2024-2025學年高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.3.3函數(shù)的最大小值與導數(shù)學案含解析新人教A版選修1-1

PAGE3.3.3函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.理解函數(shù)最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)分與聯(lián)系．2.會求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值.利用直觀抽象提升數(shù)學運算和邏輯推理授課提示：對應學生用書第68頁[基礎相識]學問點一函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值eq\a\vs4\al(預習教材P96－98，思索并完成以下問題)極值反映的是函數(shù)在某一點旁邊的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)．也就是說，假如x0是f(x)的極大(小)值點，那么在點x0旁邊找不到比f(x0)更大(或更小)的值．但是，在解決實際問題或探討函數(shù)的性質(zhì)時，我們往往更關切函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個值最大，哪個值最小．如何求函數(shù)的最值呢？如圖為y＝f(x)，x∈[a，b]的圖象．(1)視察[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象，試找出它的極大值、微小值．(2)結合圖象推斷，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？(3)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值肯定是某極值嗎？提示：(1)極大值為f(x1)，f(x3)，微小值為f(x2)，f(x4)．(2)存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．(3)不肯定，也可能是區(qū)間端點的函數(shù)值．學問梳理函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連綿不斷的曲線，則該函數(shù)在[a，b]上肯定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在端點處或極值點處取得．學問點二求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最值的步驟學問梳理(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值．(2)求函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．學問點三最值與極值的區(qū)分與聯(lián)系eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)(1)極值是對某一點旁邊(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言．(2)在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個，但最大(小)值只有一個(或者沒有)．(3)函數(shù)f(x)的極值點為定義域中的內(nèi)點，而最值點可以是區(qū)間的端點．(4)對于可導函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得．如圖是y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)圖象．求函數(shù)f(x)的極大(小)值，最大(小)值在什么位置取到？提示：明顯f(x1)，f(x3)，f(x5)為極大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)為微小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分別在x＝x3及x＝b處取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4處取得．[自我檢測]1．函數(shù)f(x)＝ex－x在區(qū)間[－1,1]上的最大值是()A．1＋eq\f(1,e) B．1C．e－1 D．e＋1答案：C2．函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|<1)()A．有最大值，但無最小值B．有最大值，也有最小值C．無最大值，但有最小值D．既無最大值，也無最小值答案：D授課提示：對應學生用書第69頁探究一求函數(shù)的最值[閱讀教材P97例5]求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4在[0,3]上的最大值與最小值．題型：利用導數(shù)求函數(shù)的最值．方法步驟：①先求導．②求函數(shù)在(0,3)上的極值．③將函數(shù)的極值和端點處的函數(shù)值比較，得出最大值與最小值．[例1]求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－eq\r(3)，3]；(2)f(x)＝x2－eq\f(54,x)(x<0)．[解析](1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，當x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x－eq\r(3)(－eq\r(3)，－1)－1(－1,1)1(1,3)3f′(x)－0＋0－f(x)0微小值極大值－18所以x＝1和x＝－1是函數(shù)在[－eq\r(3)，3]上的兩個極點，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.又因為f(x)在區(qū)間端點處的取值為f(－eq\r(3))＝0，f(3)＝－18.所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.(2)f′(x)＝2x＋eq\f(54,x2).令f′(x)＝0得x＝－3.當x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x(－∞，－3)－3(－3,0)f′(x)－0＋f(x)微小值所以x＝－3時，f(x)取得微小值，也就是最小值，故f(x)的最小值為f(－3)＝27，無最大值．方法技巧1.求函數(shù)的最值，明顯求極值是關鍵的一步．若僅僅是求最值，可用下面簡化的方法求得：(1)求出導數(shù)為零的點．(2)比較這些點與端點處函數(shù)值的大小，就可求出函數(shù)的最大值和最小值．2．若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)且單調(diào)，則最大、最小值在端點處取得．跟蹤探究1.求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．解析：(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.當x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表x－2(－2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37極大值3微小值－535∴當x＝4時，f(x)取最大值35.當x＝－2時，f(x)取最小值－37，即f(x)的最大值為35，最小值為－37.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]內(nèi)恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上為增函數(shù)．故x＝－1時，f(x)min＝－12；x＝1時，f(x)max＝2；即f(x)的最小值為－12，最大值為2.探究二含參數(shù)的函數(shù)的最值問題[例2]已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．[解析](1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)．令f′(x)<0，得x<－1或x>3，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)因為f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．因為在[－1,3]上f′(x)>0，所以f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞增，所以f(－1)是f(x)的最小值，且f(－1)＝a－5，所以f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.所以f(－1)＝－2－5＝－7，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最小值為－7.[例3]已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值．[解析](1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.當x改變時，f(x)與f′(x)的改變狀況如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．(2)當k－1≤0，即k≤1時，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增．所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)＝－k，當0<k－1<1，即1<k<2時，由(1)知f(x)在[0，k－1]上單調(diào)遞減，在(k－1,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1.當k－1≥1，即k≥2時，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減．所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.綜上可知，當k≤1時，f(x)min＝－k；當1<k<2時，f(x)min＝－ek－1；當k≥2時，f(x)min＝(1－k)e.方法技巧求解含參數(shù)函數(shù)的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)的導數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的全部實根，同時依據(jù)參數(shù)的范圍，推斷f′(x)＝0的根是否在區(qū)間[a，b]內(nèi)；(3)依據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)的極大值、微小值；(4)將函數(shù)的極值與端點處的函數(shù)值進行比較，求出函數(shù)的最大值、最小值．跟蹤探究2.設函數(shù)f(x)＝aex＋eq\f(1,aex)＋b(a>0)，求f(x)在[0，＋∞)內(nèi)的最小值．解析：f′(x)＝aex－eq\f(1,aex)，令f′(x)＝0，得x＝－lna.當x>－lna時，f′(x)>0；當x<－lna時，f′(x)<0.當0<a<1時，－lna>0，所以f(x)在(0，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增，從而f(x)在[0，＋∞)內(nèi)的最小值為f(－lna)＝2＋b；當a≥1時，－lna≤0，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，從而f(x)在[0，＋∞)內(nèi)的最小值為f(0)＝a＋eq\f(1,a)＋b.探究三函數(shù)最值的應用[教材P99習題3.3B組1(4)題]證明不等式lnx<x<ex(x>0)．證明：令f(x)＝lnx－x(x>0)，g(x)＝x－ex(x>0)，∵f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，g′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0，g′(x)＝0，得x＝1，x＝0，∴當0<x<1時f′(x)>0，x>1時f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(x)≤f(1)＝－1<0，∴l(xiāng)nx<x，當x>0時g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)是減函數(shù)，∴g(x)<g(0)＝－1<0，∴x<ex，綜上，x>0時，lnx<x<ex.[例4]已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍[解析](1)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－eq\f(1,e).(2)2xlnx≥－x2＋ax－3，則a≤2lnx＋x＋eq\f(3,x)，設h(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3,x)(x>0)，則h′(x)＝eq\f(x＋3x－1,x2)，①x∈(0,1)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；②x∈(1，＋∞)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；所以h(x)min＝h(1)＝4，對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范圍是(－∞，4]．方法技巧1.利用函數(shù)的最值證明不等式的基本步驟(1)將不等式轉化成f(x)>0(或<0)的形式；(2)利用導數(shù)求出函數(shù)y＝f(x)在所給區(qū)間上的最小值(或最大值)；(3)證明函數(shù)y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可證得原不等式成立．2．不等式恒成立求參數(shù)問題的求解策略對于依據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的問題，可采納分別參數(shù)法，即將參數(shù)移至不等式的一端，化成m≥f(x)或m≤f(x)的形式，然后利用導數(shù)求出函數(shù)f(x)的最值，則由結論m≥f(x)max或m≤f(x)min，即可求出參數(shù)m的取值范圍．跟蹤探究3.設f(x)＝x－eq\f(1,x)－2lnx.求證：當x≥1時，f(x)≥0恒成立．證明：∵f(x)＝x－eq\f(1,x)－2lnx的定義域為(0，＋∞)，∴f′(x)＝1＋eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)＝eq\f(x2－2x＋1,x2)＝eq\f(x－12,x2)≥0，∴f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)≥f(1)＝1－1－2ln1＝0對于x∈[1，＋∞)恒成立．4．設函數(shù)f(x)＝xex－xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)x＋1))＋2.(1)若a＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當x≥0時，f(x)≥x2－x＋2恒成立，求a的取值范圍．解析：(1)∵a＝1，∴f(x)＝xex－xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1))＋2＝xex－eq\f(1,2)x2－x＋2，∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，∴當－1<x<0時，f′(x)<0；當x<－1或x>0時，f′(x)>0，∴f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)由f(x)≥x2－x＋2，得xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a＋2,2)x))≥0，當x＝0時，明顯成立；當x>0時，即eq\f(ex,x)≥eq\f(a＋2,2)恒成立．記g(x)＝eq\f(ex,x)，則g′(x)＝eq\f(exx－1,x2)，當0<x<1時，g′(x)<0，g(x)是減函數(shù)，當x>1時，g′(x)>0，g(x)是增函數(shù)．∴g(x)的最小值為g(1)＝e，∴eq\f(a＋2,2)≤e，得a≤2e－2.即a的取值范圍是(－∞，2e－2]．授課提示：對應學生用書第70頁[課后小結](1)求函數(shù)的最值時，應留意以下幾點：①函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)探討問題，是一個局部概念，而函數(shù)的最值是對整個定義域而言，是在整體范圍內(nèi)探討問題，是一個整體性的概念．②閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)肯定有最值．開區(qū)間(a，b)內(nèi)的可導函數(shù)不肯定有最值，但若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值．③函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個，而函數(shù)的極值則可能不止一個，也可能沒有極值，并且極大值(微小值)不肯定就是最大值(最小值)．(2)求含參數(shù)的函數(shù)最值，可分類探討求解．(3)“恒成立”問題可轉化為函數(shù)最值問題．[素養(yǎng)培優(yōu)]1．把極值當做最值致誤已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，在x＝－2和x＝eq\f(2,3)處取得極值．(1)求函數(shù)f(x)的解析式．(2)求函數(shù)f(x)在[－4,1]上的最值．易錯分析沒有比較端點函數(shù)值與極值的大小，錯誤地認為極值就是最值．考查邏輯推理及數(shù)學運算的學科素養(yǎng)．自我訂正(1)因為f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，所以f′(x)＝3x2－2ax＋b，因為在x＝－2和x＝eq\f(2,3)處取得極值，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－2＝0，,f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝0，))解得a＝－2，b＝－4.所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)因為f′(x)＝3x2＋4x－4，所以由f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝eq\f(2,3)，所以f(x)在[－4，－2)上單調(diào)遞增，在eq\b\l