2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題1.2全稱量詞與存在量詞充要條件知識點(diǎn)講解含解析

專題1.2全稱量詞與存在量詞、充要條件【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1．理解命題的必要條件、充分條件、充要條件的意義，能推斷并證明命題成立的充分條件、必要條件、充要條件.2.全稱量詞與存在量詞(1)理解全稱量詞與存在量詞的意義.(2)能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.3.培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象實力.【學(xué)問清單】1.充分條件與必要條件（1）若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；（2）若p?q，且qeq\o(?,/)p，則p是q的充分不必要條件；（3）若peq\o(?,/)q且q?p，則p是q的必要不充分條件；（4）若p?q，則p是q的充要條件；（5）若peq\o(?,/)q且qeq\o(?,/)p，則p是q的既不充分也不必要條件．2.全稱量詞與存在量詞1．全稱量詞與全稱命題（1）短語“全部的”“隨意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示．（2）含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．（3）全稱命題“對M中隨意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為，讀作“對隨意x屬于M，有p(x)成立”．2．存在量詞與特稱命題（1）短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示．（2）含有存在量詞的命題，叫做特稱命題．（3）特稱命題“存在M中的一個x0，使p(x0)成立”可用符號簡記為，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．3．全稱命題與特稱命題的否定（1）全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題．（2）“或”的否定為：“非且非”；“且”的否定為：“非或非”．（3）含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定【典例剖析】高頻考點(diǎn)一充要條件的判定例1.（2024年高考浙江）若a>0，b>0，則“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，，則當(dāng)時，有，解得，充分性成立；當(dāng)時，滿意，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選A.例2.（2024年浙江卷）已知平面α，直線m，n滿意mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，所以依據(jù)線面平行的判定定理得.由不能得出與內(nèi)任始終線平行，所以是的充分不必要條件，故選A.【思路點(diǎn)撥】一般地，充分、必要條件推斷方法有三種.本題難度較小，依據(jù)線面平行的判定定理可得充分性成立，而由無法得到m平行于平面內(nèi)任始終線，即必要性不成立．例3．（2024·北京高考真題（理））設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】∵A?B?C三點(diǎn)不共線,∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2?>0與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C.【規(guī)律方法】充要關(guān)系的幾種推斷方法(1)定義法：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分而不必要條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要而不充分條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既不充分也不必要條件.(2)等價法：即利用與；與；與的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價法．(3)集合關(guān)系法：從集合的觀點(diǎn)理解，即若滿意命題p的集合為M，滿意命題q的集合為N，則M是N的真子集等價于p是q的充分不必要條件，N是M的真子集等價于p是q的必要不充分條件，M＝N等價于p和q互為充要條件，M，N不存在相互包含關(guān)系等價于p既不是q的充分條件也不是q的必要條件【變式探究】1.（2024年高考天津理）設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由可得，由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分條件，即“”是“”的必要而不充分條件.故選B.2.（2024·北京高考真題（文））設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】時，,為偶函數(shù)；為偶函數(shù)時，對隨意的恒成立，，得對隨意的恒成立，從而.從而“”是“為偶函數(shù)”的充分必要條件，故選C.3．（2024·浙江省高考真題）已知等差數(shù)列的公差為d,前n項和為,則“d>0”是（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由，可知當(dāng)時，有，即，反之，若，則，所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要條件，選C．高頻考點(diǎn)二：充分條件與必要條件的應(yīng)用例4.（江西省新八校2025屆高三其次次聯(lián)考）若“”是“”的必要不充分條件，則的取值范圍是________．【答案】【解析】因為“”是“”的必要不充分條件，所以是的真子集，所以，故答案為.【規(guī)律方法】1.充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時需留意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)要留意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗．2.把握探求某結(jié)論成立的充分、必要條件的3個方面(1)精確化簡條件，也就是求出每個條件對應(yīng)的充要條件；(2)留意問題的形式，看清“p是q的……”還是“p的……是q”，假如是其次種形式，要先轉(zhuǎn)化為第一種形式，再推斷；(3)敏捷利用各種方法推斷兩個條件之間的關(guān)系，充分、必要條件的推斷常通過“?”來進(jìn)行，即轉(zhuǎn)化為兩個命題關(guān)系的推斷，當(dāng)較難推斷時，可借助兩個集合之間的關(guān)系來推斷．【變式探究】（安徽省江南片2025屆高三開學(xué)聯(lián)考）設(shè)：實數(shù)滿意，：實數(shù)滿意．（Ⅰ）當(dāng)時，若為真，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時，若是的必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，：，：或.因為為真，所以，中至少有一個真命題.所以或或，所以或，所以實數(shù)的取值范圍是.（Ⅱ）當(dāng)時，：，由得：：或，所以：，因為是的必要條件，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.【特殊警示】依據(jù)充要條件求解參數(shù)范圍的方法及留意點(diǎn)(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．(2)留意點(diǎn)：區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號確定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)簡單出現(xiàn)漏解或增解的錯誤．高頻考點(diǎn)三：全稱量詞與存在量詞例5.（2024貴州凱里一中模擬）命題：，，則為（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】依據(jù)特稱命題的否定，易知原命題的否定為：，故選A．例6．（2013·重慶高考真題（文））命題“對隨意x∈R，都有x2≥0”的否定為（）A．對隨意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0【答案】D【解析】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“對隨意x∈R，都有x2≥0”的否定為．存在x0∈R，使得x02＜0．故選D．例7.有下列四個命題，其中真命題是（）．A.， B.，，C.，， D.，【答案】B【解析】對于選項A，令，則，故A錯；對于選項B，令，則，明顯成立，故B正確；對于選項C，令，則明顯無解，故C錯；對于選項D，令，則明顯不成立，故D錯.故選：B【規(guī)律方法】1．全稱命題真假的推斷方法（1）要推斷一個全稱命題是真命題，必需對限定的集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；（2）要推斷一個全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值x＝x0，使p(x0)不成馬上可．2．特稱命題真假的推斷方法要推斷一個特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x＝x0，使p(x0)成馬上可，否則這一特稱命題就是假命題．3.全稱命題與特稱命題真假的推斷方法匯總命題名稱真假推斷方法一推斷方法二全稱命題真全部對象使命題真否定為假假存在一個對象使命題假否定為真特稱命題真存在一個對象使命題真否定為假假全部對象使命題假否定為真4．常見詞語的否定形式有：原語句是都是>至少有一個至多有一個對隨意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一個也沒有至少有兩個存在x0∈A使p(x0)假【變式探究】1．（2015·全國高考真題（理））設(shè)命題，則的否定為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】依據(jù)否命題的定義，即既否定原命題的條件，又否定原命題的結(jié)論，特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應(yīng)當(dāng)為，即本題的正確選項為C.2.（2024·江蘇省如東高級中學(xué)高三月考）命題“”的否定是________.【答案】【解析】全稱量詞改存在，再否定結(jié)論，即“”的否定是：故答案為：3．給出下列命題：（1），；（2），；（3），，使得．其中真命題的個數(shù)為______．【答案】1【解析】對于（1），當(dāng)時，，所以（1）是假命題；對于（2），，所以（2）是假命題；對于（3），當(dāng)，時，，所以（3）是真命題．所