2024-2025版高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.3.2.1簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案新人教A版必修5

PAGE3.3.2簡潔的線性規(guī)劃問題第1課時簡潔的線性規(guī)劃問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解線性規(guī)劃的意義,能依據(jù)線性約束條件畫出可行域,能建立目標(biāo)函數(shù).(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模)2.理解并初步運用線性規(guī)劃的圖解法解決簡潔的線性規(guī)劃問題.(直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)3.理解目標(biāo)函數(shù)的最大、小值與其對應(yīng)直線的截距的關(guān)系.(直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是線性規(guī)劃?線性規(guī)劃的基本概念有哪些?2.如何求目標(biāo)函數(shù)的最值?1.線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x,y組成的不等式組線性約束條件由x,y的一次不等式組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x,y的函數(shù)解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿意線性約束條件的解(x,y)可行域全部可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題(1)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解肯定存在嗎?提示:不肯定.當(dāng)可行域是開放區(qū)域,可行域的邊界取不到時可能沒有最優(yōu)解.(2)可行域右上方的頂點肯定是最優(yōu)解嗎?提示:不肯定.要依據(jù)目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線特點,即在y軸上的截距的意義確定.(3)在線性約束條件下,最優(yōu)解唯一嗎?提示:不肯定,可能只有一個,可能有多個,也可能有多數(shù)個.2.線性目標(biāo)函數(shù)的最值線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b≠0)對應(yīng)的斜截式直線方程是y=-QUOTEx+QUOTE,它表示斜率為-QUOTE,在y軸上的截距是QUOTE的一條直線,當(dāng)z改變時,方程表示一組相互平行的直線.當(dāng)b>0,截距最大時,z取得最大值,截距最小時,z取得最小值;當(dāng)b<0,截距最大時,z取得最小值,截距最小時,z取得最大值.(1)若將目標(biāo)函數(shù)z=x+y看成直線方程時,z具有怎樣的幾何意義?提示:把目標(biāo)函數(shù)整理可得y=-x+z,z為直線在y軸上的截距.(2)z值的大小與直線2x-y-z=0的縱截距有何關(guān)系?提示:z隨直線的縱截距的增大而變小.1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)若線性規(guī)劃問題存在最優(yōu)解,它只能在可行域的某個頂點達(dá)到.()(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的.()(3)若目標(biāo)函數(shù)為z=x-y,則z的幾何意義是直線z=x-y的截距.()提示:(1)×.存在最優(yōu)解,但不肯定只在頂點達(dá)到.(2)×.最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.最優(yōu)解不肯定唯一,有時唯一,有時有多個.(3)×.z的幾何意義是直線z=x-y的截距的相反數(shù).2.設(shè)x,y滿意約束條件QUOTE則z=2x+y的最小值是()A.-15 B.-9 C.1 D.9【解析】選A.畫出約束條件QUOTE所表示的可行域如圖所示,將z=2x+y化為y=-2x+z,得到斜率為-2,在y軸上的截距為z的一族平行直線.由圖可知,當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點C時,截距z最小,由QUOTE解得QUOTE所以C(-6,-3),所以zmin=2×(-6)-3=-15.3.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)若QUOTE則z=x-y的最大值為.

【解析】依據(jù)題意作出不等式組所表示的可行域如圖陰影部分所示.令z=0,作直線l:y-x=0.當(dāng)直線l向下平移時,所對應(yīng)的z=x-y的函數(shù)值隨之增大,當(dāng)直線l經(jīng)過可行域的頂點M時,z=x-y取得最大值.頂點M是直線x+y=1與直線y=0的交點,解方程組QUOTE得頂點M的坐標(biāo)為(1,0),代入z=x-y,得zmax=1.答案:1關(guān)鍵實力·合作學(xué)習(xí)類型一線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題(直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)1.(2024·浙江高考)若實數(shù)x,y滿意約束條件QUOTE則z=3x+2y的最大值是()A.-1 B.1 C.10 D.122.若x,y滿意約束條件QUOTE則z=4x+2y的最小值為()A.-17 B.-13 C.QUOTE D.203.(2024·全國Ⅲ卷)若x,y滿意約束條件QUOTE則z=3x+2y的最大值為.

【解析】1.選C.由線性約束條件可得可行域為圖中陰影部分所示:由QUOTE解得QUOTE所以A(2,2),所以zmax=3×2+2×2=10.2.選B.該可行域是一個以AQUOTE,B(4,2),CQUOTE為頂點的三角形區(qū)域(包括邊界).當(dāng)動直線y=-2x+QUOTE過點CQUOTE時,z取得最小值,此時z=4×QUOTE+2×QUOTE=-13.3.不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界),因為z=3x+2y,所以y=-QUOTE+QUOTE,易知截距QUOTE越大,則z越大,平移直線y=-QUOTE,當(dāng)y=-QUOTE+QUOTE經(jīng)過A點時截距最大,此時z最大,由QUOTE,得QUOTE,A(1,2),所以zmax=3×1+2×2=7.答案:7解線性規(guī)劃問題的一般步驟(1)畫:在直角坐標(biāo)平面上畫出可行域和直線ax+by=0(目標(biāo)函數(shù)為z=ax+by);(2)移:平行移動直線ax+by=0,確定使z=ax+by取得最大值或最小值的點;(3)求:求出取得最大值或最小值的點的坐標(biāo)(解方程組)及最大值和最小值;(4)答:給出正確答案.【補償訓(xùn)練】1.若實數(shù)x,y滿意約束條件QUOTE則z=x+y的最大值是()A.0 B.1 C.6 D.7【解析】選C.作出實數(shù)x,y滿意的約束條件QUOTE對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:(陰影部分).由z=x+y得y=-x+z,平移直線y=-x+z,由圖象可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點A時,直線y=-x+z的截距最大,此時z最大.由QUOTE解得AQUOTE.代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y得z=QUOTE+QUOTE=6.即目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為6.2.已知(x0,y0)為線性區(qū)域QUOTE內(nèi)的一點,若2x0-y0-c<0恒成立,則c的取值范圍是()A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.(1,+∞) D.[1,+∞)【解析】選A.由已知得到可行域D如圖,由圖可知,對隨意(x0,y0)∈D,不等式2x0-y0-c<0恒成立,即c>2x-y恒成立,即c>(2x-y)max,當(dāng)直線z=2x-y經(jīng)過圖中B(1,0)時,z最大為2,所以c>2.3.(2024·北京高考)若x,y滿意x+1≤y≤2x,則2y-x的最小值是.

【解析】x+1≤y≤2x等價于不等式組QUOTE畫出可行域如圖,令z=2y-x,化為斜截式得y=QUOTEx+QUOTEz,直線斜率為QUOTE,在y軸上的截距為QUOTEz,直線越往下,QUOTEz越小,z越小,由QUOTE得最優(yōu)解為(1,2),所以z=2y-x的最小值為3.答案:3類型二線性規(guī)劃中的參數(shù)問題(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【典例】1.x,y滿意約束條件QUOTE,若z=kx+y取得最大值的最優(yōu)解有多數(shù)個,則實數(shù)k的值為()A.-1 B.0 C.1 D.-1或02.若x,y滿意QUOTE且2x+y的最小值為1,則實數(shù)m的值為()A.-5 B.-1 C.1 D.5【思路導(dǎo)引】1.利用目標(biāo)函數(shù)與可行域邊界平行求解.2.作出可行域,用m表示最優(yōu)解,利用最小值求m的值.【解析】1.選A.不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由z=kx+y得y=-kx+z,當(dāng)k=0時,直線y=-kx+z=z,此時取得最大值的最優(yōu)解只有一個,不滿意條件;當(dāng)-k>0時,直線y=-kx+z截距取得最大值時,z取得最大值,直線與x=y重合時,最大值有多數(shù)個,則-k=1,解得k=-1;當(dāng)-k<0時,目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解只有一個,不滿意題意.2.選B.畫出滿意條件的平面區(qū)域,如圖所示:由QUOTE,解得A(2m+3,m),設(shè)z=2x+y,則y=-2x+z,明顯直線過A(2m+3,m)時,z最小,所以4m+6+m=1,解得:m=-1.數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)問題首先要嫻熟線性規(guī)劃問題的求解步驟和確定最優(yōu)解的方法,其次要明確線性目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點或邊界處取得,對邊界直線的斜率與目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線的斜率要比照分析.1.已知x,y滿意約束條件QUOTE若目標(biāo)函數(shù)z=mx+y的最大值為-2,則實數(shù)m的值為()A.3 B.-3 C.3或-3 D.0或3【解析】選B.不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示.由題意得m+1=-2,得m=-3.2.設(shè)x,y滿意約束條件QUOTE且z=x+ay的最小值為7,則a=()A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3【解析】選B.當(dāng)a=-5時,作出不等式組表示的可行域,如圖甲(陰影部分).由QUOTE得交點A(-3,-2),則目標(biāo)函數(shù)z=x-5y過A點時取得最大值.zmax=-3-5×(-2)=7,不滿意題意,解除A,C選項.當(dāng)a=3時,作出不等式組表示的可行域,如圖乙(陰影部分).由QUOTE得交點B(1,2),則目標(biāo)函數(shù)z=x+3y過B點時取得最小值.zmin=1+3×2=7,滿意題意.當(dāng)a=5時,同理可求當(dāng)過C(2,3)時,z最小為17,不符合題意故解除D.3.如圖所示的平面區(qū)域,若使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個,則a的值為.

【解析】因為z可看作是z=ax+y在y軸上的截距,由可行域可知,當(dāng)z=ax+y與AC重合時,使z取得最大值的點有無窮多個,又kAC=QUOTE=-QUOTE,所以-a=-QUOTE,a=QUOTE.答案:QUOTE【拓展延長】1.含參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)問題的求解策略(1)約束條件中含有參數(shù):此時可行域是可變的,應(yīng)分狀況作出可行域,結(jié)合條件求出不同狀況下的參數(shù)值.(2)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù):此時目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線是可變的,假如斜率肯定,則對直線作平移變換;假如斜率可變,則要利用斜率與傾斜角間的大小關(guān)系分狀況確定最優(yōu)解的位置,從而求出參數(shù)的值.2.直線的斜率k與傾斜角α的關(guān)系(1)0<k1<k2時,0<α1<α2<QUOTE;(2)k1<k2<0時,QUOTE<α1<α2.即當(dāng)斜率同為正或同為負(fù)時,均滿意斜率越大,傾斜角越大,可以通過斜率來比較目標(biāo)函數(shù)與邊界傾斜程度的大小,從而確定最優(yōu)解的位置.【拓展訓(xùn)練】(1)設(shè)x,y滿意不等式組QUOTE若z=ax+y的最大值為2a+4,最小值為a+1,則實數(shù)a的取值范圍為()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由約束條件QUOTE作出可行域如圖所示,則A(1,1),B(2,4),由z=ax+y得y=-ax+z,直線y=-ax+z是斜率為-a,y軸上的截距為z的直線,因為z=ax+y的最大值為2a+4,最小值為a+1,所以直線z=ax+y過點B時,取得最大值為2a+4,經(jīng)過點A時取得最小值為a+1,若a=0,則y=z,此時滿意條件;若a>0,則目標(biāo)函數(shù)斜率k=-a<0,要使目標(biāo)函數(shù)在A處取得最小值,在B處取得最大值,則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿意-a≥kAC=-2,即0<a≤2;若a<0,則目標(biāo)函數(shù)斜率k=-a>0,要使目標(biāo)函數(shù)在A處取得最小值,在B處取得最大值,則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿意-a≤kBC=QUOTE,即-QUOTE≤a<0,綜上-QUOTE≤a≤2.(2)已知約束條件QUOTE且目標(biāo)函數(shù)z=a2x+(a-2-a2)y取得最小值的最優(yōu)解唯一,為(2,2),則a的取值范圍是.

【解析】線性約束條件所表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示.由于目標(biāo)函數(shù)y的系數(shù)a-2-a2=-QUOTE-QUOTE<0,x的系數(shù)a2≥0,故平行直線系z=a2x+(a-2-a2)y的斜率QUOTE>0.由于是最小值問題且最優(yōu)解唯一,為圖中的點A(2,2),從而只需QUOTE<QUOTE,解得QUOTE<a<QUOTE.答案:QUOTE【補償訓(xùn)練】(1)若x,y滿意約束條件QUOTE且z=ax+y的最大值為2a+6,則a的取值范圍是()A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)【解析】選A.作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖,(陰影部分).由z=ax+y,得y=-ax+z,平移直線y=-ax+z,要使z=ax+y的最大值為2a+6,即直線y=-ax+z經(jīng)過點A(2,6)時,截距最大,則目標(biāo)函數(shù)的斜率-a滿意-a≤1,解得a≥-1.(2)設(shè)z=kx+y,其中實數(shù)x,y滿意QUOTE若z的最大值為12,則實數(shù)k=.

【解析】作出可行域如圖陰影部分所示:由圖可知當(dāng)0≤-k<QUOTE時,直線y=-kx+z經(jīng)過點M(4,4)時,z最大,所以4k+4=12,解得k=2(舍去);當(dāng)-k≥QUOTE時,直線y=-kx+z經(jīng)過點(0,2)時,z最大,此時z的最大值為2,不合題意;當(dāng)-k<0時,直線y=-kx+z經(jīng)過點M(4,4)時,z最大,所以4k+4=12,解得k=2,符合題意.綜上可知,k=2.答案:2類型三非線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模)角度1轉(zhuǎn)化為距離問題【典例】設(shè)x,y滿意約束條件QUOTE,則z=(x+1)2+y2的最大值為()A.41 B.5 C.25 D.1【思路導(dǎo)引】z=(x+1)2+y2=QUOTE,轉(zhuǎn)化為求(x,y),(-1,0)兩點之間的距離的平方.【解析】選A.依據(jù)x,y滿意約束條件QUOTE,畫出可行域:z=(x+1)2+y2=QUOTE表示D(-1,0)到可行域內(nèi)某點的距離的平方,由QUOTE解得A(3,5),當(dāng)點D與點A(3,5)連線時,AD距離最大,則z=(x+1)2+y2的最大值是A(3,5)到D(-1,0)的距離的平方為41.本例的條件不變,試求z=(x+1)2+y2的最小值.【解析】由本例中的可行域可知,z=(x+1)2+y2的最小值為點(-1,0)到直線x+y=0距離的平方,故所求的最小值為QUOTE=QUOTE.角度2轉(zhuǎn)化為斜率問題

【典例】已知實數(shù)x,y滿意不等式組QUOTE則z=QUOTE的最大值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【思路導(dǎo)引】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,把所求問題轉(zhuǎn)化為(x,y),(-3,0)兩點之間的斜率即可得到結(jié)論.【解析】選C.如圖,陰影部分為可行域,目標(biāo)函數(shù)z=QUOTE表示可行域中點(x,y)與(-3,0)連線的斜率,由圖可知點P(1,3)與(-3,0)連線的斜率最大,故z的最大值為QUOTE.已知實數(shù)x,y滿意QUOTE,則QUOTE的最大值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選D.作出實數(shù)x,y滿意QUOTE對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:QUOTE的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點D(-3,0)的斜率,由圖象知DA的斜率最大,由QUOTE得A(-2,1),則DA的斜率k=QUOTE=1,則QUOTE的最大值為1.角度3轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題【典例】已知QUOTE求z=|x+2y-4|的最大值.【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.方法一:z=|x+2y-4|=QUOTE×QUOTE,其幾何意義為陰影區(qū)域內(nèi)的點到直線x+2y-4=0的距離的QUOTE倍.由QUOTE得點C的坐標(biāo)為(7,9),明顯點C到直線x+2y-4=0的距離最大,此時zmax=21.方法二:由圖可知,陰影區(qū)域(可行域)內(nèi)的點都在直線x+2y-4=0的上方,明顯此時有x+2y-4>0,于是目標(biāo)函數(shù)等價于z=x+2y-4,明顯當(dāng)直線經(jīng)過點C時,z取得最大值,由QUOTE得點C的坐標(biāo)為(7,9),此時zmax=21.非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求解策略(1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(x,y)與點(a,b)距離的平方;特殊地,z=x2+y2型的目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方.(2)z=QUOTE型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(x,y)與點(a,b)連線的斜率.(3)z=|Ax+By+C|可轉(zhuǎn)化為點(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離的QUOTE倍.易錯警示:目標(biāo)函數(shù)z=x2+y2的幾何意義易錯誤理解為可行域內(nèi)的點到原點的距離.1.已知實數(shù)x,y滿意約束條件QUOTE,則目標(biāo)函數(shù)z=QUOTE的最小值為()A.-QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解題指南】變形:QUOTE=QUOTE,轉(zhuǎn)化為兩點連線的斜率求最小值.【解析】選B.作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:目標(biāo)函數(shù)z=QUOTE的幾何意義為可行域內(nèi)的動點M(x,y)和定點D(-1,2)連線的斜率,當(dāng)M位于AQUOTE時,DA的斜率最小,此時zmin=QUOTE=-QUOTE.2.實數(shù)x,y滿意不等式組QUOTE則W=QUOTE的取值范圍是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.畫出題中不等式組所表示的可行域如圖所示,目標(biāo)函數(shù)W=QUOTE表示陰影部分的點與定點A(-1,1)的連線的斜率,由圖可知點(-1,1)與點(1,0)連線的斜率為最小值,最大值趨近于1,但恒久達(dá)不到1,故-QUOTE≤W<1.3.已知實數(shù)x,y滿意約束條件QUOTE則z=|3x-4y-12|的最小值等于.

【解析】實數(shù)x,y滿意約束條件QUOTE其可行域為如圖所示的陰影部分.由z=|3x-4y-12|的幾何意義是可行域內(nèi)的點到直線3x-4y-12=0的距離的5倍,由可行域可知,B到直線3x-4y-12=0的距離最小,且B(2,0),則z=|3x-4y-12|的最小值為:|3×2-4×0-12|=6.答案:6課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.(教材二次:開發(fā)練習(xí)改編)若x,y滿意QUOTE則z=x+3y的最小值為()A.-6 B.-1 C.3 D.4【解析】選B.作出不等式組表示的平面區(qū)域:得到如圖的陰影部分,其中A(2,-1),設(shè)z=F(x,y)=x+3y,將直線l:z=x+3y進(jìn)行平移,視察直線在y軸上的截距的改變,可得當(dāng)l經(jīng)過點A時,目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值.所以z最小值=F(2,-1)=-1.2.已知實數(shù)x,y滿意QUOTE則z=x+2y的最大值為()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選C.作出不等