2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第5講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

T教師尊享?命題分析）一

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)

1.借助單位圓能三角函

畫(huà)出三角函數(shù)數(shù)的定

本講每年必考，主要考查三

（正弦、余義域

角函數(shù)的定義域、值域（最

弦、正切）的三角函

值）、周期性、單調(diào)性、對(duì)

圖象，了解三數(shù)的值

2021全國(guó)卷乙T4稱(chēng)性和奇偶性，有時(shí)與函數(shù)

角函數(shù)的周期域（最

零點(diǎn)和極值點(diǎn)綜合命題，題

性、單調(diào)性、值）

型以選擇題和填空題為主，

奇偶性、最大2023新高考卷IT15；2023全

難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考

（?。┲?國(guó)卷乙T6；2023天津T5；

命題趨勢(shì)變化不大，備考時(shí)

2.借助圖象理解三角函2022新高考卷IT6；2022全

要注意區(qū)分正弦函數(shù)和余弦

正弦函數(shù)、余數(shù)的性國(guó)卷乙T15；2022全國(guó)卷甲

函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不要混

弦函數(shù)在［0,質(zhì)及應(yīng)T11；2022北京T5；2021新

淆，另應(yīng)關(guān)注新角度、新綜

2兀］上，正切函用高考卷IT4；2020全國(guó)卷

合問(wèn)題.

數(shù)在（―|,IIIT16；2019全國(guó)卷IT11；

上的性質(zhì).2019全國(guó)卷HT9

，---------------------:教材幫讀透教材融會(huì)貫通------------------------------

的學(xué)生用書(shū)P080

1.用“五點(diǎn)法''作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

在正弦函數(shù)y=sinx,%e［0,2兀］的圖象上，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是（0,0）,（p1）,

①（兀，0）,（y,-1）,②（2乃，0）.

在余弦函數(shù)y=cosx,xe［0,2兀］的圖象上，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是（0,1）,成，0）,

③（兀，一1）,（y,0）,④（2兀，1）.

五點(diǎn)法作圖有三步：列表、描點(diǎn)、連線（注意光滑）.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三角

y=sin%y=cosxy=tanx

函數(shù)

_F3-

圖象(V\\"2；

定義

RR⑤[x1/far+1,一￡Z}

域

值域⑥L1，1]⑦Ll，11R

周期是2E"GZ且周期是2E"ez且周期是E(%ez且

周期

#0),最小正周期是⑧—存0),最小正周期是⑨—#0),最小正周期是⑩—

性

2兀.2兀.7T_.

對(duì)稱(chēng)軸方程是?x=E+g對(duì)稱(chēng)軸方程是?x=kn

對(duì)稱(chēng)無(wú)對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心是

(kO,對(duì)稱(chēng)中心是?(%￡Z),對(duì)稱(chēng)中心是?_

性@(J,0)(止Z).

(E,0)(KZ).(fai+20)(止Z).

奇偶

?奇函數(shù)?偶函數(shù)?奇函數(shù)

性

在?「一2+2%兀，：+

在?「2欠兀一兀,22兀]

2E](左GZ)上單調(diào)遞在?(一已+上兀，J+

單調(diào)(左￡Z)上單調(diào)遞增，在

增，在?g+2far,尹祈)_(AGZ)上單調(diào)遞

性?[22兀,2E+兀|

2E]*GZ)上單調(diào)遞增.

(左ez)上單調(diào)遞減.

減.

注意y=tan尤在其定義域內(nèi)不單調(diào).

常用結(jié)論

1.三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期T的關(guān)系

(1)相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸(或兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心)之間的距離為%

(2)相鄰的對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為工；

4

(3)相鄰的兩個(gè)最低點(diǎn)(或最高點(diǎn))之間的距離為T(mén).

2.與三角函數(shù)奇偶性有關(guān)的結(jié)論

(1)若函數(shù)y=Asin(5+9)(x￡R)是奇函數(shù)，則9=左兀(無(wú)6Z)；若為偶函數(shù)，則夕

=^7i+-(&Z).

2

(2)若函數(shù)y=Acos(GX+°)(x￡R)是奇函數(shù)，則夕=左兀+](左￡Z)；若為偶函數(shù)，

則(p=kTt(%￡Z).

(3)若y=Atan(°尤+夕)為奇函數(shù)，則夕=加(&GZ).

:翻Ifi蒯S

1.設(shè)A是△ABC最小的內(nèi)角，貝IsinA+cosA的取值范圍是(D)

A.(-V2,V2)B.[-V2,A/2]C.(1,A/2)D.(1,A/2]

解析是△ABC最小的內(nèi)角，.*.0<A<-,.\-<A+-<—,<sin(A+-)<1,則

3441224

sinA+cosA=V2sin(A+-)￡(1,V2],故選D.

4

2.函數(shù)/(x)=tan(—4X+5的最小正周期為(A)

6

A.-B.-C.TtD.27t

42

解析函數(shù)/(x)=tan(—4x+-)的最小正周期T=二一=丁三〒=2.

6ItoII—4I4

3.[全國(guó)卷H]若為=；,%2=乎是函數(shù)/(x)=sincox(G>0)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，貝!JG=

44

(A)

31

A.2B.-C.lD.-

22

解析依題意得函數(shù)/(x)的最小正周期T=詈=2x(乎一:)=冗,解得①=2,選A.

4.函數(shù)/(x)=sin(%一力的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程是(C)

A.x=-B.x=-C.x=--D.x=--

4242

解析函數(shù)y=sinx的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為(左￡Z),令x—：=析+]

(%￡Z),得％=%兀+*(無(wú)￡Z),故函數(shù)/(%)=sin的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為％=

k7i~\~—(%￡Z).令人=-1,得％=一二故選C.

44

5.[易錯(cuò)題]函數(shù)y=2sin(-%+=)(尤曰一兀，0])的單調(diào)遞增區(qū)間是(A)

A.[-7T,-=]-=]C.[-p0]0]

ooo3o

解析令2+2祈二一x+-<—+2Z：7i,kGZ,則———2kji<x<———2析，％WZ.又一兀，

23266

0],所以所求單調(diào)遞增區(qū)間為[—兀，-=].

6

6.函數(shù)/(x)=tan(3x+“的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(號(hào)一卷，。)(》匕).

解析令3x+g=:,kRZ,解得尤=與一S，kb,

626lo

所以y(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(生一工,o),kcz.

618

f------------------?m=----------------------“

。學(xué)生用書(shū)P082

命題點(diǎn)1三角函數(shù)的定義域

例]函數(shù)y=lg(sinx)+Jcosx—，的定義域?yàn)椋菼2E<xg；+2E,kQZ\.

sinx>0,2fcn<x<7i+2fcn(kEZ),

解析要使函數(shù)有意義，則1解得?-TT所以2kli

cos%-->0,--7T+2kn<%<-+2kn(keZ),

2

<-x^-\-2kn(%￡Z),所以函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸I2女兀〈立；+2航，kGZ).

方法技巧

求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上是解不等式或不等式組，常借助于三角函數(shù)的圖象解決.

訓(xùn)練1函數(shù)/(尤)=tan"tan2x的定義域?yàn)椋躘#"，yZ｝.

tan2x—tanx-4

X+/C1T,

解析tan2%,tanx有意義，則12?kRZ,又tan2x—tan/0,即....——

2x^-+fcn,l—ta/%

2

tanx^O,則tan/0,即#%兀，z￡Z,綜上可得，,%￡Z,則函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?/p>

4

｛尤I平,kGZ｝.

4

命題點(diǎn)2三角函數(shù)的值域(最值)

例2(1)[2021全國(guó)卷乙]函數(shù)/(x)=sin：+cos：的最小正周期和最大值分別是

(C)

A.3%和&B.3%和2C.67I和，2D.6兀和2

解析因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=sinj+cosj=V2(sin|cos^+cos|sin^)=V2sin(：+?,所以函

數(shù)了(無(wú))的最小正周期7=孚=6兀，最大值為VI故選C.

3

(2)已知函數(shù)/(x)=cos⑵+g)+2的定義域?yàn)閇a,汨，值域?yàn)橥＃?],則a的取值范

圍是(C)

A.[y,兀]B,[0,y]C,[y,由D.g,由

解析由題意知，2x+羅[2a+￡,爭(zhēng)，且尸cos⑵+藍(lán))在[a,兀]上的值域?yàn)橹?],

.,.2a+->—,且2a+Z27T,解得空Wag史，；.a的取值范圍是[空，—],故選C.

3333636

方法技巧

三角函數(shù)值域的不同求法

1.把所給的三角函數(shù)式變換成y=Asin(①x+夕)+Z?的形式求值域.

2.把sinx或cosx看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

3.利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

訓(xùn)練2(1)[2023四川省模擬]已知函數(shù)無(wú))=cos2x+sinx—2的定義域?yàn)閇0，m],值域

為修，1]，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為(A)

A.7iB.-C.-D.-

632

222

角星析由已知，得/(%)=cosx+sinx--=1—sini：+sinx--=—sinx+sinx+-f令/=

sinx,函數(shù)/(x)可轉(zhuǎn)換為y=一尸+什：一(r—2+l,因?yàn)?],所以根據(jù)二

次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得[￡[0,1],即sinx￡[0,1],又x￡[0,m],所以根據(jù)三角函數(shù)的

圖象與性質(zhì)可得相￡碎，7i],所以實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為兀，故選A.

(2)函數(shù)y=sinx—cosx+sinxcosx的值域?yàn)椤⒁徽谝弧?].

解析令sin%—cosx=/,則/=J^sin(x--),[—A/2,V2],^^sin2x+cos2x-

4

-i—「2i-4-2-i

2sin尤cos無(wú)，故sin無(wú)cosx=2，所以y=/+—3(?—1)2+l,所以當(dāng)r=l時(shí)，函數(shù)

有最大值1;當(dāng)/=—/時(shí)，函數(shù)有最小值一V2—即值域?yàn)閇—V2—|,1].

命題點(diǎn)3三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

角度1三角函數(shù)的周期性

例3(1)[2023天津高考]已知函數(shù)/(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,f(x)的一個(gè)周

期為4,則/(無(wú))的解析式可能為(B)

A./(x)=sin(-x)B.f(x)=cos(-x)

J2J2

C.f(x)=sin(%)D/(x)=cos(%)

解析對(duì)于A,f(x)=sin(*),其最小正周期為筌=4,因?yàn)椋?2)=sin兀=0,所以

2

函數(shù)/(x)=sin(*)的圖象不關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，故排除A;對(duì)于B,f(x)=

cos(會(huì)),其最小正周期為竽*=4,因?yàn)?(2)=cos7i=—1,所以函數(shù)/(x)=

2

cos(9)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)B符合題意；對(duì)于C,D,函數(shù)y=sin(%)

和丁=以)5(%)的最小正周期均為普=8,均不符合題意，故排除C,D.綜上，選B.

4

(2)［全國(guó)卷III］函數(shù)/(無(wú))=￡梟的最小正周期為(C)

A.-B.-C.TtD.27t

42

sinx

解析f(x)=tan：=cosq=s：\os：=sinxcOS%=%口2%,所以/(X)的最小正周期

Jl+tan2x1?siMxcos2x+sin2x2')

COS2X

7=空=兀故選c.

2

方法技巧

1.求三角函數(shù)周期的基本方法

(1)定義法.(2)公式法：函數(shù)y=Asin(aa+夕)(或y=Acos(cox+(p))的最小正周

期T=—,函數(shù)y=Atan(cox+(p)的最小正周期丁=丁彳.(3)圖象法：求含有絕對(duì)值

I(0II3I

符號(hào)的三角函數(shù)的周期時(shí)可畫(huà)出函數(shù)的圖象，通過(guò)觀察圖象得出周期.

2.有關(guān)周期的2個(gè)結(jié)論

(1)函數(shù)y=IAsin(①x+夕)I,y=IAcos(GX+夕)I,y=IAtan(GX+夕)I的最

小正周期T均為仁.

I3|

(2)函數(shù)y=IAsin(Gx+9)~\-bI(Z?RO),y=IAcos(①x+9)~\-bI(b#0)的最小

正周期T均為4.

I(0I

角度2三角函數(shù)的單調(diào)性

例4(1)［2022北京高考］已知函數(shù)/(x)=cos2x-sin2x,則(C)

A.f(x)在(一匕上單調(diào)遞減

26

B./(x)在(一三，-)上單調(diào)遞增

J412

C.f(x)在(0,］)上單調(diào)遞減

D.f(x)在U,-)上單調(diào)遞增

412

解析依題意可知/(x)=cos2x—sin2x=cos2x,對(duì)于A,因?yàn)?―-,—,所以

2%￡(一兀，--),函數(shù)f(x)=cos2x在(一色，一-)上單調(diào)遞增，所以A不正確；對(duì)

326

于B,因?yàn)閤d,所以2xG與，函數(shù)/(無(wú))=cos2x在(一二—)上

41226412

不單調(diào)，所以B不正確；對(duì)于C,因?yàn)閤G(0,三)，所以2xG(0,與)，函數(shù)/(x)=

cos2x在(0,-)上單調(diào)遞減，所以C正確；對(duì)于D,因?yàn)閤d(-,—),所以2xG(-,

34122

—),函數(shù)/(無(wú))=cos2x在(二—)上不單調(diào)，所以D不正確.故選C.

6412

(2)［全國(guó)卷H］若/(x)=cosx—sinx在［一小上是減函數(shù)，則〃的最大值是(A)

A.-B.-C.—D.7t

424

解析f(x)=cosx—sinA：=V2COS(X+-),因?yàn)楹瘮?shù)〉=85%在區(qū)間［0,兀］上單調(diào)遞

減，貝I由03+2兀，得一色勺合邦.因?yàn)?(%)在［―〃，上是減函數(shù)，I—uI<—,所以

44444

解得又區(qū)間［一〃，有意義時(shí)，〃>0,所以0<〃？，所以〃的最大值是2.

4444

方法技巧

三角函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及求解策略

常見(jiàn)類(lèi)型求解策略

(1)將函數(shù)化簡(jiǎn)為“一角一函數(shù)”的形式，如〉=45m(GX+夕)+b(A>0,co>

已知三角0）；

函數(shù)解析(2)利用整體思想，視“ox+9”為一個(gè)整體，根據(jù)y=sinx的單調(diào)區(qū)間列不等式

式求單調(diào)求解.對(duì)于y=Acos(口元+夕)，y=Atan(①x+9),可以利用類(lèi)似方法求解.

區(qū)間注意求函數(shù)y=Asin(GX+夕)+Z?的單調(diào)區(qū)間時(shí)要先看A和①的符號(hào)，盡量

化成。>0的形式，避免出現(xiàn)增減區(qū)間的混淆.

已知三角(1)求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是求出的單調(diào)區(qū)間的子集，列不

函數(shù)的單等式(組)求解.

調(diào)性求參(2)由所給區(qū)間求出“ox+”的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單

數(shù)調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解.

角度3三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性

例5(1)[2022全國(guó)卷甲]將函數(shù)/(x)=sin(。尤+￡)(O>0)的圖象向左平移沙單位

長(zhǎng)度后得到曲線C,若C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則。的最小值是(C)

A.—B.—C.—D.—

6432

解析記曲線。的函數(shù)解析式為g(x),則g(x)=sin[c9(%+])+；]=sin[Gx+(會(huì)+

；)[因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以“^+三=配+：(%￡Z),得①=2%+：

(代Z).因?yàn)镚>0,所以Gmin桔.故選C.

(.2)[2022新高考卷I]記函數(shù)/(九)=sin(^x+-)+b(0>0)的最小正周期為T(mén).若空

<7<無(wú)，且y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)弓，2)中心對(duì)稱(chēng)，則/，)=(A)

35

A.lB.-C.-D.3

22

解析因?yàn)榭铡炊?lt;兀，所以空〈空〈兀，解得2<①<3.因?yàn)閥=/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(蟲(chóng)，

2)中心對(duì)稱(chēng)，所以Z?=2,且sin號(hào)①+^)+b=2,即sin(弓力+：)=0,所以竽切+：=

kii(fcez),又2<①<3,所以坨<文①十三〈竺；所以孫。+￡=4兀，解得①=之所以

4244242

f(x)=sin(|x+?)+2,所以>《)=sin(同+?+2=sin粵+2=1.故選A.

方法技巧

1.三角函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心的求解方法：對(duì)于函數(shù)/(x)=Asin(GX+9)

(外加),令①%+9=左兀+/,kGZ,求出對(duì)稱(chēng)軸方程；令①次+夕=%兀，求出對(duì)稱(chēng)中

心的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)為0).對(duì)于y=Acos(GX+夕)，y=Atan(Gx+夕)，可以利用類(lèi)似方

法求解(注意y=Atan(①x+9)的圖象無(wú)對(duì)稱(chēng)軸).

說(shuō)明選擇題可以通過(guò)驗(yàn)證/(xo)的值進(jìn)行判斷，即/(xo)=±A==xo是函數(shù)/(x)圖

象的對(duì)稱(chēng)軸方程；f(xo)=02目(xo,0)是函數(shù)/(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心.

2.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為j=Asin84或y=Atancwx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y

=Acoscox+b的形式.

訓(xùn)練3(1)[2023全國(guó)卷乙]已知函數(shù)/(x)=sin(ox+p)在區(qū)間(立—)單調(diào)遞增，

63

直線x=?和許字為函數(shù)y=/(x)的圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸，則/(—襄)=(D)

6312

A.--B.--C.-D.—

2222

解析由題意得工、4=空一解得sI=2,易知x=E是/(x)的最小值點(diǎn).若。=

2,則5<2+夕=--+2^7i(%￡Z),得夕=——+2A：7i(%￡Z),于是/(x)—sin(2x一空

6265

+2析)=sin(2x——),f(-—)=sin(—―x2——)=sin(——)=sin-=—;若①=

6J12126332

—2,貝%x(—2)+9=—1+2左兀(攵￡Z),得9=一弓+2配(左￡Z),于是/(x)=

sin(―2x--+2^7i)=sin(―2x--)=sin(2x--7i),所以/(一室)=”故選D.

666122

(2)在函數(shù)①'二^、I2xI,②丁=IcosxI,(2x+-),@y=tan(2x--)

64

中，最小正周期為兀的所有函數(shù)為(A)

A.①②③B.①③④

C.②④D.①③

解析對(duì)于①，y=cosI2xI=cos2x,其最小正周期為§=兀；對(duì)于②，y=Icos無(wú)I的最

小正周期為兀；對(duì)于③，y=cos(2x+-)的最小正周期為空=兀；對(duì)于④，y=tan(2%--)

624

的最小正周期為去所以最小正周期為71的所有函數(shù)為①②③.

(3)函數(shù)/(x)=3sin(2%—1+9)+1,夕￡(0,兀)，且/(%)為偶函數(shù)，貝!Je=_

-->f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(；+竺，1),kRZ.

64

解析,:f(x)—3sin(2x—"+9)+1為偶函數(shù)，/.一烏+9=析+”,女仁Z,即夕=史+

3326

ku,&ez.又(0,71),二。=￥，---/(X)=3sin(2x+])+l=3cos2x+l.由2x=]+

kn,k《Z,得尤=：+與，ZGZ,."(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(/與，1),keZ.

(教師尊享?備課題組〕

1.[命題點(diǎn)2/2023福建模擬]若對(duì)任意尤GR都有了(sinx)=-cos2x+cos2x+2sinx-3,則

f(x)的值域?yàn)長(zhǎng)4,0].

解析易知/(sinx)=2sin2%—1+1—sin2x+2sin%—3=sin2x+2sin%—3,所以/(%)=x2

+2x—3(—1<X<1),曲線>=/+2%一3的對(duì)稱(chēng)軸為直線1=-1,所以函數(shù)/(x)在區(qū)間

[-1,1]上單調(diào)遞增，所以/(—1)<f(x)<f(1),即一4g(x)<0,所以/(x)的值域

為[—4,0].

2.［命題點(diǎn)2/2023濰坊市高三統(tǒng)考］已知函數(shù)/(x)=3sinx+4cosx,且/(x)<f(<9)對(duì)任

意x￡R恒成立，若角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(4,m),則m=3.

解析因?yàn)?(x)=3sinx+4cosx=5sin(x+夕)，其中cos0=|,sin則sin(。+

9)=1,所以。+9=；+2析(女￡Z),所以夕=］一夕+2析(攵￡Z),所以sin9=sin一

(P)=cos(p=-,RMcos0=-,所以tan夕="=絲所以機(jī)=3.

3.［命題點(diǎn)3角度1/多選/2023福建省福州市聯(lián)考］如圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓。上

以點(diǎn)尸為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，每3s轉(zhuǎn)一圈.該質(zhì)點(diǎn)到X軸的距離關(guān)于時(shí)間方的函數(shù)

記為/(/).下列說(shuō)法正確的是(AC)

A.f(/)=I2sin(—r--)I

J34

B.f(r)=2sin(—?--)

J34

C./(f)的最小正周期為I

D/G)的最小正周期為3

解析由題可知，質(zhì)點(diǎn)的角速度為與rad/s,因?yàn)辄c(diǎn)P為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)

過(guò)fs之后所成角為O，則°=等一：，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義有yp=2sin(等一?，

所以該質(zhì)點(diǎn)到x軸的距離為了⑺=I2sin(爭(zhēng)一：)I,故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)榱刷?/p>

=I2sin(―f--)I,所以了⑺的最小正周期為親=三，故C正確，D錯(cuò)誤.故選AC.

342

4.［命題點(diǎn)3/多選Z2023河北名校聯(lián)考］已知函數(shù)/(x)=2sin(cox+-)+b(co>0)的最小

正周期T滿足E<T<￥，且尸(一31)是/(%)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則(AC)

220

A.co=2

B.f(x)的值域是［—2,2］

C.直線尤=1是/(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸

8

D./(x+y)是偶函數(shù)

4

解析對(duì)于A,因?yàn)镻1）是函數(shù)/（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，所以一2^+2二女兀

884

晨GZ）,且6=1,得O=2—弘晨GZ）.又巳＜7＜邳，且。＞0,即三＜空〈文，所以3V

222Q）23

0＜4,所以°=2,故A正確.

對(duì)于B,由對(duì)A的分析得y（x）=2sin（2x+2）+1,因?yàn)橐籌gsin（2x+?）＜1,所以

f（無(wú)）e[-l,3],故B不正確.

對(duì)于C,解法一由2%+工=%兀+工（左ez）,得尤=%+工（左ez）,當(dāng)左=0時(shí)，x—~,所

42288

以直線是函數(shù)/（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故C正確.

解法二將x=￡代入/（x）,可得/（￡）=3（/（x）的最大值），所以直線無(wú)=已是/（尤）

圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故C正確.

對(duì)于D,因?yàn)?（x+：）=2sin[2（尤+?+：]+l=2sin（2元+1+2）+l=2cos（2元+?+

1,顯然該函數(shù)不是偶函數(shù)，故D不正確.綜上所述，選AC.

（------------------------------，練習(xí)幫:,練透好題精準(zhǔn)分層-----------------------------

■學(xué)生用書(shū)?練習(xí)幫P296

C基礎(chǔ)練知識(shí)通關(guān)

1.函數(shù)/（x）=tan（2x+：）的定義域?yàn)椋–）

A.{xI對(duì)配+1,kGZ}B.{xIkGZ}

C.{xIkRZ}D.{xI今kGZ）

解析由兀+2,kGZ,得2樣祈+二+—,kGZ,

42428

函數(shù)尸tan⑵+》的定義域?yàn)椤鰹榕c+也上GZ}.

2J2023天津新華中學(xué)統(tǒng)練]下列函數(shù)中，最小正周期為兀的奇函數(shù)是（D）

A.y=sin（2x+“B.y=tan2x

C.y=2sin（兀一1）D.y=tan（尤+兀）

解析對(duì)于函數(shù)丁=5由（2x+；）=cos2x,最小正周期為兀，是偶函數(shù)，排除A;對(duì)于函數(shù)

y=tan2x,最小正周期為是奇函數(shù)，排除B;對(duì)于函數(shù)y=2sin（兀一%）=2sinx,最小

正周期為2兀，是奇函數(shù)，排除C;對(duì)于函數(shù)>=1211(兀+x)=tan尤，最小正周期為無(wú)，是

奇函數(shù)，故選D.

3.下列函數(shù)中，以m為周期且在區(qū)間(？，=)單調(diào)遞增的是(A)

242

A/(x)=Icos2xIB/(x)=Isin2xI

C.f(x)=cosIxID.f(x)=sinIxI

解析A中，函數(shù)/(無(wú))=Icos2xI的最小正周期為二當(dāng)xG(-,-)時(shí)，2xd(-,

7i),函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，故A正確；B中，函數(shù)/(x)=Isin2%I的最小正周期為

當(dāng)工￡-)時(shí)，2xG(-,71),函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，故B不正確；C中，函數(shù)/(x)

=cosIxI=cosx的最小正周期為2兀，故C不正確；D中，f(x)=sin\x\=

sin%,%>0,

由正弦函數(shù)圖象知，在這0和xVO時(shí)，f(x)均以2兀為周期，但在整個(gè)

.—sin%,%<0,

定義域上/(%)不是周期函數(shù)，故D不正確.故選A.

4.已知函數(shù)/(%)=sin(GX+6)+V3cos(GX+6)(夕￡［一］,；］)是偶函數(shù)，則。的值

為(B)

A.OB.-C.-D.-

643

解析由已知可得/(%)=2sin(口1+夕+^),若函數(shù)為偶函數(shù)，則必有8+1=左兀+］

(%￡Z),又由于。￡［一二-］,故有夕+三=二解得夕=二經(jīng)代入檢驗(yàn)符合題意.故選B.

22326

5.［2023江西月考］已知函數(shù)/(x)=sin(5+9)(o>0,0<p<］)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)為

|,則/(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是(B)

1512

A.x=-—B.x=一—C.x=~D.x=一

6633

解析設(shè)/(x)的最小正周期為T(mén),則工=±—(―-)=1,得T=空=2,所以①=兀，又因

為一三十夕=%兀(％￡Z),且所以夕=；,則/(%)=sin(7ix+^),由也+￡=%兀

+-(左右Z),解得冗=女+工(％￡Z),取左=—1,得一^條對(duì)稱(chēng)軸方程為％=-

266

6.已知函數(shù)/(無(wú))=-2tan⑵+p)(0<(p<^)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)臉，0),

則該函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是(D)

解析因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=-2tan(2］+夕)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)(卷，0),所以

2X^|+0=T，k￡Z,解得夕—也上￡Z.又0〈夕〈熱所以夕=今所以/(x)=

—2tan(2x+-).令--+^7i<2x+-<-+fe7i,%￡Z,解得一些十處〈1〈2+生，kGZ,所

以函數(shù)y(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一工十:,看+爭(zhēng)，MZ.當(dāng)左=0時(shí)，得fG)的一個(gè)

單調(diào)遞減區(qū)間為(一空，-).

1212

7.［全國(guó)卷I］設(shè)函數(shù)/(x)=cos(s+?)在［—兀，同的圖象大致如圖，則/(無(wú))的最小正

6

周期為(C)

A.—B.-C.-D.-

9632

解析解法一由題圖知，f(——)—0,——CO-\--=--\-k7l(女￡Z),解得(0=—"9k

99624

晨ez).設(shè)/(X)的最小正周期為T(mén),易知7<2兀<27,：.1<IcoI

ItoIIO)I

<2,當(dāng)且僅當(dāng)上=—1時(shí)，符合題意，此時(shí)。=三，??.7=空=如.故選?.

2to3

解法二由題圖知，f(——)=0且/(—71)<0,f(0)>0,——co-\--=--(①〉

9962

0),解得0=三，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，.的最小正周期7=空=蛆.故選C.

2co3

8.［2024安徽銅陵模擬］已知函數(shù)/(%)="sin4x+cos4x的圖象關(guān)于直線1=費(fèi)對(duì)稱(chēng)，

則/臉)=(A)

A.V3B.—C.--D.-1

22

解析由題設(shè)/(x)=Va2+lsin(4%+夕)(分0)且tan9=，，又函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

工對(duì)稱(chēng)，所以三十夕二2+加，左￡2=9=2+左兀，kRZ,則tane=tan(四+左兀)=tan-=-=><2

1232666CL

=V3,綜上，f(x)=V3sin4x+cos4x=2sin(4x+-),故/(工)=2sin'=V^.故選A.

6243

9.［多選Z2023江蘇南京模擬］已知xi，&是函數(shù)/(無(wú))=2sin(<ox--)(°>0)的兩個(gè)不同

零點(diǎn)，且IX1-X2I的最小值是熱則下列說(shuō)法正確的是(ABD)

A.函數(shù)/(x)在［0,勺上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/(尤)的圖象關(guān)于直線尤=—三對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(兀，0)中心對(duì)稱(chēng)

D.當(dāng)xdg，兀］時(shí)，函數(shù)/(無(wú))的值域是［-2,1］

解析由題意可知，最小正周期7=§=兀，所以0=2,f(x)=2sin(2尤一5).對(duì)于選項(xiàng)

A,當(dāng)xd［0,二］時(shí)，2x--e［--,-］,所以/(無(wú))在［0,變］上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于

選項(xiàng)B,f(-J)=2sin［2x(―￡)—§=2sin(―1)=—2,所以/⑴的圖象關(guān)于直線工

=一色對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,f(7i)=2sin(271--)=一1/),所以/(x)的圖象

不關(guān)于點(diǎn)(兀，0)中心對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)XG碎，中寸，2X—占年，

—］,sin(2x--)e［-l,i］,f(x)e［-2,1］,故D正確.故選ABD.

662

10.定義運(yùn)算"%為：〃％=［"("一")'例如，1*2=1,則函數(shù)/(x)=sinx*cosx的值域?yàn)橐?/p>

［b(a>b),

解析f(x)=sinx*cosx,當(dāng)工￡［：+2攵兀，乎+2%兀］,這時(shí)sinxNcosx,所以/(x)

=cosx,這時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋?1,爭(zhēng)；當(dāng)］￡［—亨+2%兀，^+2fai］,這時(shí)sin爛

cosx,所以/(x)=sinx,這時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋?1,子］.綜上，函數(shù)的值域?yàn)椋?1,y］.

11.［2023上海松江二中模擬］若函數(shù)y=sin(?—￡)在［0,加］上單調(diào)遞增，則機(jī)的最大值為

6

2

解析由工￡［0,m］,知7LX—三￡［一二m7i--］,因?yàn)楹瘮?shù)在［0,上單調(diào)遞增，所以一

6666

m7i-0<m<-,所以機(jī)的最大值為士

6233

12.［2024安徽合肥一中模擬］已知函數(shù)/(%)=sinxcosx—V5cos2%+f.

(1)求函數(shù)/(%)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求函數(shù)/G)在區(qū)間[―嵩§上的值域.

2(1+os2%)

角星析(1)因?yàn)?(x)=sinxcosx—V3cosx+=|sin2x—^_|_2^=lsjn2%—

—cos2x=sin(2x--),

23

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為T(mén)=g=7L

iij2Z：7i+-<2x_-<2^7i+—(%￡Z)可得左兀+也〈廣女兀+^^(左￡Z),

2~3~21212

所以函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為改兀+工，加+等]晨金Z).

(2)當(dāng)一時(shí)，——<2x—

則一Igsin(2x—；)<|,

因此，函數(shù)/(%)在區(qū)間[—也力上的值域?yàn)閇—1,1].

舊能力練重難通關(guān)

13.設(shè)函數(shù)/(%)=2cos(|x—,若對(duì)于任意的x￡R都有/(xi)<f(x)<f(X2)成立,

則IXl~X2I的最小值為(C