專題13.9 等邊三角形（精練）（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)專題13.9等邊三角形（精選精練）（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，是等邊三角形，為中線，為上一點(diǎn)，且，則等于（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級(jí)下·遼寧朝陽(yáng)·期末）如圖，是等邊三角形的邊的中點(diǎn)，是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（22-23八年級(jí)上·江西上饒·階段練習(xí)）下列對(duì)的判斷，錯(cuò)誤的是（

）A．若，，則是等邊三角形B．若，則是直角三角形C．若，，則是等腰三角形D．若，，則4．（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期末）如圖，，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)A，D，再以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與弧交于點(diǎn)B，連接、，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，若，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．65．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，兩塊三角板、按如圖所示方式擺放，且，連接，若，，則四邊形的面積為（

）A．9 B．11 C． D．6．（23-24八年級(jí)下·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)，…在射線上，點(diǎn)，…在射線上，，，，…均為等邊三角形，若，則的邊長(zhǎng)是（）A．4046 B．4048 C． D．7．（2024·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則的值是（

）A． B． C． D．8．（23-24八年級(jí)下·江西九江·期末）如圖，在等腰中，頂角，點(diǎn)D為邊上的一點(diǎn)，，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．9．（23-24八年級(jí)下·陜西榆林·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在的右側(cè)作等邊，連接，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，線段的長(zhǎng)度為（

）A．3 B．1 C．2 D．10．（23-24八年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，與均為等邊三角形，，點(diǎn)B，C，D，P在一條直線上，，則的長(zhǎng)為（

）．

A．4 B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2024·吉林松原·三模）如圖，已知線段，分別以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)、，連接，交線段于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓弧，交線段于點(diǎn)，連接、，則度．12．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期末）如圖，在等邊中，平分，點(diǎn)E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接，則．13．（23-24八年級(jí)上·江蘇連云港·期末）已知：如圖，在中，，，于點(diǎn)，且，則是三角形．

14．（23-24八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期末）將含角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知，點(diǎn)B，點(diǎn)C表示的刻度分別為，則的周長(zhǎng)為．15．（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·開學(xué)考試）如圖，等邊三角形中，D、E分別為邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，與交于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，若，則．16．（23-24七年級(jí)下·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙片對(duì)折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點(diǎn)B落在上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A，得到折痕，點(diǎn)B，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為G，H，展平紙片，連結(jié)，，則與的關(guān)系是．17．（23-24八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）一副三角板如圖疊放，，，互相平分于點(diǎn)O，點(diǎn)F在邊上，邊交于點(diǎn)H，邊交于點(diǎn)G．（1）；（2）若，則（用含a的代數(shù)式表示）．

18．（23-24八年級(jí)上·河北保定·期末）（1）如圖1，，都是等邊三角形，線段和之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，，垂足為O，，B為直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右作等邊，則線段的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（23-24七年級(jí)下·遼寧朝陽(yáng)·期末）已知，均為等邊三角形，點(diǎn)是內(nèi)的任意一點(diǎn)，(1)如圖，試說明(2)當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，________（直接寫答案）20．（8分）（22-23八年級(jí)上·重慶豐都·期末）如圖，點(diǎn)E在的外部，點(diǎn)D在上，交于點(diǎn)F，，，．(1)求證：．(2)若，猜想的形狀并證明．21．（10分）（23-24七年級(jí)下·山東威?！て谀┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)D從點(diǎn)A以的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)C以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)t=時(shí)，為等邊三角形；（直接寫結(jié)果）(2)當(dāng)t為何值時(shí)，為直角三角形？22．（10分）（23-24八年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）是等邊三角形，點(diǎn)是邊上動(dòng)點(diǎn)，，把沿對(duì)折，得到．(1)如圖1，若，則____．(2)如圖2，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且，連接，若，，三點(diǎn)共線．①求證：平分；②若，，求的長(zhǎng)．23．（10分）（23-24八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，，與相交于點(diǎn)E，．

(1)求證：AC垂直平分BD；(2)如圖2，過點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若；①求證：是等邊三角形；②如果G、H分別是線段、線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，寫出此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．24．（12分）（23-24八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）在等腰中，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，平分交于點(diǎn)，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，在上取點(diǎn)，使，連接．求證：是等邊三角形；(3)如圖3，當(dāng)，且時(shí)，求證：．參考答案：1．A【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，由等邊三角形的性質(zhì)可求解，，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【詳解】解：為等邊三角形，，是等邊三角形的中線，，，，，，，，故選：．2．B【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，“三線合一”以及三角形外角的定義和性質(zhì)等知識(shí)，掌握“三線合一”是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)“三線合一”可得平分，可得，根據(jù)即可作答．【詳解】∵是等邊三角形的邊的中點(diǎn)，∴平分，，∴，∵，∴，∴，故選：B．3．D【詳解】解：A.，，是等邊三角形，故該選項(xiàng)正確；B.，最大角為：，是直角三角形，故該選項(xiàng)正確；C.，，，是等腰三角形，故該選項(xiàng)正確；D.，，，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用各圖形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵4．B【分析】由題意得，則可得是等邊三角形，則，進(jìn)而可得，則可得．本題主要考查這了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，是等邊三角形，，，，，．故選：B5．D【分析】本題考查直角三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，平行線的判定，以及梯形面積公式，利用直角三角形性質(zhì)得到，利用等腰三角形性質(zhì)得到，證明，進(jìn)而得到四邊形是直角梯形，再利用梯形的面積公式求解，即可解題．【詳解】解：由題知，，，，由題知，，，，，，，四邊形是直角梯形，則四邊形的面積為．故選：D．6．C【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定及其性質(zhì)，總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出，得到，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到，然后找到規(guī)律即可得解．【詳解】∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，同理可得，，……，∴的邊長(zhǎng)為．故選：C．7．D【分析】先根據(jù)角的直角三角形的性質(zhì)得到，證明，再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，∴，由題意得：，平分，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查作圖—基本作圖，直角三角形兩銳角互余，角的直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等底同高的三角形面積相等．掌握基本作圖及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再由三角形內(nèi)角和定理得，可得，再由三角形內(nèi)角和定理求出，，得，即可得是等邊三角形，可求出，從而可得結(jié)論．【詳解】解：∵在等腰中，頂角，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，故選：A9．A【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，含30度的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用以上知識(shí)解題是解題的關(guān)鍵．在的左側(cè)作等邊三角形，連接、、、，再證明可得再利用時(shí)，最短，從而可得答案．【詳解】解：在的左側(cè)作等邊三角形，連接、、、，則∴，∴點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，∴，，均為等邊三角形，，，，，，∴當(dāng)時(shí)，最小，即此時(shí)最小，∵∴，∴的長(zhǎng)度為，故選：A．10．A【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定、性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵．連接，過E作與F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得、，進(jìn)而得到，再證可得；然后說明可得；設(shè)，則，然后用x表示出、，然后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】解：如圖：連接，過E作與F，∵，∴，∵為等邊三角形，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴設(shè)，則∴，∵，∴，即，∴，∴．故選A．

11．15【分析】本題考查了作圖—基本作圖、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，由題意得出是等邊三角形，為等腰直角三角形，從而得出，，最后再由計(jì)算即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接．由作圖可知，垂直平分線段，，∴是等邊三角形，為等腰直角三角形，∴，，∴．故答案為：15．12．/120度【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，再由，可得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵平分，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．13．等邊【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，解答時(shí)先由三線合一得到，再證明可得到，進(jìn)而證明為等邊三角形．【詳解】解：∵中，，，于點(diǎn)，∴，，∵，，∴∴，∵∴∵，∴為等邊三角形．故答案為：等邊14．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，得出是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵直尺的兩邊平行，∴，又，∴是等邊三角形，∵點(diǎn)，表示的刻度分別為，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為，故答案為：．15．/0.5【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證得是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)題意推出，可知，因此，所以，即可推出結(jié)論．【詳解】解：∵等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．16．相等【分析】本題考查了翻折變換，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握翻折變換的性質(zhì)、證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．由翻折知，垂直平分，則；又由翻折知，，；從而得是等邊三角形，則得；再證明得，即可得兩角的關(guān)系．【詳解】解：由第一次翻折知，垂直平分，；又由第二次翻折知，，；，是等邊三角形，，，；點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，；，，，．故答案為：相等．17．【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，掌握30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊是斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．（1）連接，推出，，進(jìn)而得到，得到，利用互余關(guān)系，求出即可；（2）利用含30度的直角三角形的性質(zhì)得到，證明為等腰三角形，進(jìn)而得到，求出的長(zhǎng)，證明為等腰三角形，得到即可．【詳解】解：（1）連接，

∵，∴，∴，∵互相平分于點(diǎn)O，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2）∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴；故答案為：．18．3【分析】（1）根據(jù)證明即可得出線段和之間的數(shù)量關(guān)系；（2）以為一邊在的左邊作等邊，作于點(diǎn)D，連接，根據(jù)證明即可得出，求出的最小值即可．【詳解】解：（1）∵，都是等邊三角形，∴，∴，∴，∴．故答案為：；（2）以為一邊在的左邊作等邊，作于點(diǎn)D，連接，∵，都是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，線段取得最小值．∵，∴，∴，∴線段的最小值為3．故答案為：3．【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．19．(1)見解析(2)或或【分析】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)．（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，，從而得到，證得，即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，有三種情況，，，，分別討論三種情況下的度數(shù)即可．【詳解】（1）證明：，均為等邊三角形，，，，又，，，；（2）解：當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，若，則，，；若，則，，，，；若，則，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，垂直平分線段，，即或或，故答案為：或或．20．(1)見解析(2)等邊三角形，見解析【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）根據(jù)，得出，，求出，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴；（2）解：是等邊三角形，理由如下：∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴是等邊三角形．21．(1)1(2)或【分析】本題考查了含度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握度角的直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列出方程求出t的值；（2）分兩種情況討論:①當(dāng)為直角時(shí),②當(dāng)為直角時(shí)，分別利用度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半列方程求出的值.【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得,，∵，∴,∵,為等邊三角形,∴,即,解得：,∴當(dāng)為時(shí),為等邊三角形；（2）①當(dāng)為直角時(shí),,，即解得；②當(dāng)為直角時(shí),,∴即解得.∴當(dāng)為或時(shí),為直角三角形.22．(1)30(2)①見解析；②【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由是等邊三角形知，，由，知，，代入值即可；（2）①通過折疊性質(zhì)證明即可得到結(jié)論；②在上取一點(diǎn)，使，連接，根據(jù)證，得，再證是等邊三角形，即可得出，由，得出，即可求出的值．【詳解】（1）解：是等邊三角形，，，，，，，故答案為：30；（2）①證明：把沿對(duì)折，得到，，，，又，，，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，平分；②如圖，在上取一點(diǎn)，使，連接，，是等邊三角形，，，，，，，是等邊三角形，，，即，點(diǎn)在同一直線上，即，由①知，，，，，，．23．(1)見解析(2)①見解析；②，見解析【分析】（1）根據(jù)，可得，再由證明，則，利用中垂線的判