高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

第五章

三角函數(shù)、解三角形

第22講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

［課程標(biāo)準(zhǔn)］1.了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引

入弧度制的必要性2借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

基礎(chǔ)知識整合

＞知識梳理

1.角的概念

(1)任意角

①一條射線繞其端點(diǎn)按畫逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按圓順時針

方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.

②如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個畫委角.

(2)象限角

使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的畫終邊在

第幾象限，就說這個角是第幾象限角.

(3)終邊相同的角

所有與角?終邊相同的角，連同角?在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合網(wǎng)S={0|0=Q

+左?360°,左WZ}.

2.弧度的定義和公式

(1)定義：長度等于胸生徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單

位記作rad.

(2)弧度與角度的換算：360°=甌近弧度；

-]。=幽=rad

1oU

180°=圈7trad

(3)公式

①弧長公式：/=叵］??.

②扇形面積公式：S扇形=回技=叵皿.

說明：公式中的a必須為弧度制！

3.任意角的三角函數(shù)

⑴定義

設(shè)尸。，》)是角?終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)。的距離為r,則sina

:,cosa=~,tana=上刈）

⑵三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號

sinacosa

三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

◎知識拓展

1.象限角

第一象限角Q12kn<ct<2kn+^，及EZ

象

限{a[2kn+-^-<ct<2k,K+兀,kEz}

第二象限角

角

的

集第三象限角^a\2kTz+7t<a<2kn

合

Q|2人江+當(dāng)<a<2kn+2兀,kGZ

2.軸線角

軸

線

角

的

集

合

要結(jié)論

3.重

>sina.

na>a

，貝1Jta

（0,舒

若aC

基自測

>雙

）

度是（

化為弧

30,

67°

1.

3

3兀

B

A

8

-T

673

迫

u

u

-1800

-1800

A

答案

71

7T3

A.

故選

旃=.

7.5乂

0，=6

67。3

解析

終邊相

°角的

240

邊與

的終

角a

編）若

⑵改

.1T7

習(xí)題5

一冊

修第

A必

（人教

2.

a

）

（

象限是

邊所在

叼的終

同，貝

限

第四象

第二或

A.

限

第三象

第二或

B.

限

第四象

第三或

D.

限

第四象

第一或

C.

A

答案

a

Z.

,k￡

20°

+1

k180°

以］=

Z.所

,左€

240°

0°+

=k36

得a

由已知

解析

a

.

四象限

二或第

限是第

所在象

的終邊

所以'

）

。是（

則角

e<0,

6cos

若sin

改編）

.2Tio

習(xí)題5

一冊

修第

A必

（人教

3.

限角

第三象

第二或

B.

限角

第二象

第一或

A.

限角

第四象

第二或

D.

限角

第四象

第三或

C.

D

答案

sin分0,sin0<O,

解析因?yàn)閟inOcosOvO,所以J或t°sd>。.所以角。是第二或第四象

[cos<9<0

限角.故選D.

4.（人教A必修第一冊521練習(xí)T3改編）若角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與

x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-l,2）,貝1Jsina-cosa+tana=.

375-10

答案

解析由已知得廠=，（-1）2+2?=小，所以sin（7-cos<7+tan（7=：-=

2-13y[5-10

小—小+-1=小一2=5-

5.（2024.福州摸底）若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧

度數(shù)是_______.

答案也

解析由圓的幾何性質(zhì)可知，圓內(nèi)接正方形的邊長為明廣，故弧長為啦廠的弧

所對的圓心角的弧度數(shù)為

核心考向突破

考向一角的概念及表示

例1（1）（2023?寧波模擬）若a是第二象限角,貝女）

A.-a是第一象限角

B.施第三象限角

3兀

C.2+a是第二象限角

D.2a是第三或第四象限角或終邊在y軸負(fù)半軸上的角

答案D

兀

解析因?yàn)閍是第二象限角，所以]+2?<。<兀+2左兀，左?Z.對于A,可得一兀

兀

-IkiK-a<-2-2/OT,左?Z,所以-a是第三象限角，所以A錯誤；對于B,可

得：+也<44+而，k《Z,當(dāng)左為偶數(shù)時，為是第一象限角，當(dāng)上為奇數(shù)時，為是

37T571

第三象限角，所以B錯誤；對于C,可得2兀+2fai<y+a<z+2E,左?Z,即2（左

3兀71371

+l）7i<y+?<2+2（Z:+l>>kGZ,所以2+a是第一象限角，所以C錯誤；對于

D,可得兀+4也<2*2兀+4也，左?Z,所以2a是第三或第四象限角或終邊在y軸

負(fù)半軸上的角，所以D正確.

⑵終邊在直線丁=小》上，且在［-2兀，2兀）內(nèi)的角a的集合為

5兀27171471

答案T5-T535T

解析如圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線y=^x,可以

發(fā)現(xiàn)它的傾斜角是幸在［0,2兀）內(nèi)，終邊在直線y=上的角

7T411

有兩個，分別為玉y;在［-2兀，0）內(nèi)滿足條件的角有兩個，

八nrr2兀5兀I,?...,,,,,4/'t［5兀2兀兀4兀］

分別為-9，-于故澗s足條件的角a構(gòu)成的集合為卜至，-y>31Tj-

I觸類旁通I

1.終邊相同角的集合的應(yīng)用

利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角

的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)%賦值來求得所需角.

2.象限角的兩種判斷方法

（1）圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中作出已知角，并根據(jù)象限角的定義直接判斷

已知角是第幾象限角.

（2）轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為2E+a（aG［0,2兀），左GZ）的形式，即找出與已

知角終邊相同的角?,再由角a終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.

3.求（或〃e（“eN*）終邊所在象限的方法

⑴將。的范圍用不等式（含有左，左CZ）表示.

⑵兩邊同除以〃或乘機(jī)

(3)對k進(jìn)行討論，得至《或〃仇〃?N*)終邊所在的象限.

提醒：注意用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)理解角的加減運(yùn)算.例如：―80°+60°(左?Z)表

示的角的終邊可理解為60°角的終邊逆時針(左>0)或順時針(左<0)旋轉(zhuǎn)180°的倍

數(shù)而得到的.

查即時訓(xùn)練1.集合]，也+&女兀+.中的角所表示的范圍(陰影部分)

是()

答案C

解析當(dāng)k=2n(n?Z)時，2ml+-<a<2mi+全〃GZ),此時a表示的范圍與￡

兀_兀兀

Sa與表示的范圍一樣；當(dāng)左=2〃+1(〃￡Z)時，2〃兀+兀+百。二2〃兀+7i+](〃￡Z),

此時a表示的范圍與57辛1a以371表示的范圍一樣.故選C.

2.與-2023°終邊相同的最小正角是_______.

答案137°

解析因?yàn)?2023°=(-6)x360°+137°,所以137°與-2023°終邊相

同，又終邊相同的兩個角相差360°的整數(shù)倍，所以在0°?360°中只有137°

與-2023°終邊相同，故與-2023°終邊相同的最小正角是137°.

考向二扇形的弧長、面積公式

例2已知一扇形的圓心角為用半徑為&弧長為/,

(1)若a=60°,7?=10cm,求扇形的弧長/；

(2)若扇形周長為20cm,當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最

大？

7T

解(1)Va=60°rad,7?=10cm,

兀]U7l

；?扇形的弧長l=aR=^xlQ=-(cm).

(2)由題意,得l+2R=20,；」=20-2R.

「.S扇=；/R=；(20—2R)H=-R2+107?=-(R-5)2+25.

...當(dāng)R=5cm時，S扇有最大值25CH?.

此時/=20-2x5=10(cm),<7=^=^=2rad.

二當(dāng)a=2rad時，扇形的面積最大.

I觸類旁通I弧長和扇形面積的計(jì)算方法

(1)在弧度制下，記住下列公式

①弧長公式：Z=|?|r；②扇形的面積公式：5=5r=；上產(chǎn)(其中/是扇形的弧

長，。是扇形的圓心角，廠是扇形的半徑).

(2)求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個

量.

即時訓(xùn)練1.侈選)(2023?青島模擬)已知扇形的周長是6cm,面積是2cm2,

下列說法正確的是()

A.扇形的半徑可能為2B.扇形的半徑可能為1

C.圓心角的弧度數(shù)可能是1D.圓心角的弧度數(shù)可能是2

答案ABC

2r+ar=6,

解析設(shè)扇形的半徑為人圓心角的弧度數(shù)為%則由題意得h?解

~^ar-2,

r=1,r=2,

得“或?可得扇形的半徑可能為1或2,圓心角的弧度數(shù)是4或1.

a=4=1,

2.(2023?海淀區(qū)校級模擬)我們學(xué)過用角度制與弧度制度量角，最近，有學(xué)者

提出用“面度制”度量角，因?yàn)樵诎霃讲煌耐膱A中，同樣的圓心角所對扇形的

面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為

單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角e的面度數(shù)為全則角e

的余弦值為（）

A.一半B,4

C.|D坐

答案B

40r2O

/772jr

解析設(shè)角。所在的扇形的半徑為廣，則由題意，可得下=],解得。=可,

可得cos6=cos與=-1■.故選B.

多角度探究突破__________________________

考向三三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用

角度1三角函數(shù)定義的正用和逆用

例3（1）（2023?遂寧一模）已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，始邊與x軸的

（2兀2兀）

非負(fù)半軸重合.若角a終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為[cosg~,sin司，則sinc?tana=（）

A.—|B.—乎

C.坐D.|

答案A

為5(2兀.2TI」）,即/（《，由,則5加=啟天坐，tana=?

解析P^cosy,siny

_小,故由

sinatana=—|（選A.

2兀

(2)點(diǎn)2從(1,0)出發(fā),沿單位圓逆時針方向運(yùn)動不弧長到達(dá)點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的

坐標(biāo)為()

B[￥，g

C-U--f)D[￥，1

答案A

27T1271

解析由三角函數(shù)的定義可知點(diǎn)Q的坐標(biāo)(x,y)滿足x=cos§=-2，y=siny

=坐，所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為坐)

(3)若角a的終邊在直線3x+4y=0上，求sina,cosa和tana的值.

解設(shè)a終邊上任一點(diǎn)為P(-4a,3a),存0,

343

當(dāng)a>0時，r=5a,sina=g,cosa=-g,tana=一不

當(dāng)a<0時，r=-5a,sina=_5,cosa=5,tana=

I觸類旁通I

1.正用三角函數(shù)定義的兩種情況

(1)已知角a終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離/(#0),然

后用三角函數(shù)的定義求解.

(2)已知角a的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此

點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求解.

2.三角函數(shù)定義的逆用

已知角a和角a終邊上一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r(r^=0),可依據(jù)xp=rcosa,yp

=rsina求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

「即時訓(xùn)練(2023.成都模擬)如圖，cos售+”的值為()

答案B

1-x/s兀

解析設(shè)NxOP=a,貝1Jsina=