專題13.15 等腰三角形八大幾何模型與九類題型（模型梳理與題型分類講解）（人教版）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題13.15等腰三角形八大幾何模型與九類題型（模型梳理與題型分類講解）第一部分【模型歸納與題型目錄】模型1:角平分線+平行線→等腰三角形模型2:角平分線+垂線→等腰三角形模型3:三角形一個外角等于其中一個內(nèi)角2倍等腰三角形模型4:直角三角形中一銳角平分線+斜邊上高線→等腰三角形模型5:等邊三角形中含定角問題模型6:等邊三角形中含“手拉手”模型7:倍半角+角平分線→等腰三角形模型8:倍長中線構(gòu)造等腰三角形題型目錄【題型1】角平分線+平行線→等腰三角形..................................3【題型2】角平分線+垂線（中線）→等腰三角形............................4【題型3】三角形一個外角等于其中一個內(nèi)角2倍等腰三角形..............4【題型4】直角三角形中一銳角平分線+斜邊上高線→等腰三角形..............5【題型5】等邊三角形中含定角問題.......................................6【題型6】等邊三角形中含“手拉手”.....................................7【題型7】倍半角+角平分線→等腰三角形..................................8【題型8】倍長中線構(gòu)造等腰三角形.......................................9【題型9】拓展延伸.....................................................9第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】角平分線+平行線→等腰三角形【例1】（2024九年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在中，平分，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則．

【變式1】（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）如圖，在中，平分，．若，，則等于（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級上·天津?yàn)I海新·期中）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，平分，且交于點(diǎn)，若，則cm．【題型2】角平分線+垂線→等腰三角形【例2】（23-24八年級上·福建龍巖·階段練習(xí)）如圖，在中，平分，，垂足為，，若，則的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【變式1】（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，D為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，垂足為，交于點(diǎn)，，，，則的長為（

）A．1 B． C．2 D．【變式2】（23-24八年級上·四川宜賓·期末）如圖，平分且于E，，若，的周長為20，則的長為．【題型3】三角形一個外角等于其中一個內(nèi)角2倍等腰三角形【例3】（23-24八年級上·吉林長春·期中）如圖，在中，，．在上取一點(diǎn)C，延長到點(diǎn)，使，連結(jié)；在上取一點(diǎn)D，延長到點(diǎn)，使，連結(jié)；……，按此操作進(jìn)行下去，在以點(diǎn)為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形的底角的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【變式1】（23-24八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，在中，，，，則的大小為．

【變式2】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則圖中等腰三角形共有（）A．個 B．個 C．個 D．個【題型4】直角三角形中一銳角平分線+斜邊上高線→等腰三角形【例4】（21-22八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，，，高與角平分線相交于點(diǎn)．（1）求證：是等邊三角形；（2）若，求的長度．【變式1】（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）如圖，在中，，是邊上的高，是的角平分線，與交于點(diǎn)F，求證：是等腰三角形．【變式2】（22-23八年級下·湖南永州·期末）如圖，中，的平分線交于點(diǎn)，平分．給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．正確結(jié)論有（

）個.A．2 B．3 C．4 D．5【題型5】等邊三角形中含定角問題【例5】（2024七年級下·上海·專題練習(xí)）如圖，等邊中，，和相交于，垂足為，求的度數(shù)．【變式1】（23-24八年級下·河南鄭州·期末）已知：如圖，點(diǎn)D，E分別是等邊三角形的兩邊上的點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）求的度數(shù).【變式2】（2024·浙江杭州·二模）如圖，是等邊三角形，D，E分別是，邊上的點(diǎn)，且，連接，相交于點(diǎn)F，則下列說法正確的是（

）①；②；A．① B．② C．①② D．都錯【題型6】等邊三角形中含“手拉手”【例6】（23-24八年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖所示，A、C、B三點(diǎn)共線，與都是等邊三角形，相交于點(diǎn)P，且分別與交于點(diǎn)M，N．

（1）求證：（2）求的度數(shù)【變式1】（2024·重慶南岸·模擬預(yù)測）如圖，都是等邊三角形，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)在同一直線上，連接．若，則的長是．【變式2】（23-24八年級上·福建南平·期末）如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上，且，若的周長最小時，則的大小是．【題型7】倍半角→等腰三角形【例7】（22-23八年級上·北京·期中）如圖，在中，，為上一個動點(diǎn)．（1）已知，求證：．下面是兩位同學(xué)分享的思路：小快同學(xué)：從求證目標(biāo)出發(fā)，倍長到，即，又，則只需證．小樂同學(xué)：從已知條件角的關(guān)系出發(fā)，發(fā)現(xiàn)若將關(guān)于直線對稱得到，則可證為等腰三角形．請你選擇一種思路，完成證明（2）已知，，請直接寫出的大?。ㄓ煤阶颖硎荆咀兪?】（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，中，，分別為的高，角平分線，下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號是．【題型8】倍長中線構(gòu)造等腰三角形模型【例8】（23-24八年級上·湖北武漢·期中）如圖，AD是的中線，是AD上一點(diǎn)，交于，若，，，則的長度為（

）

A． B． C． D．【變式】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，D是的中點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，，的延長線交于點(diǎn)F，若，，則求的度數(shù)為．

第三部分【拓展延伸】【題型9】拓展延伸【例1】（23-24八年級上·北京·期末）如圖，中，分別平分和，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，那么下列結(jié)論：①；②為等腰三角形；③的周長等于的周長；④．其中正確的是

【例2】（23-24八年級上·上海普陀·期末）【圖形新發(fā)現(xiàn)】小普同學(xué)發(fā)現(xiàn)：如果一個三角形的一條角平分線與一條中線互相垂直，那么這個三角形的某兩條邊必有倍半關(guān)系．如圖1，已知在中，BD是的角平分線，是的中線，，垂足為點(diǎn)F．（1）根據(jù)圖1，寫出中小普同學(xué)所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并給出證明；【圖形再探究】現(xiàn)將小普同學(xué)所研究的三角形稱為“線垂”三角形，并將被這條內(nèi)角平分線所平分的內(nèi)角叫做“分角”．下面我們跟著小普同學(xué)再探究：（2）在如圖1中，“線垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度數(shù)；如果不可以，請說明理由；（3）已知線段，是否存