2024-2025學年高考數學一輪復習講義：導數的概念及運算（含新定義解答題）（學生版+解析）

第01講導數的概念及運算（分層精練）

A夯實基礎B能力提升C新定義題

A夯實基礎

一、單選題

1.（23-24高二下?江蘇?階段練習）若某質點的運動方程是5（。=，-⑶-1）2（單位：m）,則

在，=1S時的瞬時速度為（）

A.-3m/sB.-llm/s

C.-5m/sD.-10m/s

2.（23-24高二下?重慶黔江,階段練習）設函數/（x）在x=%處存在導數為2,則

iimf（xo+Ax）-f（xo）=（）

—。3Ax

A.1B.2C.—D.3

3.（23-24高二下?重慶?階段練習）下列函數求導正確的是（）

A.（cosx）'=sinxB.（ln2）=；C.優(yōu)）=x3D.（2"）=21n2

4.（23-24高二上?山西?期末）若函數〃x）=lnx—2x+l,則（［卜（）

c135

A.0B.-C.-D.一

222

5.（2024高二下?全國?專題練習）函數Ax）的導函數廣（x），滿足關系式

/（x）=x2+2^（2）-lnx,則（2）的值為（）

7711

A.----B.-C.----D.—

2222

6.（23-24高二下?湖南岳陽?開學考試）設函數/（%）=?"的圖象與x軸相交于點F,則該曲

線在點P處的切線方程為（）

A.kexB.丁=%

C.j=ex+lD.y=x+\

7.（21-22高二下?北京房山?期中）函數y=/（x）的圖象如圖所示，則/⑴與/'⑶的大小

關系是（）

。Q。.a

o

三、填空題

11.（23-24高三下?天津?開學考試）函數無）=1冕2犬+2”-放的圖象在x=l處切線的斜率

為.

12.（23-24高三下?廣西南寧?開學考試）已知〃x）=tanx,則曲線y=在點（0,0）處的

切線方程為一

四、解答題

13.（23-24高二下?江蘇?階段練習）已知曲線〃力=丁+1,設P點坐標為P（L2）,

（1）求曲線在點P處的切線方程;

⑵求曲線過點P的切線方程.

⑶若曲線在點R處的切線與曲線y=-1+1相切，求R點的坐標

14.（23-24高二上?湖南岳陽?期末）已知點尸和點Q是曲線y=/-2x-3上的兩點，且點尸的

橫坐標是2,點。的縱坐標是T,求:

（1）割線PQ的斜率；

⑵在點尸處的切線方程.

15.(23-24高二上?安徽蕪湖?期末)已知函數/(%)=尤？+x與函數g(無)=ln尤+2x.

(1)求曲線V=/(尤)在點(0,0)處的切線方程；

(2)求曲線y=〃尤)與曲線y=g(元)在公共點處的公切線方程.

B能力提升

1.(2024?河北?一模)函數y=〃x)的導數y=/'(x)仍是X的函數，通常把導函數y=/'(x)

的導數叫做函數的二階導數，記作y=/"(x),類似地，二階導數的導數叫做三階導數，三

階導數的導數叫做四階導數.......一般地，n-l階導數的導數叫做〃階導數，函數y=的

〃階導數記為y=/M(x),例如y=e￡的〃階導數(e?")=e1若/(x)=xe*+cos2x,貝U

嚴(0)=()

A.50-250B.50C.49D.49+249

2.(23-24高三下?安徽?階段練習)已知函數"x)=lnx—-在點(L-1)處的切線與曲線

>=依2+伍-1卜-2只有一個公共點，則實數a的取值范圍為()

A.{1,9}B.{0,1,9}C.{-1,-9}D.{0-1-9)

3.(23-24高三上?山東聊城?期末)最優(yōu)化原理是指要求目前存在的多種可能的方案中，選

出最合理的，達到事先規(guī)定的最優(yōu)目標的方案，這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實際

生活中的最優(yōu)化問題，我們常常需要在數學模型中求最大值或者最小值.下面是一個有關曲

線與直線上點的距離的最值問題，請你利用所學知識來解答：若點/是曲線>元2-21nx

上任意一點，則“到直線元-2=0的距離的最小值為()

A50R5夜「30口3近

2442

4.(2024?廣東?一模)設點P在曲線y=e，上，點Q在直線y=L上，則|尸0的最小值為()

e

e3

uV77TD.

5.(23-24高三上?河北?階段練習)已知a>0,b>0,若直線彳-'-“=0與曲線

41

y=l+ln(x+b-1)相切，則—+：的最小值為()

ab

A.7B.8C.9D.10

c新定義題

L(2024?浙江?二模)①在微積分中，求極限有一種重要的數學工具一一洛必達法則，法則

中有結論：若函數〃力，g(尤)的導函數分別為尸(力，g'(x),且理了(戲=理g(x)=0,則

limZW=lim/W.

g(無)…g(x)

②設。＞0,左是大于1的正整數，若函數“力滿足：對任意xe［0，。］,均有1成

立，且吧K(x)=。，則稱函數/(x)為區(qū)間［0,可上的左階無窮遞降函數.

結合以上兩個信息，回答下列問題：

(1)試判斷〃%)=丁-3x是否為區(qū)間［0,3］上的2階無窮遞降函數；

(2)計算：lim(l+x)x;

x-＞0

⑶證明：Q^］＜cosx,xe(7i,|■兀］

第01講導數的概念及運算（分層精練）

A夯實基礎B能力提升C新定義題

A夯實基礎

一、單選題

L（23-24高二下?江蘇?階段練習）若某質點的運動方程是S⑺="（3”1）2（單位：m）,則

在y1S時的瞬時速度為（）

A.—3m/sB.—llm/s

C.-5m/sD.-10m/s

【答案】B

【分析】

利用物理上"質點在yIs時的瞬時速度即質點的位移S⑺="（3-1）2的導函數在r=ls時的

函數值"即可求得.

【詳解】由s⑺="例-1）2求導得S'⑺=l-2x3（3"l）=-18f+7,則在t=ls時的瞬時速度

為S'（l）=—18x1+7=—llm/s.

故選：B.

2.（23-24高二下?重慶黔江?階段練習）設函數在x=x°處存在導數為2,則

/U+M-/U）.（）

11111—\/

…。3Ax

A.1B.2C.1D.3

3

【答案】C

【分析】

利用導數的定義即可得解.

【詳解】由依題意，知尸（龍。）=2,

“七+'）-〃玉）=1/（X）=2

則lim"/+'）一〃兀）=-lim

3Ax3Ax->0Ax

故選：c.

3.（23-24高二下?重慶?階段練習）下列函數求導正確的是（）

A.（cosx）'=sinxB.（ln2）=；C.（x，）=x3D.（2，）=2XIn2

【答案】D

【分析】

根據基本初等函數的導數公式判斷即可.

【詳解】對于A：（cos^x）'=-sinx,故A錯誤；

對于B：（in2）=0,故B錯誤;

對于C：（力'=4-，故C錯誤;

對于D：（2*j=21n2,故D正確.

故選：D

4.（23-24高二上?山西?期末）若函數〃x）=lnx—2x+l,則（[[]=（）

13

A.0B.-C.一D.3

222

【答案】A

【分析】

求導，再令x=g即可得解.

【詳解】廣⑺,-2,

X

所以「出=2_2=0.

故選：A.

5.（2024高二下?全國?專題練習）函數I。）的導函數（（%）,滿足關系式

f（x）=x2+2xf'（2）-]nx,則廣（2）的值為（）

.771

A.----B.-C.----

222

【答案】A

【分析】

求導后，代入x=2,求出答案.

【詳解】

由"力=V+20?'⑵—Inx進行求導得：/'（%）=2x+2r（2）-

X

17

當x=2時,可得：/(2)=4+2/(2)-5,解得:尸⑵=一：

故選：A.

6.(23-24高二下,湖南岳陽?開學考試)設函數"x)=xe'的圖象與x軸相交于點則該曲

線在點P處的切線方程為()

A.B.y=x

C.y=e尤+1D.y=x+\

【答案】B

【分析】

求出點P的坐標，再利用導數的幾何意義求出切線方程.

【詳解】函數/(x)=xe)由/(丈)=0,得x=0,則點P(0,0),

由/(尤)=xe)求導得r(x)=(x+l)e)則/'(0)=1,于是V=x,

所以該曲線在點P處的切線方程為'=匕

故選：B

7.(21-22高二下?北京房山?期中)函數y=/(尤)的圖象如圖所示，則尸⑴與尸⑶的大小

B.r⑴=/0

C./，(1)>/，(3)

D.八1)+八3)>0

【答案】A

【分析】

由導數的幾何意義和函數的圖象可得答案.

【詳解】

/⑴與/'(3)分別表示以玲在X=1和X=3處切線的斜率，

由圖象得廣⑴<0，/⑶<o且了⑺在X=1處切線的斜率比X=3處切線斜率小，

所以尸(1)</(3)；

故選：A

8.(23-24高二上?安徽滁州?期末)已知函數/(x)=(x—2022)(x-2023)(*-2024)。-2025),

則/(x)的圖象在x=2024處的切線方程為()

A.2%+y-4048=0B.無+?-2。24=。

C.2元—y—4048=0D.x—y—2024=0

【答案】A

【分析】

求出導函數/■'(?后計算出切線斜率，然后寫出切線方程.

【詳解】

由題意知f\x)=(%-2022)(%-2023)(%-2025)+(%-2024)[(尤-2022)(》-2023)(x-2025)J,

所以尸(2024)=2x1x(T)=-2,又f(2024)=0,

所以f(玲的圖象在x=2024處的切線方程為y—0=-2(x-2024),即2x+y—4048=0.

故選：A.

二、多選題

9.(23-24高二下?湖北?階段練習)下列命題正確的有()

A.已知函數〃尤)在R上可導，若尸⑴=2,則lim"1+2.)-/⑴=2

-AJC

BfcosxA_xsinx+cosx

VxJx2

c.已知函數〃x)=ln(2x+l),若尸(不)=1,則

Q

D.設函數/(尤)的導函數為尸(X),且y(x)=d+3礦(2)+lnx,貝了⑵=_：

【答案】CD

【分析】

根據導數的定義可判斷A的正誤，根據導數的四則運算可判斷BD的正誤，根據復合函數的

導數的運算規(guī)則可判斷C的正誤.

【詳解】對于A,lim"1+2"卜/⑴=2lim”力3-/⑴=2尸⑴=4,故A錯誤.

—Ax-2Ax

小-rc（cosx、—xsiwc—1xcosx一?xsinx—cos]「上什、口

對于B,----=-------；------=-----------,故B錯誤.

（XJXX

1Q2]

對于c,/（%）=---（2x+iy=-^-,若廣（與）=1,貝即無。=故c正確.

2x+12x+1，演）十12

11Q

對于D,r（x）=2尤+3廣⑵+:故廣⑵=4+3廣（2）+],故/（2）=-“故D正確.

故選：CD.

10.（2024高二下?全國?專題練習）各地房產部門為盡快穩(wěn)定房價，提出多種房產供應方案，

其中之一就是在規(guī)定的時間T內完成房產供應量任務Q。.已知房產供應量。與時間f的函

數關系如圖所示，則在以下四種房產供應方案中，在時間[。,周內供應效率（單位時間的供

【分析】根據變化率的知識，結合曲線在某點處的導數的幾何意義可得結果.

【詳解】當單位時間的供應量逐步提高時，供應量的增長速度越來越快，圖象上切線的斜率

隨著自變量的增加會越來越大，

故曲線是上升的，且越來越陡峭，

所以函數的圖象應一直是下凹的，則選項B滿足條件，

所以在時間[0,7]內供應效率（單位時間的供應量）不逐步提高的有ACD選項.

故選：ACD.

三、填空題

11.（23-24高三下?天津?開學考試）函數〃尤）=1嗎犬+2，京的圖象在x=l處切線的斜率

為.

【答案】21H211nA

【分析】

首先求函數的導數，再根據導數的幾何意義，即可求解.

【詳解】由題意可知，r（無）=1+2,2-工，r（l）=21n2,

根據導數的幾何意義可知，函數的圖象在x=l處切線的斜率為21n2.

故答案為：21n2

12.（23-24高三下?廣西南寧?開學考試）已知C（x）=tanx,則曲線y=〃x）在點（0,0）處的

切線方程為.

【答案】x-y=0

【分析】根據導數的運算性質，結合導數的幾何意義進行求解即可.

.2?2

▼、士相刀、\，sinx，，/、cosx+sinx1，，小1

【詳斛】f（x）=tanx=----nf（x）=-------------=——=/（°）=1?

cosxcosxcosx

所以曲線y=〃x）在點（0,0）處的切線方程為y-0=「（x-0）nx-y=0,

故答案為：x-y=0

四、解答題

13.（23-24高二下?江蘇?階段練習）已知曲線〃同=*3+1,設尸點坐標為P（l,2）,

（1）求曲線在點P處的切線方程；

（2）求曲線過點尸的切線方程.

⑶若曲線在點R處的切線與曲線y=-V+i相切，求R點的坐標

【答案】⑴y=3x-l

(2)—或y=；3x+；5

8217)

⑶R(0,l)或R

9，；729/

【分析】

（1）求出函數的導函數，即可求出切線的斜率，再由點斜式計算可得；

（2）設切點為（為,另+1）,利用導數的幾何意義求出切線方程，再將點尸（L2）代入切線方

程中，求出與,即可求出切線方程;

（3）設R（4%）,表示出曲線在點R處的切線，聯(lián)立直線與＞根據A=0求出

即可求出R點的坐標.

【詳解】（1）由〃x）=V+l,可得廣（x）=3d,

所以尸（1）=3,

則曲線在點P（L2）處的切線方程為y-2=3（x-1）,即y=3x-l；

（2）設切點為（毛,片+1）,則7?'（%）=3片，

所以切線方程為y-（W+l）=3x：（x-Xo）,即y=3x；x-2元;+1,

又切線過點尸（1,2）,所以2=3焉一2第+1,即2*一3年+1=0,

即2Xg~2Xg+1—Xg=0,即2%QXQ-+XQ^I+XQ^^O,

即（與-1）（2君-1-%）=0,即（々-1,（2々+1）=0,解得％=1或X。=-；,

35

則切線方程為＞=3尤-1或y=+

44

所以過點P（l,2）的切線方程為y=3尤-1或y=+：

,

（3）設則％=x；+l,/（x1）=3xf,

所以曲線在點R處的切線為y=3x；x-2x；+1,

又曲線在點R處的切線與曲線＞=-/+1相切，

由卜=3--2無；+1,可得/+3小-2吊=0,

[y=-_r+1

Q

則A=9x：+8x；=0,解得玉=0或不=一“

?…（8丫,217

則n％=1或乂=「3）+「南，

所以R（0,l）或《-|黑|

14.（23-24高二上?湖南岳陽?期末）已知點尸和點。是曲線尸尤2-2彳-3上的兩點，且點P的

橫坐標是2,點。的縱坐標是T,求：

（1）割線PQ的斜率；

⑵在點P處的切線方程.

【答案】⑴1

(2)2.x-y-7=0

【分析】(1)求出點P、。的坐標，利用斜率公式可求得割線尸。的斜率；

(2)求出切線的斜率，再利用點斜式可得出所求切線的方程.

【詳解】(Q解:當x=2時，y=22-2x2-3=-3,即點尸(2,—3),

令y=/-2x-3=-4,可得了2-2*+1=0，解得x=l,即點。(L-4),

因此，割線尸。的斜率為原2=:1=1.

(2)解：對函數-2尤-3求導得=2尤-2,

所以，曲線廠--2%-3在點尸處切線的斜率為左=2、2-2=2,

所以，曲線y=--2x-3在點P處的切線方程為y+3=2(x-2),即〃-、-7=0.

15.(23-24高二上?安徽蕪湖?期末)已知函數/(%)=/+%與函數g(無)=ln尤+2%.

⑴求曲線V=/(x)在點(0,0)處的切線方程；

(2)求曲線y=/(尤)與曲線y=g(尤)在公共點處的公切線方程.

【答案】(i)y=x

(2)3x-y-l=O

【分析】(1)求導，然后根據導數的幾何意義結合條件即得；

(2)設曲線y=/(x)與曲線y=g(x)的公切點為然后根據導數的幾何意義可得

切點，進而即得.

【詳解】(1)/(x)=x2+x,f'(x)^2x+l,/(0)=l.

;./(x)在(0,0)點處的切線方程為：y=x；

(2)設曲線y=/(x)與曲線y=g(x)的公切點為P(%,%),

f(x)=x2+x,g(x)=\nx+2x,f'(x)=2尤+1,g'(x)=—+2,

x

令r(為)=8'(%)，BP2x0+l=—+2,

："0=1或尤0=_((舍),

p(i,2),r(i)=3,

團所求公切線方程：y-2=3(x-l),即3x-y-1=0.

B能力提升

1.(2024?河北?一模)函數y=F(x)的導數y=T(x)仍是X的函數，通常把導函數y=/'(x)

的導數叫做函數的二階導數，記作y=/"(1),類似地，二階導數的導數叫做三階導數，三

階導數的導數叫做四階導數.......一般地，n-1階導數的導數叫做〃階導數，函數y=F(x)的

〃階導數記為y=*(x),例如尸e，的〃階導數(e')(")=e［若/(x)=xe，+cos2x,則

嚴(0)=()

A.50-250B.50C.49D.49+249

【答案】A

【分析】

根據條件，列舉y=f㈤(力的前幾項，根據規(guī)律，寫出r°)(x),代入x=o,即可求解.

【詳解】由r(x)=(x+l)e*-2sin2x,/2(x)=(x+2)er-22cos2x,

f3(x)=(x+3)er+23sin2x,/4(x)=(x+4)e1+24cos2x,

依此類推，/('"(x)=(x+50)eI-250cos2x,

所以/網(o)=(0+50)e。一250cosO=5O-250.

故選：A

2.(23-24高三下?安徽?階段練習)已知函數〃元)=1皿--在點(1,-1)處的切線與曲線

y=加+5-1)%-2只有一個公共點，則實數。的取值范圍為()

A.{1,9}B.{0,1,9}C.{-1,-9}D.{0-1-9)

【答案】B

【分析】求出切線方程，再對。分。=0和。W0討論即可.

【詳解】由-。)=工+二得/⑴=2,

XX

所以切線方程是y=2(x-l)-l=2x-3,

①若。=0,則曲線為曠=-入-2,顯然切線與該曲線只有一個公共點，

②若awO,則2%-3=&+（〃-1）工一2,

【詳解】令y'=e，=」，得尤=一1,代入曲線丁=6一|=1,

ee

所以的最小值即為點11,，到直線y=m的距離d=-^=.

故選：B.

5.（23-24高三上?河北?階段練習）已知a>0,b>0,若直線與曲線

41

y=l+ln（x+，-1）相切，則？+：的最小值為（）

ab

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】設出切點坐標（祖，〃），利用導數求得切線方程的斜率，即為直線方程得4+6=1,

再利用基本不等式即可.

【詳解】設切點為（私”），由題得了二目三，

1

所以切線的斜率左=,且〃=1+ln(m+/?-1)

m+b—1

]

所以切線方程為丁=(x—m)+l+ln(m+b—1),

m+b—1

1b-1

即y=--------XH--------+ln(m+/?-l),與直線'=%_Q相同,

m+b—1m+b—1

---=1

所以,整理得4+〃=1,

--------\-ln(m+b-t]=-a

ma41(41V7、u4Z?a、o[4b~~a八

所以一+—=一+—5+。)=5+—+->5+2/-x—=9,

ab\ab)ab\ab

2141

當且僅當〃〃==時，；取得最小值9.

33ab

故選：C

C新定義題

1.（2024?浙江,二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數學工具一一洛必達法則，法則

中有結論：若函數〃x）,g（元）的導函數分別為廣（力，g'（x）,且理〃x）=^g（x）=°,則

/(x)f\x)

hrm=lim',.

』g(%)』g(X)

②設。＞0,左是大于1的正整數，若函數“X)滿足：對任意xe［o,a］,均有［。成

立，且理〃x)=。，則稱函數〃尤)為區(qū)間［。，句上的上階無窮遞降函數.

結合以上兩個信息，回答下列問題：

⑴試判斷〃x)=d-3x是否為區(qū)間［0,3］上的2階無窮遞降函數；

(2)計算:lim(l+x)x;

x—＞0

⑶證明：＜COSX,■兀］

【答案】(l)〃x)=x3-3x不是區(qū)間［0,3］上的2階無窮遞降函數；