專題13.6 等腰三角形（精練）（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（人教版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題13.6等腰三角形（精選精練）（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（23-24八年級上·福建福州·期中）如圖，在等腰三角形中，，是邊上的一點(diǎn)．下列條件不能說明是的角平分線的是（

）A． B．C． D．2．（2023·浙江臺州·一模）觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡，不能判斷是等腰三角形的是（

）．A．B．C． D．3．（2024·云南·模擬預(yù)測）在中，的平分線相交于I，過點(diǎn)I且，若，則（）A．8 B．6 C．7 D．54．（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．（23-24八年級下·遼寧阜新·階段練習(xí)）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，E是邊上一點(diǎn)，且，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（22-23八年級上·廣西欽州·期末）在中，平分，則的長為（）A．6 B．7 C．8 D．97．（23-24九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，，平分，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若，，則的長為（）A． B．4 C．6 D．8．（23-24八年級下·福建三明·期末）某平板電腦支架如圖所示，其中，，為了使用的舒適性，可調(diào)整的大?。粼龃?，則的變化情況是（

）A．增大 B．減小 C．增大 D．減小9．（23-24八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，中，，是邊上的高，是延長線上一點(diǎn)，平分，若，，，則下列等式一定成立的是（

）

A． B． C． D．10．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在中，，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線，D為的中點(diǎn)，M為直線上任意一點(diǎn)．若面積為40，且長度的最小值為10，則長為（

）A．5 B．6 C．8 D．10二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（22-23七年級下·山東煙臺·期末）如圖，中，平分的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)連接．若，則的度數(shù)為．12．（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在中，，D、E、F分別是，，上的點(diǎn)，且，，，則的度數(shù)是．13．（23-24七年級下·山東煙臺·期末）如圖，，平分，交于．如果，那么點(diǎn)到的距離等于．14．（23-24八年級下·甘肅酒泉·期中）如圖，上午9時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以20海里/時(shí)的速度向正北航行，11時(shí)到達(dá)B處，從A，B處望燈塔C，測得，，那么從B處到燈塔C的距離是海里．

15．（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）如圖，在中，，點(diǎn)、分別在邊、上（均不與點(diǎn)、、重合），且，若，則度，度．

16．（23-24八年級上·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）如圖，在等腰中，，，為的角平分線，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)E，若，則的長為．

17．（23-24八年級上·浙江寧波·開學(xué)考試）如圖，在中，，．延長線段至點(diǎn)，使，過點(diǎn)作射線，點(diǎn)為射線上的動點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作直線的垂線，．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的度數(shù)為．18．（23-24七年級下·福建福州·期末）如圖，，，點(diǎn)為射線上的一個(gè)動點(diǎn)，分別以，為直角邊，為直角頂點(diǎn)，在兩側(cè)作等腰、等腰，連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在射線上移動時(shí)，的長度為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）19．（22-23八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在中，，，，，求證：是等腰三角形．20．（8分）（2023·廣東清遠(yuǎn)·一模）如圖，已知，在邊上取點(diǎn)，在的外部取點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，且，，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．21．（10分）（23-24七年級下·四川成都·階段練習(xí)）在中，，且的頂點(diǎn)E在邊上移動，在移動過程中，邊，分別與，交于點(diǎn)M，N，（1）當(dāng)且M與A重合時(shí)，求證：（2）當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，連接，求證：22．（10分）（23-24七年級下·上?！て谀┤鐖D，，點(diǎn)D在邊上，和相交于點(diǎn)O．（1）試說明的理由；（2）若，試判斷和的大小關(guān)系，并說明理由．23．（10分）（23-24八年級上·河南周口·期末）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，與中，，B、、三點(diǎn)在同一直線上，，，則_________．（2）【問題提出】如圖2，在中，，過點(diǎn)作，且，求的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形中，，面積為且的長為6，求的面積．24．（12分）（23-24七年級下·廣東深圳·期末）綜合與實(shí)踐課上，李老師以“發(fā)現(xiàn)?探究?拓展”的形式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維．以下是李老師的課堂主題展示：（1）如圖，在等腰中，，點(diǎn)D為線段上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），以為邊作等腰，，，連接．解答下列問題：【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖11?1，當(dāng)時(shí)，線段，的數(shù)量關(guān)系為，°；【類比探究】②如圖11?2，當(dāng)時(shí)，試探究線段與的位置關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（2）如圖11?3，四邊形中，，，連接，若，則四邊形的面積為多少？（直接寫出結(jié)果）．參考答案：1．D【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用，掌握以上知識的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)可判定A，B選項(xiàng)；根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可判定C選項(xiàng)，根據(jù)D選項(xiàng)的條件無法破電腦角平分線，由此即可求解．【詳解】解：∵是等腰三角形，，∴，A、若，則，∴，∴，∴是的角平分線，故該選項(xiàng)不符合題意；B、若，且，∴，∴，∴是的角平分線，故該選項(xiàng)不符合題意；C、若，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∴，，∴，∴是的角平分線，故該選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，不能確定點(diǎn)是角平分線，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．D【分析】根據(jù)基本的作圖方法，結(jié)合等腰三角形的判定，逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、根據(jù)一個(gè)角等于已知角的作法可知，是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、根據(jù)垂直平分線的作法可知，是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、根據(jù)過直線外一點(diǎn)作平行線的作法可知，，，根據(jù)角平分線的作法可知，，，是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不能判斷是等腰三角形，符合題意，選項(xiàng)正確，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖，等腰三角形的判定等知識，掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵．3．A【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，利用“等角對等邊”及“等邊對等角”證明，，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理可得：，∴；故選：A．4．D【分析】根據(jù)題意，得，得到，結(jié)合，代換計(jì)算即可，本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得，∴，∵，∴∴∵，∴．故選D．.5．D【分析】此題考查了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形內(nèi)角和得到，再根據(jù)等邊對等角及三角形內(nèi)角和得到，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，D是的中點(diǎn)，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，故選：D6．C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，在上截取，連接，證明，得到，再證明，進(jìn)而代入數(shù)值解答即可．【詳解】解：在上截取，連接，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，又，∴，而，∴，∴，∴，∴．故選：C．7．B【分析】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識，關(guān)鍵是推出．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，，根據(jù)角平分線和對頂角相等得出，即可得出．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴．故選：B．8．D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，設(shè)設(shè)原來，求出此時(shí)，然后類似求出變化后，然后兩角作差即可得出結(jié)論.【詳解】解：設(shè)原來，則∵，∴，∴，增大后，，∴，∴，∴，∴的變化情況是減小，故選：D.9．B【分析】過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，易證（AAS），得到，，，進(jìn)而得到，因此．由于得到，又，得到，因此，所以．由得，變形得到．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F

是高，平分在和中（），，∵在中，，又，，即故選：B【點(diǎn)撥】本題只要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判斷與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】本題考查線段的垂直平分線的作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，垂線段最短等知識．如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得出點(diǎn)與點(diǎn)重合，再根據(jù)垂線段最短，線段的垂直平分線的性質(zhì)判斷出最后利用三角形的面積公式求出即可．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．∵為中點(diǎn)，，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，垂直平分線段，，，，，故選：C．11．/52度【詳解】本題考查了角平分線的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．先利用角平分線的定義得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出，接著根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，則，然后計(jì)算即可．【解答】解：∵平分，∴，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴．故答案為：．12．48【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；此題能夠發(fā)現(xiàn)全等三角形，再根據(jù)平角的定義和三角形的內(nèi)角和定理發(fā)現(xiàn)．再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)．根據(jù)已知條件可推出，從而可知，則，再求解即可．【詳解】解：，，在和中，，，，∵，，，，故答案為：48．13．3【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可得，然后證明，即得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，即得答案．【詳解】過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，平分，，，，，，，，，，，，即點(diǎn)到的距離等于3．故答案為：3．14．40【分析】本題主要考查了等角對等邊，三角形外角的性質(zhì)，先求出海里，再利用三角形外角的性質(zhì)證明，則海里．【詳解】解：由題意得，海里，∵，，∴，∴，∴海里，∴從B處到燈塔C的距離是40海里，故答案為：40．15．9627【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)可得，再利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算的值；證明，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明為等腰三角形，進(jìn)而可得的值，然后由求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴；∵，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：96；27．16．/【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．延長交的延長線于點(diǎn)F，證，得，再證，得，然后由等腰三角形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長交的延長線于點(diǎn)F，

∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．17．/130度【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．如圖，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)．證明，推出與重合時(shí)，的值最大，此時(shí)，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的意義，求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)．直線，直線，，，，，，，與重合時(shí)，的值最大，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，的值最大，此時(shí)，，，，，，又，，，故答案為：．18．【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析或解答.過點(diǎn)作垂足為點(diǎn)，首先證明得到，進(jìn)而證明即可解決問題.【詳解】如圖，過點(diǎn)作垂足為點(diǎn)，，，，均為等腰直角三角形，，在與中，，，，，，在與中，，，，而，，故答案為:.19．見解析【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算的度數(shù)，確定即可得證．本題考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．20．(1)證明見解析；(2)．【分析】（）由可得，即得，進(jìn)而得，再由得，即可由證明；（）由全等三角形的性質(zhì)得，即得，據(jù)此即可求解；本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴，，，，，，即，在和中，，；（2）解：∵，，，．21．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，利用三角形外角的性質(zhì)與等量代換可得，在根據(jù)全等三角形的判定即可證明；（2）連接，在上截取，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，證得，可得，，利用等量代換可得，證得，可得，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，又∵，∴，又∵，∴；（2）證明：連接，在上截取，∵，，E為中點(diǎn)，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．22．(1)詳見解析(2)，理由見解析【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對頂角相等，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，則，利用即可證明；（2）過點(diǎn)E作，垂足為H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求出，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，等量代換求解即可．【詳解】（1）解：，，又，，，，，，即，在與中，，；（2）如圖，過點(diǎn)E作，垂足為H，，，，，，，，，，

，，，23．（1）7；（2）8；（3）6【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．（1）證明，則，，根據(jù)，計(jì)算求解即可；