等腰三角形【例1】（2024九年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在中，平分，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則．

【答案】4【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，然后求出，根據(jù)等角對等邊可得，然后根據(jù)等角的余角相等求出，根據(jù)等角對等邊可得，從而得到．解：是的平分線，，，，，，，，，，，，．故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及等角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，準(zhǔn)確找出圖中相等的角是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）如圖，在中，平分，．若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)角平分線定義求出根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，由得出，由三角形外角性質(zhì)得出，從而得出．解：∵平分，且，∴∴∵，∴∵，∴,∴，∴故選：C．【變式2】（23-24八年級上·天津?yàn)I海新·期中）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，平分，且交于點(diǎn)，若，則cm．【答案】10【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證和是等腰三角形，從而可得，，然后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．解：平分，平分，，，，，，，，，，，故答案為：10．【題型2】角平分線+垂線→等腰三角形【例2】（23-24八年級上·福建龍巖·階段練習(xí)）如圖，在中，平分，，垂足為，，若，則的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】該題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定；延長長于點(diǎn)，根據(jù)平分，，證明證出再證明，即可求解；解：延長長于點(diǎn)，則，平分，，，，，，，故選：D．【變式1】（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，D為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，垂足為，交于點(diǎn)，，，，則的長為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等，先證，推出，根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得，根據(jù)，可得，通過等量代換即可求解．解：平分，，，，又，，，又，，，，，，，，故選C．【變式2】（23-24八年級上·四川宜賓·期末）如圖，平分且于E，，若，的周長為20，則的長為．【答案】8【分析】本題考查角平分線定義，等腰三角形判定，全等三角形判定及性質(zhì)，解二元一次方程組．根據(jù)題意設(shè)，再證明為等腰三角形，利用題干線段周長數(shù)據(jù)列出二元一次方程組即可得到本題答案．解：設(shè)，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴為等腰三角形，∴，∵，的周長為20，∴，解得：，∴，故答案為：8．【題型3】三角形一個(gè)外角等于其中一個(gè)內(nèi)角2倍等腰三角形【例3】（23-24八年級上·吉林長春·期中）如圖，在中，，．在上取一點(diǎn)C，延長到點(diǎn)，使，連結(jié)；在上取一點(diǎn)D，延長到點(diǎn)，使，連結(jié)；……，按此操作進(jìn)行下去，在以點(diǎn)為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形的底角的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知，，，，……均為等腰三角形，∴由三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)可得，，，，，，，然后作答即可．解：由題意知，，，，……均為等腰三角形，∴由三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)可得，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．【變式1】（23-24八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，在中，，，，則的大小為．

【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，設(shè)，則，根據(jù)等邊對等角得出．然后在中，利用三角形內(nèi)角和定理列出方程，解方程即可求出的大?。猓涸O(shè)，，則，．∵，∴，∵，∴．在中，∵，∴＝180°，解得，∴．故答案為：．【變式2】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則圖中等腰三角形共有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角相等是本題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)定理以及平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：∵，，∴為等腰三角形，，∵∴，∴，為等腰三角形，∵BD平分，∴，∴，，∴為等腰三角形，為等腰三角形，同理可得：為等腰三角形，為等腰三角形，為等腰三角形．綜上所述：共有七個(gè)等腰三角形．故選C．【題型4】直角三角形中一銳角平分線+斜邊上高線→等腰三角形【例4】（21-22八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，，，高與角平分線相交于點(diǎn)．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長度．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，對頂角相等，等邊三角形的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余可得，根據(jù)一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線求出，根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余可得，，結(jié)合對頂角相等得出，即可證明；（2）根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余可得，根據(jù)等角對等邊可得，根據(jù)等邊三角形的三條邊相等可得，根據(jù)根據(jù)直角三角形中所對的邊是斜邊的一半求得，即可求解．解：（1）證明：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形．（2）解：∵，，∴，∴，∴，由（1）知是等邊三角形，∴，在中，，∴，故．【變式1】（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）如圖，在中，，是邊上的高，是的角平分線，與交于點(diǎn)F，求證：是等腰三角形．【分析】本題考查了等腰三角形的判定，直角三角形來那個(gè)銳角互余，三角形外角性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，首先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得，根據(jù)等角對等邊求得，從而求得是等腰三角形．證明：在中，，，是邊上的高，，，是的角平分線，，，即，，是等腰三角形．【變式2】（22-23八年級下·湖南永州·期末）如圖，中，的平分線交于點(diǎn)，平分．給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．正確結(jié)論有（

）個(gè).A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)．根據(jù)同角的余角相等求出，再根據(jù)等角的余角相等可以求出；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出．解：∵，∴，∴，故①正確；∵是的平分線，∴，∵，，∴，∵（對頂角相等），∴，故②正確；假設(shè)，∵，∴，∴，∴只有時(shí)，故③錯(cuò)誤；∵，∴，∴是等腰三角形，∵平分，∴，故④正確．∵平分，∴，∵，∴，即，∴,故⑤正確．綜上所述，正確的結(jié)論是①②④⑤．故選：C．【題型5】等邊三角形中含定角問題【例5】（2024七年級下·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，等邊中，，和相交于，垂足為，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)定理得出，故可得出，再由三角形外角的性質(zhì)得到，，再根據(jù)可知，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：是等邊三角形，，，在與中，，，，∴，，，．【變式1】（23-24八年級下·河南鄭州·期末）已知：如圖，點(diǎn)D，E分別是等邊三角形的兩邊上的點(diǎn)，且.(1)求證：；(2)求的度數(shù).【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到．利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可.解：（1）證明：∵是等邊三角形，∴，．又∵，∴．（2）∵∴．∴．【變式2】（2024·浙江杭州·二模）如圖，是等邊三角形，D，E分別是，邊上的點(diǎn)，且，連接，相交于點(diǎn)F，則下列說法正確的是（

）①；②；A．① B．② C．①② D．都錯(cuò)【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．由“”可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由三角形外角的性質(zhì)可求．解：是等邊三角形，，，在和中，，，，，故①②正確，符合題意；故選：C【題型6】等邊三角形中含“手拉手”【例6】（23-24八年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖所示，A、C、B三點(diǎn)共線，與都是等邊三角形，相交于點(diǎn)P，且分別與交于點(diǎn)M，N．

(1)求證：(2)求的度數(shù)【答案】(1)證明見解析(2)【分析】考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和相等，對頂角相等，即可求解；解：（1）證明：與都是等邊三角形，，,,在和中，（2）解：，，在和中，，又，【變式1】（2024·重慶南岸·模擬預(yù)測）如圖，都是等邊三角形，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)在同一直線上，連接．若，則的長是．【答案】3【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，,解答即可．本題考查了等邊三角形性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：∵是等邊三角形，∴，，，，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，∴．答案為：3．【變式2】（23-24八年級上·福建南平·期末）如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上，且，若的周長最小時(shí)，則的大小是．【答案】30°/30度【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及垂線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定：先通過等邊三角形的性質(zhì)證明，得，因?yàn)?，所以是等邊三角形，則當(dāng)時(shí)，的周長最小，此時(shí)，即可作答．解：∵和都是等邊三角形，且，∴，則，∵，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，則的周長，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，∵等邊三角形的三線合一，∴．故答案為：30°．【題型7】倍半角→等腰三角形【例7】（22-23八年級上·北京·期中）如圖，在中，，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)已知，求證：．下面是兩位同學(xué)分享的思路：小快同學(xué)：從求證目標(biāo)出發(fā)，倍長到，即，又，則只需證．小樂同學(xué)：從已知條件角的關(guān)系出發(fā)，發(fā)現(xiàn)若將關(guān)于直線對稱得到，則可證為等腰三角形．請你選擇一種思路，完成證明(2)已知，，請直接寫出的大?。ㄓ煤阶颖硎荆敬鸢浮?1)見解析(2)【分析】（1）延長到，使，連接．證得等腰，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）延長到E，使，連接CE，證得等腰和等腰，然后利用等三角形的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理即可求解．解：（1）證明：延長到，使，連接．∵，∴為線段的中垂線，∴，∴．在中，．又，∴．在中，，∴．∴∴．即．（2）解：延長到E，使，連接CE，∵，∴為線段的中垂線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，通過作輔助線構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵．【變式】（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，中，，分別為的高，角平分線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①③④【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．在上取一點(diǎn)F，使得，連接，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出，再由三角形外角的性質(zhì)及等量代換即可判斷③；在DB上截取，利用全等三角形的判定和性質(zhì)及等量代換可判斷②③；設(shè)，則，分別表示出各個(gè)角即可判斷④．解：如圖所示，在上取一點(diǎn)F，使得，連接，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故③正確；如圖在DB上截取，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∴，∴∴，∴，∴，∴，故①正確，∵，∴，故②錯(cuò)誤；設(shè)，則，∴，，∵為的角平分線，∴，∴，∴，故④正確；故答案為：①③④．【題型8】倍長中線構(gòu)造等腰三角形模型【例8】（23-24八年級上·湖北武漢·期中）如圖，AD是的中線，是AD上一點(diǎn)，交于，若，，，則的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),延長AD到使得，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到，等量代換得到，再由已知條件即可解決問題；解：如圖，延長AD到使得，連接，

∵AD是的中線，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴又∵∴∴∴，∴，∵，∴∴故選：D．【變式】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，D是的中點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，，的延長線交于點(diǎn)F，若，，則求的度數(shù)為．

【答案】/32度【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．延長到G使，連接，通過，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，等量代換得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，即可得到，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和解答即可．解：如圖，延長到G使，連接，

在與中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，故答案為：第三部分【拓展延伸】【題型9】拓展延伸【例1】（23-24八年級上·北京·期末）如圖，中，分別平分和，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，那么下列結(jié)論：①；②為等腰三角形；③的周長等于的周長；④．其中正確的是

【答案】①②④【分析】本題考查角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．①根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，借助于等量代換可求出；②同理可得②的結(jié)論；③用特殊值法，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，角平分線定義和等腰三角形的判定便可得出，進(jìn)而得，便可得出：的周長不等于的周長；④利用兩次三角形的內(nèi)角和定理，以及角平分線的定義，進(jìn)行等量代換，可求的和之間的關(guān)系式．解：①∵是的角平分線，∴，又，，，故①正確；②同理，，為等腰三角形，故②正確；③假設(shè)為等邊三角形，則，如圖，連接，∵，，的周長，∵F是的平分線的交點(diǎn)，∴第三條平分線必過其點(diǎn)，即平分，∵為等邊三角形，∴，∴，，，，，，即的周長的周長，故③錯(cuò)誤；④在中，（1），在中，，即（2），得，故