2024-2025學(xué)年山東省高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

2024-2025學(xué)年山東省高三(上)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(10月份)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合M={-3,-1,1,3,5},N={x\x2+x-6>0},則MnN=()

A.{-3}B.{3,5}C.{-3,3}D.{-3,3,5}

2.已知函數(shù)/'(%)=ex-則()

A./(l)=-|B./(2)=e2—eC.f(l)=-fD.f(2)=e2-e

3.已知函數(shù)/O)=(x-2)%neN*,則，=1”是“f(x)是增函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)f(%)=-tan(cox-9)(3>0,0<cp<TT)的部分圖象如圖所示，則

3隼=()

.57r

A-T

B片

Jc-3

5.若對(duì)任意的％,yER,函數(shù)f(%)滿足電刃=/(%)+/(y),則/(4)=()

A.6B.4C.2D.0

6.某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備投入生產(chǎn)，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)s(單位：百萬(wàn)元)與新設(shè)備運(yùn)行的

時(shí)間t(單位：年，tEN*)滿足s=-2j=潸當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤(rùn)最大

時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間t=()

A.6B.7C.8D.9

7.如圖，在△ABC中，NB4C=120。，AB=2,AC=1,。是8C邊上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，E是8C邊上的

動(dòng)點(diǎn)，則荏?方的取值范圍為()

…,爭(zhēng)

5-消］

8.已知函數(shù)/(%)=%3+3%+1,若關(guān)于％的方程/(sin%)+f(m+cosx)=2有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍為

()

A.[-1,山B.[-1,1]C.[0,1]D.[-月山

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列結(jié)論正確的是()

A.“三式>0,仇為—%<0”的否定為“V%>0,Inx—%>0v

B.在△ABC中，若貝UsinA>sin(/+8)

C.若tan(6+7)=-3,貝！Jtxm。=2

D.若a=則a2+4b2>4

b

10.由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì).直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的定義出發(fā)，用

有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)

理”的時(shí)代.所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集E與F,且滿足EUF=Q,ECF=

0,E中的每個(gè)元素都小于F中的每個(gè)元素，稱(E,F)為戴德金分割,下列結(jié)論正確的是()

A.E={xeQ|x<l},F={x&Q\x>1}是一個(gè)戴德金分割

B.存在一個(gè)戴德金分割(MF),使得E有一個(gè)最大元素，F(xiàn)沒(méi)有最小元素

C.存在一個(gè)戴德金分割(E,F),使得E有一個(gè)最大元素，F(xiàn)有一個(gè)最小元素

D.存在一個(gè)戴德金分割(E,F),使得E沒(méi)有最大元素，F(xiàn)也沒(méi)有最小元素

11.已知a=2“%甌6=In與，c=則()

A.c>aB.a>bC.c>bD.b>a

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知非零向量2石滿足|砧=73|b|,(ia-K)-a=0,貝皈與另的夾角為.

13.若a6(0,"且cos2a=cos(a—9),則戊=____.

Z4

.已知正實(shí)數(shù)匕滿足則一2的最大值為_(kāi)___.

14a,2a+3b=2,—a4+2日b+…4

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知向量五=(苧siMx,cosx),b=(y/~2,y/~3sinx),函數(shù)/(x)=a-K+1.

(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若/(久)在區(qū)間［-巳山］上的最大值為3,求小的最小值.

16.(本小題15分)

記AABC的內(nèi)角a,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知譏8+cosB=七3.

c

(I)求c；

(2)若CD是△ABC的中線，且CD=C，AABC的面積為2，W,求A4BC的周長(zhǎng).

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/(%)=e2x—(2a+3)ez+3ax.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求曲線y=/(%)在(0,/(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)y=/(x)的極大值.

18.(本小題17分)

在△4BC中，設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.

(1)若6=a+2,c=a+4,是否存在正整數(shù)a,使得，WeN*,且△ABC為鈍角三角形？若存在，求出

a；若不存在，說(shuō)明理由.

(2)若a=b=c=4,。為BC的中點(diǎn)，E,F分別在線段AB,2C上，且NEDF=90。，zCDF=0(0°<9<

90°),求△DEF面積S的最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的8的值.

19.(本小題17分)

當(dāng)一個(gè)函數(shù)值域內(nèi)任意一個(gè)函數(shù)值y都有且只有一個(gè)自變量x與之對(duì)應(yīng)時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值y作為

一個(gè)新的函數(shù)的自變量，而這個(gè)函數(shù)的自變量x作為新的函數(shù)的函數(shù)值，我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).例

如，由y=3x,xeR,得x=(yeR,通常用x表示自變量，則寫成y=|,xeR,我們稱y=3x,xER

與丫=QeR互為反函數(shù).已知函數(shù)/(x)與g(x)互為反函數(shù)，若4,B兩點(diǎn)在曲線y=/(%)上，C,。兩點(diǎn)在

曲線y=g(x)上，以4B,C,。四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為矩形，且該矩形的其中一條邊與直線y=x垂

直，則我們稱這個(gè)矩形為f(x)與g(x)的“關(guān)聯(lián)矩形”.

(1)若函數(shù)f(x)=y/~x,且點(diǎn)2(：,乃)在曲線y=/(x)±.

(i)求曲線y=/(%)在點(diǎn)力處的切線方程；

(ii)求以點(diǎn)4為一個(gè)頂點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積.

(2)若函數(shù)"且/(%)與g(?的“關(guān)聯(lián)矩形”是正方形，記該“關(guān)聯(lián)矩形”的面積為S.證明：S>

2(，7—今2.(參考數(shù)據(jù)：-1-Zn2<0)

參考答案

l.D

2.5

3.2

4.C

5.D

6.B

7.C

8.D

9.ACD

10.BD

U.ACD

121

13比

14—

26

15.解：(1)因?yàn)镹=(字sin2;c,cosx),6=(yf2,y/~3sinx'),

2

所以方?b=sinx+y/^sinxcosx=i-；s2久十代_$皿2%-+1,

又f(x)=a-K+|,則/(x)=sin(2x一仁)+2,

令a+2kn<2x—+2kn,k&Z,

可得？+kn<x<等+ku,keZ,

3o

所以/(?的單調(diào)遞減區(qū)間為g+fc7T,y+kTi],kez-,

(2)由一、W久Wm,可得W2xW2m-%

因?yàn)椤ň?在區(qū)間上的最大值為3,

所以sin(2%—7)+2<3,即sin(2%

OO

由y=s譏％的值域可知，2根一入25，解得m23，

"oZ3

故租的最小值為去

16.解：(1)由+cosB=及正弦定理，

可得V5siTiBsiTiC+cosBsinC=sin(B+C)+sinB,

即譏C+cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC+sinB,

即譏C=sinBcosC+sinB,

因?yàn)閟inBW0,所以，=cosC+1,

BP2V_3sin|cos|-=2cos2p

cc

o

-7rcos->

22-2

所以tan]=j，又(e(0弓)，

則與w，即

(2)因?yàn)椤髁C的面積為2宿，

所以2abs譏C=gabx苧=2-/3，解得ab=8,

因?yàn)镃D是A4BC的中線，豆CD=6

所以2萬(wàn)=方+無(wú)，

兩邊平方得4|CD\2=\CA\2+\CB\2+2CA-CB,

即28=b2+a2+Zabcos^,

化簡(jiǎn)得28=(a+b)2-ab,解得a+b=6,

由余弦定理得c?=a2+b2—2abeos^=(a+b)2—3ab=36-24=12,

解得c=2V3,

所以△ABC的周長(zhǎng)為6+2，百.

17.解：(1)當(dāng)a=3時(shí)，/(%)=e2x-9ex+9x,f(0)=-8,

又,：f'(x)=2e2x-9靖+9,；.f(0)=2,

二曲線y=/(久)在(。，/(。))處的切線方程為y+8=2x,即2x-y—8=0.

(2)f(x)=e2x—(2a+3)ex+3ax,

???/'(%)=2c2%—(2a+3)ex+3a=(ex—a)(2ex—3).

當(dāng)時(shí)，f(%)=2e2x-(2a+3)ex+3a=2(ex-a)(ex-1),其符號(hào)與靖一的符號(hào)一致，

???y=/(%)在(一8/n|)上單調(diào)遞減，在(ln|,+8)上單調(diào)遞增，無(wú)極大值.

當(dāng)OVa<|時(shí)，y=/(%)在(一8,仇q)上單調(diào)遞增，在("a,In|)上單調(diào)遞減，在(ln|,+8)上單調(diào)遞增,

y=/(%)的極大值為/(仇a)=e2lna—(2a+3)eina+3alna=—a2—3a+3alna；

當(dāng)Q=|時(shí)，/'(%)>0恒成立，無(wú)極大值.

當(dāng)時(shí)，y=/(%)在(-8』口|)上單調(diào)遞增，在(ln|,)口)上單調(diào)遞減，在("a,+8)上單調(diào)遞增，

y=f。)的極大值為f(層)=3aZn|-3a

ZZ4

綜上，當(dāng)a<0時(shí)，y=/(%)無(wú)極大值；

當(dāng)0<a<|時(shí)，y=/(%)的極大值為一M—3a+3alna；

當(dāng)a=|時(shí)，y=/(%)無(wú)大極值；

當(dāng)時(shí)，y=/(%)的極大值為3a"3a-?.

ZZ4

18.解：(1)假設(shè)存在正整數(shù)a滿足題設(shè)，

由力=。+2,c=a+4,可得Q<力<c,所以C為鈍角，

由_1<COSC=呼W=a?+(韋)2$4)2<°,

2ab2a(a+2)

得a2-4a-12<0,解得一2<a<6,

因?yàn)閍eN*,，石eN*,所以a=1或a=4,

當(dāng)a=l時(shí)，△4BC不存在，

故存在a=4滿足題設(shè)；

(2)如圖，因?yàn)镹EDF=90。，^CDF=0(0°<e<90°),

所以N8DE=90°-0,

cDB

DF2

在△如中，因?yàn)檠?所以。F=73

sin(0+6O°)sin(6+60。)'

DE_2

在△8DE中，因?yàn)樗浴=/3

sin600sin(150°—0)sin(150。-6)'

所以S/xDFxDE.x礪ee詢

_1x__________________3__________________

2(^sinO+^Y'COsO')(^cosO+^cosO')

=IXy=-------=E：.>12—6V-3,

2-^-+sinOcosOV3+2sm20

4

當(dāng)且僅當(dāng)s譏26=1,即。=45。時(shí)，S取得最小值12-60.

19.解：(1)(目)??,點(diǎn)/(力力在曲線/(%)=G上，?,?月=

11

??"'(久)=酒財(cái)七)=1，

則曲線y=/(%)在點(diǎn)/處的切線方程為y-9=1x(%-，即y=%+

Z44

(團(tuán))?.,函數(shù)/(%)與g(%)互為反函數(shù)，g(%)=x2(x>0).

I-----------------廠1_1

根據(jù)對(duì)稱性可設(shè)4D關(guān)于直線丫=久對(duì)稱，可得￡>(另)，則|皿=6一，+(?獷=牛也°=登

乙、2~4

若則直線的方程為y=%+與曲線y=/(%)相切，不符合題意.

4

若2C14D,則直線"的方程為y=久+匕

4

(_2

聯(lián)立方程組'一”’1,消去y整理得/一x-J=0,解得x=竽或x=手(舍去)，

y=X+~,422

V4

將久=士皆代入y=%2,可得y=過(guò)箸，

則。(竽，修),IM=