2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)試題匯編：計數(shù)原理與排列組合

專題09計數(shù)原理與排列組合

一、核心先導(dǎo)

二、考點再現(xiàn)

【考點1】排列

1.排列的概念：

從〃個不同元素中，任取出(m<n)個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列,

叫做從〃個不同元素中取出m個元素的：個不烈.A；

說明：(1)排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；

(2)兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同.

2.排列數(shù)的定義：

從“個不同元素中，任取加(m<n)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從"個元素中取出M元素的排列

數(shù)，用符號表示.注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從〃個不同元素中，任取m個元

素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從〃個不同元素中，任取加個元素的所

有一排列的個數(shù)，是一個數(shù).所以符號只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列.

3.排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：

由的意義：假定有排好順序的2個空位，從“個元素.…4中任取2個元素去填空，一個空位

填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所

有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)A3由分步計數(shù)原理完成上述填空共有種填法，...A^n(n-V).

由此，求可以按依次填3個空位來考慮，=—1)(〃—2),

求A；以按依次填m個空位來考慮A^=n(n-l)(n—2)…(〃—加+1),

第1位第2位第3位第m位

排列數(shù)公式：M=〃5—1)(〃一2)…(〃一加+1)

n-1n-2n-nH-1

(N*

圖135

說明：(1)公式特征：第一個因數(shù)是,，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1,最后一個因數(shù)是〃-加+1,

共有m個因數(shù)；

(2)全排列：當〃=〃?時即〃個不同元素全部取出的一個排列.

全排列數(shù)：色="(〃—1)(〃—2)…2?1=〃！(叫做n的階乘).另外，我們規(guī)定0!=1.

1.組合的概念：一般地，從〃個不同元素中取出加(mW”)個元素并成一組，叫做從“個不同元素中取出加

個元素的一個組合.

說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”一一無序性；⑶相同組合：元素相同.

【考點2】組合

1.組合數(shù)公式的推導(dǎo)：

(1)從4個不同元素兄氏c,d中取出3個元素的組合數(shù)是多少呢？

啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)可以求得，故我們可以考

察一下C：和的關(guān)系，如下：

組合排列

abcTabc.bac,cab,acb,bca,cba

abdfabd,bad,dab,adb,bda,dba

acd—acd,cad,dac,adc,eda,dca

bed—bed,cbd,dbc,bdc,edb,deb

由此可知,每一個組合都對應(yīng)著6個不同的排列，因此，求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù),

可以分如下兩步：①考慮從4個不同元素中取出3個元素的組合，共有個；②對每一個組合的3個不

A3

同元素進行全排列，各有用種方法.由分步計數(shù)原理得:A：=C＞所以，=*.

&

2.推廣：一般地，求從〃個不同元素中取出〃個元素的排列數(shù)A：',可以分如下兩步:

①先求從〃個不同元素中取出⑷個元素的組合數(shù)C："；

②求每一個組合中?個元素全排列數(shù)A；，根據(jù)分步計數(shù)原理得：A；；=C；-A,：.

3.組合數(shù)的公式：

C"=<=〃(，—)(〃-2)…(i+1)或_出_(〃,meN*,且八立

幾線mlm!(n-m)!

規(guī)定：c：=i.

三、解法解密

方法一、特殊優(yōu)先安排法：

對于帶有特殊元素的排列問題，一般應(yīng)先考慮特殊元素、特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，也

就是解題過程中的一種主元思想；若含有兩個或兩個以上的特殊位置或特殊元素，則應(yīng)使用集合的思想來

考慮，這種情況又分為：無關(guān)型（兩個特殊位置上分別可取的元素所組成的集合的交是空集）；包合型（兩個

特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關(guān)系）；影響型（兩個特殊位置上可取的元素既有相同的，

又有不同的）.

方法二、合理分類與準確分步法：

解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連貫過程分步，做到分類

標準明確、分步層次清楚，不重不漏.

方法三、解排列組臺混合問題，采用先選后排法：

對于排列與組合的混合問題，可采取先選出元素，后進行排列的策略.

方法四、正難則反、等價轉(zhuǎn)化法：

對某些排列組合問題，當從正面入手情況復(fù)雜，不易解決時，可考慮從反面入手，將其等價轉(zhuǎn)化為一

個較簡單的問題來處理.即采用先求總的排列數(shù)（或組合數(shù)），再減去不符合要求的排列數(shù)（或組合數(shù)），從

而使問題獲得解決的方法（其實它就是補集思想）.

方法五、相鄰元素一一捆綁法：

對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一個“大元素”與其他

元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進行排列.

方法六、不相鄰元素一一插空法：

對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之

間及兩端的空隙之間插入即可.

方法七、順序固定問題用“除法”：

對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行排列，然后用總的排列

數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù).

方法八、分排問題和環(huán)排問題直排法：

把〃個元素排成若干排的問題，若沒有其他的特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理；把〃個

不同元素放在圓周〃個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序

相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之

分，下列〃個普通排列：

6,“2，%3，%；“2，％，4廣、4廣-；4，％--，61在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認為相同，

〃個元素的圓排列數(shù)有2種.因此可將某個元素固定展成單排，其它的元素全排列.

n

方法九、特征分析法：

研究有約束條件的排列問題，須緊扣題目所提供的數(shù)字特征、結(jié)構(gòu)特征，進行推理、分析求解.

方法十、容斥法：

n個元素排成一列,求某兩個元素各自不排在某兩個確定位置的排法種數(shù),宜用容斥法,

方法十一、先整體后局部策略：

對于“小團體”排列問題，可先將“小團體”看作一個元素與其余元素排列，最后再進行“小團體”

內(nèi)部的排列.

方法十二、分組問題：

①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④無序不等分；⑤無序等分；⑥無序局部等分.

方法十三、隔板法：

〃個相同小球放入加W"）個盒子里，要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于幾個相同小球

串成一串從間隙里選切-1個結(jié)點剪成機段（插入1塊隔板），有種方法，

方法十四、可重復(fù)的排列求塞法：

允許重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般

地n個不同元素排在m個不同位置的排列數(shù)有m"種方法.

四、考點解密

題型一:簡單的排列問題

例1.（1）、（2021?陜西渭南）生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“五

經(jīng)”是儒家典籍《周易》、《尚書》、《詩經(jīng)》、《禮記》、《春秋》的合稱.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某

校在周末興趣活動中開展了“五經(jīng)”知識講座，每經(jīng)排1節(jié)，連排5節(jié)，則滿足《詩經(jīng)》必須排在后2節(jié),

《周易》和《禮記》必須分開安排的情形共有.

（2）、（2021?浙江）用0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的六位偶數(shù)，若有且僅有2個奇數(shù)相鄰，則

這樣的六位數(shù)共有（）

A.192個B.216個C.276個D.324個

【變式訓(xùn)練1-1］、（2021?全國?專題練習(xí)）為了紀念高中三年舍友之間留下的深厚情感，某宿舍的7位

同學(xué)決定站成一排合照留念，其中中間位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在兩側(cè)，則不同的安排

方法有（）.

A.232種B.464種C.288種D.576種

【變式訓(xùn)練1-2】、（2021?全國）從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中任取3個組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，當

三個數(shù)字中有2和3時，2需排在3的前面（不一定相鄰），這樣的三位數(shù)有（）

A.51個B.54個C.12個D.45個

題型二:簡單的組合問題

例2.（1）、（2022?陜西榆林?一模（理））已知某班英語興趣小組有4名男生和3名女生，從中任選2人

參加該校組織的英語演講比賽，則恰有1名女生被選到的概率是（）

23-45

A.—B.-C.—D.—

7777

（2）、（2022?全國?模擬預(yù)測）甲、乙兩名同學(xué)從生物、地理、政治、化學(xué)中各選兩門進行學(xué)習(xí)，若甲、

乙不能同時選生物，則甲、乙總的選法種數(shù)有（）

A.27B.36C.18D.24

【變式訓(xùn)練2-1】、（2022?山東濰坊.高三期末）如圖，某類共享單車密碼鎖的密碼是由4位數(shù)字組成，所

有密碼中，恰有三個重復(fù)數(shù)字的密碼個數(shù)為（）

A.90B.324C.360D.400

【變式訓(xùn)練2-2】、（2022?福建漳州?高二期末）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某校計劃在社會實踐中開

設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每天開設(shè)一門，連續(xù)開設(shè)6天，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.從六門課程中選兩門的不同選法共有20種

B.課程“數(shù)”不排在最后一天的不同排法共有600種

C.課程“禮”、“書”排在相鄰兩天的不同排法共有240種

D.課程“樂”、“射”、“御”排在都不相鄰的三天的不同排法共有72種

題型三:排隊形（座位、位置等）問題

例3.（1）、（2021?江西省銅鼓中學(xué)）某學(xué)習(xí)小組有3個男生和4個女生共7人：

（1）將此7人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種？

（2）將此7人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種？

（3）從中選出2名男生和2名女生分別承擔4種不同的任務(wù)，有多少種選派方法？

（4）現(xiàn)有7個座位連成一排，僅安排4個女生就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法共有多少種？

（2）、（2021?全國?高二專題練習(xí)）新冠疫情防控期間，某中學(xué)安排甲、乙，丙等7人負責(zé)某個周一至

周日的師生體溫情況統(tǒng)計工作，每天安排一人，且每人負責(zé)一天.若甲、乙、丙三人中任意兩人都不能安排

在相鄰的兩天，且甲安排在乙，丙之間，則不同的安排方法有種（用數(shù)字作答）.

【變式訓(xùn)練3-1】、（2021?全國?高二課時練習(xí)）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列，則兩位女同學(xué)相

鄰的排法有種.

【變式訓(xùn)練3-2]、（2021?全國?專題練習(xí)）為了紀念高中三年舍友之間留下的深厚情感，某宿舍的7位

同學(xué)決定站成一排合照留念，其中中間位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在兩側(cè)，則不同的安排

方法有（）.

A.232種B.464種C.288種D.576種

題型四:相鄰問題用捆綁法

例4.（1）、（2021?全國?高二課時練習(xí)）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的排

法有種.

（2）、（2020?海南?高二期末）甲、乙、丙、丁4個人站成一排合影，若甲和乙不相鄰，且丙和丁相鄰，則

不同的站法有種.

【變式訓(xùn)練4-1】、（2021?全國?高二課時練習(xí)）春節(jié)文藝匯演中需要將A,B,C,D,E,尸六個節(jié)目進行

排序，若A,B兩個節(jié)目必須相鄰，且都不能排在3號位置，則不同的排序方式有種.

【變式訓(xùn)練2-2],（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）3個學(xué)生和3個老師共6個人站成一排照相，有且

僅有兩個老師相鄰，則不同站法的種數(shù)是（結(jié)果用數(shù)字表示）.

題型五:不相鄰問題用插空法

例5.（1）、（2022?全國?高二）新年音樂會安排了2個唱歌、3個樂器和2個舞蹈共7個節(jié)目，則2個唱

歌節(jié)目不相鄰的節(jié)目單共有種.（用數(shù)字表示）

（2）、（2021?北京?北師大實驗中學(xué)高二期末）馬路上有12盞燈，為了節(jié)約用電，可以熄滅其中三盞燈，

但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰兩盞燈，那么熄燈的方法共有種.

【變式訓(xùn)練5-1】、（2021.全國?高二課時練習(xí)）電視臺在電視劇開播前連續(xù)播放6個不同的廣告，其中4

個商業(yè)廣告，2個公益廣告，現(xiàn)要求2個公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有種.（用排

列數(shù)回答）

【變式訓(xùn)練5-2】、（2021?福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）西湖龍井茶素來有“綠茶皇后”“十大名茶之

首”的稱號，按照產(chǎn)地品質(zhì)不同，西湖龍井茶可以分為“獅、龍、云、虎、梅”五個字號.某茶文化活動給西

湖龍井茶留出了三個展臺的位置，現(xiàn)在從五個字號的產(chǎn)品中任意選擇三個字號的茶參加展出活動，如果三

個字號中有“獅、梅”，則“獅”字號茶要排在“梅”字號茶前（不一定相鄰），則不同的展出方法有

種.（用數(shù)字作答）

題型六:定序問題

例6.（1）、（2022?全國?高三專題練習(xí)）7人排隊，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有一不同的排法.

（2）、（2021?浙江?模擬預(yù)測）若從L2,3,…,9這個9個整數(shù)中取出4個不同的數(shù)排成一排，依次記為a,b,c,d,

則使得ax6xc+d為偶數(shù)的不同排列方法有（）

A.1224B.1200

C.1080D.840

【變式訓(xùn)練6-1】、（2021.福建省寧德市教師進修學(xué)院高二期末）6位同學(xué)站成一排，要求甲乙丙站在一起

且乙必須在甲和丙中間，則不同排法有種.（用數(shù)字作答）

【變式訓(xùn)練6-2】、（2021?云南大理?模擬預(yù)測（理））2021年春節(jié)期間電影《你好，李煥英》因“搞笑幽默

不庸俗，真心實意不煽情”深受熱捧.某電影院為了做好防疫工作組織了5個服務(wù)管理小組，分配到3個影

廳進行服務(wù)和管理，若每個影廳至少分配1個服務(wù)管理小組，每個服務(wù)管理小組只能在1個影廳進行服務(wù)

和管理，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.125B.150C.243D.300

題型七:分組、分配與分堆

例7.（1）、（2021?全國?高二課時練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？

（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本；

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.

（2）、（2022.安徽省亳州市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）北京冬奧會于2022年2月4日開幕，北京某大學(xué)5

名同學(xué)報名到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，每個場館至少安排1名志愿者，則

不同的安排方法共有種（用數(shù)字作答）.

【變式訓(xùn)練7-1】、（2021?江蘇南通?模擬預(yù)測）在新型冠狀病毒肺炎疫情聯(lián)防聯(lián)控期間，某居委會從轄

區(qū)內(nèi)甲、乙、丙三個小區(qū)中選取6人做志愿者，協(xié)助防控和宣傳工作.若每個小區(qū)至少選取1人做志愿者，則

不同的選取方法有（）

A.10種B.20種C.540種D.1080種

【變式訓(xùn)練7-2】、（2022?黑龍江實驗中學(xué)模擬預(yù)測（理））為了做好新冠肺炎疫情常態(tài)化防控工作，推進

疫苗接種進度，降低新冠肺炎感染風(fēng)險，某醫(yī)院準備將2名醫(yī)生和6名護士分配到2所學(xué)校，設(shè)立疫苗接

種點，免費給學(xué)校老師和學(xué)生接種新冠疫苗，若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和3名護士，則不同的分配方法共

有種.

題型八:隔板法

例8.（1）、（2022?全國?高三專題練習(xí)）方程尤+y+z=ll的非負整數(shù)解共有組.

（2）、（2021?福建省漳州第一中學(xué)高二月考）將7個相同的球放入4個不同的盒子中，則每個盒子都有球

的放法種數(shù)為（）

A.22B.25C.20D.48

【變式訓(xùn)練8-1】、（2010?江蘇啟東.高二期中（理））6個相同的小球放入標號為1、2、3的3個小盒子中，

要求每個盒子都不空，共有方法總數(shù)為.

題型九:直接法與間接法

例9、（2021?江蘇?連云港市贛馬高級中學(xué)高二階段練習(xí)）現(xiàn)有9名學(xué)生，其中女生4名，男生5名.

（1）從中選2名代表，必須有女生的不同選法有多少種？

（2）從中選出男、女各2名的不同選法有多少種？

（3）從中選4人分別擔任四個不同崗位的志愿者，每個崗位一人，且男生中的甲與女生中的乙至少有1人

在內(nèi)，有多少種安排方法？

【變式訓(xùn)練9-1】、（2021.河北.河間市第十四中學(xué)高二期中）現(xiàn)有男選手3名，女選手5名，其中男女隊長

各1名.選派4人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（結(jié)果用數(shù)字表示）

（1）男選手2名，女選手2名；

（2）至少有1名男選手；

（3）既要有隊長，又要有男選手.

題型十:涂色問題

例10.（1）、（2021?廣東深圳）現(xiàn)有5種不同顏色要對如圖所示的五個部分進行著色，要求有公共邊

界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有（）

A.420種B.780種C.540種D.480種

（2）、（2021?吉林?汪清縣汪清第四中學(xué)）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相

鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有（）種.

A.24B.48C.72D.96

【變式訓(xùn)練10-1】、（2021?全國?（理））現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖中的四個不同區(qū)域進行

著色，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的著色方法的種數(shù)是

A.120B.140C.240D.260

【變式訓(xùn)練10-2】、（2022?安徽宿州.高二期末）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示，它是由四

個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個區(qū)域涂色，要

求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）

A.24種B.48種C.72種D.96種

五、分層訓(xùn)練

A組基礎(chǔ)鞏固

1.（2022?云南?昆明一中模擬預(yù)測（理））學(xué)校開展讀書活動，要求每位同學(xué)從《三國演義》、《紅樓夢》、

《水滸傳》、《西游記》四本中國名著中選不同的兩本，《復(fù)活》、《老人與?！穬杀就鈬羞x一本,

共選三本書進行閱讀賞析，則甲、乙兩人恰有兩本書選擇相同的概率為（）

A「B.2c.A.A

3512D15

2.（2022.安徽蚌埠.一模）為貫徹落實《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面深化新時代教師隊伍建設(shè)改革的意見》

精神，加強義務(wù)教育教師隊伍管理，推動義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展，安徽省全面實施中小學(xué)教師“縣管校聘”

管理改革，支持建設(shè)城鄉(xiāng)學(xué)校共同體.2022年暑期某市教體局計劃安排市區(qū)學(xué)校的6名骨干教師去4所鄉(xiāng)鎮(zhèn)

學(xué)校工作一年，每所學(xué)校至少安排1人，則不同安排方案的總數(shù)為（）

A.2640B.1440C.2160D.1560

3.（2022?湖北.天門市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測）甲乙丙丁四個同學(xué)星期天選擇到東湖公園，西湖茶經(jīng)樓,

歷史博物館和北湖公園其中一處去參觀游玩，其中茶經(jīng)樓必有人去，則不同的參觀方式共有（）種.

A.24B.96C.174D.175

4.（2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測（理））某中學(xué)響應(yīng)國家雙減政策，開設(shè)了乓乓球，羽毛球，書法,

小提琴四門選修課程，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選2門，初一到初三3學(xué)年將四門選修課程選完，則每位

同學(xué)的不同選修方式有（）

A.60種B.78種C.54種D.84種

5.（2022?黑龍江?哈爾濱三中模擬預(yù)測（理））哈三中招聘了8名教師，平均分配給南崗群力兩個校區(qū)，

其中2名語文教師不能分配在同一個校區(qū)，另外3名數(shù)學(xué)教師也不能全分配在同一個校區(qū)，則不同的分配

方案共有（）

A.18種B.24種C.36種D.48種

6.（2022?湖南?長沙一中模擬預(yù)測）將3本不同的畫冊和2本相同的圖冊分給甲、乙、丙三人，要求每人

至少1本畫冊或圖冊，則不同的分法共有（）

A.90種B.93種

C.96種D.99種

7.（2022?山東.模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會共計有7大項、15個分項以及109個小項目，其中北京承辦

所有冰上項目，延慶和張家口承辦所有的雪上項目北京成為奧運史上第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和

冬季奧林匹克運動會的城市.現(xiàn)有4名同學(xué)要報名參加冰雪興趣小組，要求雪上項目和冰上項目都至少有1

人參加，則不同的報名方案有（）

A.8B.14C.6D.20

8.（2022?全國?模擬預(yù)測）大約公元前300年，歐幾里得在他所著《幾何原本》中證明了算術(shù)基本定理：

每一個比1大的數(shù)（每個比1大的正整數(shù)）要么本身是一個素數(shù)，要么可以寫成一系列素數(shù)的乘積，如果

不考慮這些素數(shù)在乘積中的順序，那么寫出來的形式是唯一的，即任何一個大于1的自然數(shù)N（N不為素

數(shù)）能唯一地寫成N=pf（其中p,是素數(shù)，。，是正整數(shù)，P1<P2<L<PQ,將上

式稱為自然數(shù)N的標準分解式，且N的標準分解式中有%+%+…+為個素數(shù).從120的標準分解式中任取

3個素數(shù)，則一共可以組成不同的三位數(shù)的個數(shù)為（）

A.6B.13C.19D.60

9.（2022?福建泉州.模擬預(yù)測）面對突如其來的新冠疫情，全國人民眾志成城，齊心抗疫，甲、乙兩位老

師在上課之余.積極參加某社區(qū)的志愿活動，現(xiàn)該社區(qū)計劃連續(xù)三天行核酸檢測，需要多名志愿者協(xié)助工作，

因工作關(guān)系，甲、乙不能在同一天參加志愿活動，那么甲、乙每人至少參加其中一天的方案有（）

A.6種B.9種C.12種D.24種

10.（2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測（理））將4名大學(xué)生平均分成兩組，安排到甲、乙兩所中學(xué)進行

教學(xué)實習(xí)，并推選甲校張老師、乙校李老師作為指導(dǎo)教師，則不同的實習(xí)安排方案共有（）

A.24種B.12種C.6種D.A種

11.（2022?福建三明?模擬預(yù)測）某校為落實“雙減”政策.在課后服務(wù)時間開展了豐富多彩的體育興趣小組活

動,現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)擬參加籃球、足球、乒乓球、羽毛球四項活動，由于受個人精力和時間限制，

每人只能等可能的選擇參加其中一項活動，則恰有兩人參加同一項活動的概率為（）

12.（2022?湖北.黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）小林同學(xué)喜歡吃4種堅果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5種顏色的“每

日堅果”袋.每個袋子中至少裝1種堅果，至多裝4種堅果.小林同學(xué)希望五個袋子中所裝堅果種類各不相同,

且每一種堅果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（）

A.20160B.20220C.20280D.20340

13.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）給圖中A,B,C,D,E,B六個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只染一種顏

色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（）種不同的染色方案.

A.96B.144C.240D.360

14.（2022?河南鄭州?模擬預(yù)測（理））某學(xué)校文藝匯演準備從舞蹈、小品、相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦6個

節(jié)目中選取5個進行演出.要求舞蹈和小品必須同時參加，且他們的演出順序必須滿足舞蹈在前、小品在

后.那么不同的演出順序種數(shù)有（）

A.240種B.480種C.540種D.720種

15.（2022?山東煙臺?一模）“碳中和”是指企業(yè)、團體或個人等測算在一定時間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣

體排放總量,通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”.某

“碳中和”研究中心計劃派5名專家分別到A,B,C三地指導(dǎo)“碳中和”工作，每位專家只去一個地方，且每

地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為（）

A.90B.150C.180D.300

16.（2022?河南.模擬預(yù)測（理））將中國古代四大名著——《紅樓夢》《西游記》《水滸傳》《三國演義》，

以及《詩經(jīng)》等12本書按照如圖所示的方式擺放，其中四大名著要求放在一起，且必須豎放，《詩經(jīng)》《楚

辭》《呂氏春秋》要求橫放，若這12本書中7本豎放5本橫放，則不同的擺放方法共有種.

17.（2022?浙江省臨安中學(xué)模擬預(yù)測）中國古代十進制的算籌計數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造，算

籌實際上是一根根同長短的小木棍.如圖，是利用算籌表示數(shù)1~9的一種方法.例如：3可以表示為“三”，26

可以表示為“2現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1~9這9個數(shù)字表示兩位數(shù)的

個數(shù)為.

18.（2022?上海市青浦高級中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，由6x6=36個邊長為1個單位的小正方形組成一個大正

方形.某機器人從C點出發(fā),沿若小正方形的邊走到D點,每次可以向右走一個單位或者向上走一個單位.如

果要求機器人不能接觸到線段,那么不同的走法共有種.

19.（2022?遼寧?育明高中一模）一張節(jié)目單上原有8個節(jié)目，現(xiàn)臨時再插入A,B,C三個新節(jié)目，如果保

持原來8個節(jié)目的相對順序不變，節(jié)目B要排在另外兩個新節(jié)目之間（也可以不相鄰），則有

種不同的插入方法.（用數(shù)字作答）

20.（2022?重慶八中模擬預(yù)測）《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著.該書記述了

我國古代14種算法，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運

籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算和計數(shù).某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁四人，該小

組擬全部收集九宮算、運籌算、了知算、成數(shù)算和把頭算等5種算法的相關(guān)資料，要求每人至少收集其中

一種，且每種算法只由一個人收集，但甲不收集九宮算和了知算的資料，則不同的分工收集方案共有

__________種.

21.（2022?山東省實驗中學(xué)模擬預(yù)測）安排高二年級一、二兩個班一天的數(shù)、語、外、物、體，一班的化學(xué)及二

班的政治各六節(jié)課.要求體育課兩個班一起上，但不能排在第一節(jié)；由于選課之故，一班的化學(xué)和二班的

政治要安排在同一節(jié)；其他語、數(shù)、外、物四科由同一任課教師分班上課，則不同的排課表方法共有

種.

22.（2021?寧夏?石嘴山市第三中學(xué)模擬預(yù)測（理））2020年是全面建成小康社會的目標實現(xiàn)之年，也是全

面打贏脫貧攻堅戰(zhàn)的收官之年.為更好地將“精準扶貧”落到實處，某地安排7名干部（3男4女到三個貧困

村調(diào)研走訪，每個村安排男、女干部各1名，剩下1名干部負責(zé)統(tǒng)籌協(xié)調(diào)，則不同的安排方案有種

（用具體數(shù)字回答）.

23.（2021?安徽?二模（理））十二生肖是中國及東亞地區(qū)的一些民族用來代表年份的十二種動物.順序排

列為子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、巳蛇、午馬、未羊、申猴、酉雞、戌狗、亥豬.生肖也稱屬相，常常

用來代表人出生的年號.現(xiàn)有牛、虎、龍、馬屬相各1人，4人從吉祥物為牛、虎、龍、馬、猴的5件飾物

中隨機選一件，則恰有2人選中與屬相對應(yīng)的飾物的概率為.

24.（2021?安徽合肥?三模（理））為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校以班級為單位組織開展“走進革

命老區(qū)，學(xué)習(xí)黨史文化”研學(xué)游活動.該校高一年級部10個班級分別去3個革命老區(qū)開展研學(xué)游，每個班

級只去1個革命老區(qū)，每個革命老區(qū)至少安排3個班級，則不同的安排方法共有種（用數(shù)字作答）.

B組能力提升

25.（2017?江西南昌?一模（理））某校迎新晚會上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要

求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起.則該校迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有

A.120種B.156種C.188種D.240種

26.（2020?北京?二模）要排出高三某班一天中，語文、數(shù)學(xué)、英語各2節(jié)，自習(xí)課1節(jié)的功課表，其中上

午5節(jié)，下午2節(jié)，若要求2節(jié)語文課必須相鄰且2節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰（注意：上午第五節(jié)和下午第一節(jié)

不算相鄰），則不同的排法種數(shù)是（）

A.84B.54C.42D.18

27.（2019?甘肅?一模（理））《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳（約公元2世紀）

所著，該書主要記述了：積算（即籌算）太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把

頭、龜算、珠算計數(shù)14種計算器械的使用方法某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理14種計算器械的相關(guān)資

料，其中一人4種、另兩人每人5種計算器械，則不同的分配方法有（）

「405r5A2「4「505

C'CjoCA；J45c2j卜］0y

A.-Xj-B.D.UCC

28.（2022?甘肅?高臺縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））2021年某地電視臺春晚的戲曲節(jié)目，準備了經(jīng)典京居U、

豫劇、越劇、粵劇、黃梅戲、評劇6個劇種的各一個片段.對這6個劇種的演出順序有如下要求：京劇必

須排在前三，且越劇、粵劇必須排在一起，則該戲曲節(jié)目演出順序共有（）種.

A.120B.156C.188D.240

29.（2021?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）2020年我國進行了第七次全國人口普查，“大國點名，沒你不行”.在此次活

動中，某學(xué)校有2女、4男6名教師報名成為志愿者，現(xiàn)在有3個不同的社區(qū)需要進行普查工作，從這6名

志愿者中選派3名，每人去1個小區(qū)，每個小區(qū)去1名教師，其中至少要有1名女教師，則不同的選派方案有

多少種（）

A.16種B.20種C.96種D.120種

30.（2015?廣東汕頭?一模（理））如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)E域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)

域中途自，有四種顏色可供選擇.要求每個區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法

種數(shù)為

A.56B.72C.64D.84

31.（2020?山東省實驗中學(xué)一模）從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù)，每天安排

一人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當甲、乙兩人都參加時，他們參加社區(qū)服務(wù)

的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)

為.（用數(shù)字作答）

32.（2019?浙江湖州?一模）現(xiàn)有排成一排的7個不同的盒子，將紅、黃、藍、白顏色的4個小球全部放入

這7個盒子中，若每個盒子最多放一個小球，則恰有兩個空盒相鄰且紅球與黃球不相鄰的不同放法共有

種.（結(jié)果用數(shù)字表示）

33.（2019?湖南師大附中一模（理））習(xí)近平總書記在湖南省湘西州十八洞村考察時首次提出“精準扶貧”

概念，精準扶貧成為我國脫貧攻堅的基本方略.為配合國家精準扶貧戰(zhàn)略，某省示范性高中安排6名高級

教師（不同姓）到基礎(chǔ)教育薄弱的甲、乙、丙三所中學(xué)進行扶貧支教，每所學(xué)校至少1人，因工作需要，

其中李老師不去甲校，則分配方案種數(shù)為.

34.（2020?河北衡水中學(xué)三模（理））2020年初，我國突發(fā)新冠肺炎疫情.面對“突發(fā)災(zāi)難”，舉國上下心，

繼解放軍醫(yī)療隊于除夕夜飛抵武漢，各省醫(yī)療隊也陸續(xù)增援，紛紛投身疫情防控與病人救治之中.為分擔“逆

行者”的后顧之憂，某大學(xué)學(xué)生志愿者團隊開展“愛心輔學(xué)”活動，為抗疫前線工作者子女在線輔導(dǎo)功課.現(xiàn)隨

機安排甲、乙、丙3名志愿者為某學(xué)生輔導(dǎo)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物4門學(xué)科，每名志愿者至少輔導(dǎo)1門

學(xué)科，每門學(xué)科由1名志愿者輔導(dǎo)，則數(shù)學(xué)學(xué)科恰好由甲輔導(dǎo)的概率為.

35.（2018?浙江?一模）如圖，有7個白色正方形方塊排成一列，現(xiàn)將其中4塊涂上黑色，規(guī)定從左往右數(shù)，

無論數(shù)到第幾塊，黑色方塊總不少于白色方塊的涂法有種

36.（2019?湖北?一模（理））某共享汽車停放點的停車位排成一排且恰好全部空閑，假設(shè)最先來停車點停

車的3輛共享汽車都是隨機停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的

概率相等，則該停車點的車位數(shù)為.

37.（2020?浙江溫州?二模）將2個相同的紅球和2個相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個盒子里，其

中甲、乙盒子均最多可放入2個球，丙、丁盒子均最多可放入1個球，且不同顏色的球不能放入同一個盒

子里，共有種不同的放法.

38.（2020?山東?模擬預(yù)測）2020年春，新型冠狀病毒引發(fā)的疫情牽動著億萬人的心，八方馳援戰(zhàn)疫情，眾

志成城克時難，社會各界紛紛支援湖北，共抗新型冠狀病毒肺炎.某醫(yī)院派出了5名醫(yī)生和3名護士共8人

前往武漢參加救治工作.現(xiàn)將這8人分成兩組分配到兩所醫(yī)院去，若要求每組至多5人，且護士所在組必須

有醫(yī)生，則不同的分配方案共有種（用數(shù)字作答）.

39.（2014.北京石景山?一模（理））各大學(xué)在高考錄取時采取專業(yè)志愿優(yōu)先的錄取原則.一考生從某大學(xué)

所給的7個專業(yè)中，選擇3個作為自己的第一、二、三專業(yè)志愿，其中甲、乙兩個專業(yè)不能同時兼報，則該

考生有種不同的填報專業(yè)志愿的方法（用數(shù)字作答）.

C組真題實戰(zhàn)練

40.（2019?全國?高考真題（理））我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上

排列的6個爻組成，爻分為陽爻“一”和陰爻“——"，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則

該重卦恰有3個陽爻的概率是

,5r11-21r11

A.—B.—C.—D.—

16323216

41.（2021?全國?高考真題（理））將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個

項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

42.（2016?全國?高考真題（理））如圖，小明從街道的E處出