人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：6 2 3-6 2 4 第2課時 組合數(shù)公式

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE1第2課時組合數(shù)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式.2.能運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算.3.會用組合數(shù)公式解決一些簡單的組合問題．知識點(diǎn)一組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1.知識點(diǎn)二組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).1．Ceq\o\al(2019,2020)＝________.〖答案〗20202．Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,2)＝________.〖答案〗33．若Ceq\o\al(m,7)＝21，Ceq\o\al(m,6)＝15，則Ceq\o\al(m－1,6)＝________.〖答案〗64．方程Ceq\o\al(x,5)＝Ceq\o\al(2,5)，則x＝________.〖答案〗2或3一、組合數(shù)公式的應(yīng)用命題角度1化簡與求值例1－1求值：(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)；(2)Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n).解(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)＝3×eq\f(8×7×6,3×2×1)－2×eq\f(5×4,2×1)＝148.(2)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(38－n≤3n，,3n≤21＋n，))∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，∴Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)＝Ceq\o\al(28,30)＋Ceq\o\al(30,31)＝Ceq\o\al(2,30)＋Ceq\o\al(1,31)＝466.命題角度2與組合數(shù)有關(guān)的證明例1－2證明：mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al(m－1,n－1).證明mCeq\o\al(m,n)＝m·eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(n·n－1！,m－1！n－m！)＝n·eq\f(n－1！,m－1！n－m！)＝nCeq\o\al(m－1,n－1).命題角度3與組合數(shù)有關(guān)的方程或不等式例1－3(1)(多選)若Ceq\o\al(4,n)>Ceq\o\al(6,n)，則n的可能取值有()A．6B．7C．8D．9〖答案〗ABCD〖解析〗由Ceq\o\al(4,n)>Ceq\o\al(6,n)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n！,4！n－4！)>\f(n！,6！n－6！)，,n≥6))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2－9n－10<0，,n≥6))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<n<10，,n≥6，))又n∈N*，則n＝6,7,8,9.∴該不等式的解集為{6,7,8,9}．(2)已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，求Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8).解∵eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，∴eq\f(m！5－m！,5！)－eq\f(m！6－m！,6！)＝eq\f(7×7－m！m！,10×7！)，即eq\f(m！5－m！,5！)－eq\f(m！6－m5－m！,6×5！)＝eq\f(7×m！7－m6－m5－m！,10×7×6×5！)，∴1－eq\f(6－m,6)＝eq\f(7－m6－m,60)，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21.∵0≤m≤5，m∈N*，∴m＝2，∴Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8)＝Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝Ceq\o\al(3,9)＝84.反思感悟(1)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)一般用于計(jì)算，而組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)一般用于含字母的式子的化簡與證明．(2)要善于挖掘題目中的隱含條件，簡化解題過程，如組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)的隱含條件為m≤n，且m，n∈N*.(3)計(jì)算時應(yīng)注意利用組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).跟蹤訓(xùn)練1(1)計(jì)算：Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(2)證明：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1).(1)解Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2)＋200＝4950＋200＝5150.(2)證明eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1)＝eq\f(n,n－m)·eq\f(n－1！,m！n－1－m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)＝Ceq\o\al(m,n).二、有限制條件的組合問題例2課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊(duì)長，現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊(duì)長當(dāng)選；(2)至多有兩名女生當(dāng)選；(3)既要有隊(duì)長，又要有女生當(dāng)選．解(1)Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(種)．(2)至多有2名女生當(dāng)選含有三類：有2名女生當(dāng)選；只有1名女生當(dāng)選；沒有女生當(dāng)選，所以共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966(種)選法．(3)分兩類：第一類女隊(duì)長當(dāng)選，有Ceq\o\al(4,12)＝495(種)選法，第二類女隊(duì)長沒當(dāng)選，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)＝295(種)選法，所以共有495＋295＝790(種)選法．反思感悟有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類(1)“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計(jì)數(shù)．(2)“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對立面，確保不重不漏．跟蹤訓(xùn)練2某食堂每天中午準(zhǔn)備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯．則每天不同午餐的搭配方法共有()A．210種B．420種C．56種D．22種〖答案〗A〖解析〗由分類加法計(jì)數(shù)原理知，兩類配餐的搭配方法之和即為所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,7)＝210(種)．三、分組、分配問題命題角度1平均分組例3－1(1)6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有多少種方法？(2)6本不同的書，分為三份，每份兩本，有多少種方法？解(1)先從6本書中選2本給甲，有Ceq\o\al(2,6)種方法；再從其余的4本中選2本給乙，有Ceq\o\al(2,4)種方法；最后從余下的2本書中選2本給丙，有Ceq\o\al(2,2)種方法，所以分給甲、乙、丙三人，每人2本，共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90(種)方法．(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步，分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步，再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)，有Aeq\o\al(3,3)種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝xAeq\o\al(3,3)，所以x＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15.因此分為三份，每份兩本，一共有15種方法．命題角度2不平均分組例3－2(1)6本不同的書，分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本，有多少種方法？(2)6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本，有多少種不同的方法？解(1)這是“不平均分組”問題，一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60(種)方法．(2)在(1)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360(種)方法．命題角度3分配問題例3－36本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種不同的方法？解可以分為三類情況：①“2,2,2型”，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90(種)方法；②“1,2,3型”，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360(種)方法；③“1，1,4型”，有Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(3,3)＝90(種)方法，所以一共有90＋360＋90＝540(種)方法．反思感悟“分組”與“分配”問題的解法(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等，均勻分成n組，最后必須除以n??；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n??；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．跟蹤訓(xùn)練3將4個編號為1,2,3,4的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子中．(1)有多少種放法？(2)每盒至多1個球，有多少種放法？(3)恰好有1個空盒，有多少種放法？(4)每個盒內(nèi)放1個球，并且恰好有1個球的編號與盒子的編號相同，有多少種放法？(5)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？解(1)每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球一個一個放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(種)放法．(2)這是全排列問題，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)放法．(3)方法一先將4個小球分為3組，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))種方法，再將3組小球投入4個盒子中的3個盒子，有Aeq\o\al(3,4)種投放方法，故共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,4)＝144(種)放法．方法二先取4個球中的2個“捆”在一起，有Ceq\o\al(2,4)種選法，把它與其他2個球共3個元素分別放入4個盒子中的3個盒子，有Aeq\o\al(3,4)種投放方法，所以共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)＝144(種)放法．(4)1個球的編號與盒子編號相同的選法有Ceq\o\al(1,4)種，當(dāng)1個球與1個盒子的編號相同時，用局部列舉法可知其余3個球的投入方法有2種，故共有Ceq\o\al(1,4)·2＝8(種)放法．(5)先從4個盒子中選出3個盒子，再從3個盒子中選出1個盒子放入2個球，余下2個盒子各放1個，由于球是相同的即沒有順序，所以屬于組合問題，故共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＝12(種)放法．與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題典例如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點(diǎn)C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個點(diǎn)D1，D2，D3，D4.(1)以這10個點(diǎn)中的3個點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個三角形？其中含C1點(diǎn)的有多少個？(2)以圖中的12個點(diǎn)(包括A，B)中的4個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個四邊形？解(1)方法一可作出三角形Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)＝116(個)．其中以C1為頂點(diǎn)的三角形有Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝36(個)．方法二可作三角形Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,4)＝116(個)，其中以C1為頂點(diǎn)的三角形有Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝36(個)．(2)可作出四邊形Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,6)＝360(個)．〖素養(yǎng)提升〗(1)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法．(2)把一個與幾何相關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為組合問題，此題目的解決體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．1．Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(5,7)的值為()A．72B．36C．30D．42〖答案〗B〖解析〗Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(5,7)＝Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(6×5,2×1)＋eq\f(7×6,2×1)＝15＋21＝36.2．若Ceq\o\al(2,n)＝28，則n的值為()A．9B．8C．7D．6〖答案〗B〖解析〗因?yàn)镃eq\o\al(2,n)＝28，所以eq\f(1,2)n(n－1)＝28，又n∈N*，所以n＝8.3．若Ae