重慶某中學2025屆高考數(shù)學模擬卷（六）含解析

重慶南開中學2025屆高考數(shù)學試題模擬卷（六）

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知實數(shù)0<a<6,則下列說法正確的是（）

A.一〉7B.ac2<.bc2

ab

C.lna<lnbD.（g）“<（；）"

2.歐拉公式為盧=cosx+，sinx,（i虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù),

建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，e會表

示的復數(shù)位于復平面中的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.如圖，已知直線/:丁=左（％+1）（左>0）與拋物線C:/=4x相交于A,B兩點,且A、3兩點在拋物線準線上的投

影分別是M,N,^\AM\=2\BN\,則女的值是（）

5.如圖所示的程序框圖輸出的S是126,則①應為（）

〃=1,5=0

n=n+l（結(jié)束〕

A.ra<5?B.zz<6?C.ra<7?D.?<8?

6.6知等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為乂,若％=12,§5=90,則等差數(shù)列｛%｝公差d=（）

3

A.2B.-C.3D.4

2

7.木匠師傅對一個圓錐形木件進行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）

A.24萬+96B.48萬+90C.48萬+186D.144萬+180

8.一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為2,高為0，有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切，則該球的表面

積為（）

4迅乃

A.B.4%C?4亞itD.3〃

9.已知AA5C中內(nèi)角A,瓦。所對應的邊依次為a,b,c,若2a=b+l,c=^,C=3,則AABC的面積為()

A.孚B.73C.3A/3D.273

10.設Z花為非零向量，貝|++q=問+忖”是“日與否共線”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.已知。：出0〉l,log]%〉!；q:VxeR,e"〉x,則下列說法中正確的是()

22

A.7"4是假命題B.〃八4是真命題

C.pv(-1q)是真命題D.P△(-14)是假命題

2i3

12.i為虛數(shù)單位，則3一的虛部為()

1-i

A.-iB.iC.-1D.1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.二項式(?一：]的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和是64,則展開式中的常數(shù)項為.

14.五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，如果

把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)，可排成種不

同的音序.

15.曲線/(x)=^+lnL在點處的切線方程是.

XJC

16.若復數(shù)Z滿足(1-2i)Z=-；(2+i),其中i為虛數(shù)單位，則Z的共軌復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的坐標為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

o

17.(12分)在底面為菱形的四棱柱ABCD—A4G。中，AB=AAl=2,AlB=AlD,ZBAD=6Q,AC[}BD=O,AO^

面

（1）證明：4c〃平面ABD；

（2）求二面角3-A4]-。的正弦值.

18.（12分）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，側(cè)面上4D為等邊三角形，且垂直于底面ABC。,

AB=BC=1,ZBAD=ZABC^90°,ZADC=45°，分別是AD,尸。的中點.

P

(1)證明：平面CAW//平面R43；

—.2—.

(2)已知點E在棱PC上且CE=§CP,求直線NE與平面PAB所成角的余弦值.

1+cosa

x=-----------

l]C°sa（a為參數(shù)）.以。為極點，x軸的正半軸為極

19.（12分）在直角坐標系中，曲線G的參數(shù)方程為

2sma

y二■

1-COS6Z

軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為€（0,兀）），將曲線q向左平移2個單位長度得到曲線C.

（1）求曲線C的普通方程和極坐標方程;

11

（2）設直線/與曲線。交于AB兩點，求畫+西的取值范圍.

20.（12分）如圖，在多面體A3CDEF中，四邊形ABCD是菱形，EF//AC,EF=1,ZABC=60%CE_L平

G是OE的中點.

（I）求證：平面ACG//平面班反；

（II）求直線AD與平面AB廠所成的角的正弦值.

21.（12分）在本題中，我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)“X）叫做區(qū)間。上的閉函數(shù)：①Ax）的定義域和值域都是。；

②f（x）在。上是增函數(shù)或者減函數(shù).

(1)若/(x)=tan(s)在區(qū)間［-1,1］上是閉函數(shù)，求常數(shù)。的值;

(2)找出所有形如/(x)=alog3X+d6的函數(shù)都是常數(shù))，使其在區(qū)間口9］上是閉函數(shù).

22.(10分)如圖，在四棱錐尸-A6CD中，底面ABC。是矩形，M是24的中點，平面ABC。，且

PD=CD=4，AD=2.

(1)求AP與平面CMB所成角的正弦.

(2)求二面角M—CB—尸的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

AB利用不等式性質(zhì)可判斷，C、￡)利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.

【詳解】

11CC

解：對于,實數(shù)0<a<b,.,c<0不成立

abab

對于Ac=O不成立.

對于C.利用對數(shù)函數(shù)y=lnx單調(diào)遞增性質(zhì)，即可得出.

對于D.指數(shù)函數(shù)y=(；廠單調(diào)遞減性質(zhì),因此不成立.

故選：C.

利用不等式性質(zhì)比較大小.要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件.解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采

用特殊值驗證的方法.

2.A

【解析】

，

計算e3'=cos-+zsin-=-+—i.得到答案.

3322

【詳解】

根據(jù)題意*=cosx+isinx，故=cos￡+isin工=工+"，，表示的復數(shù)在第一象限.

3322

故選：A.

本題考查了復數(shù)的計算，意在考查學生的計算能力和理解能力.

3.C

【解析】

直線丁=左(％+1)(左>0)恒過定點？(—1,0),由此推導出|03|=g|AF],由此能求出點3的坐標，從而能求出左的值.

【詳解】

設拋物線C:9=4x的準線為/:尤=一1,

直線y=左(1+1)(左〉0)恒過定點P(-LO),

如圖過A、2分別作40，/于M,BN上I于N,

^\AM\=2\BN\,貝ij|用=2|EB|,

點2為AP的中點、連接。8,則|。同=；|4耳，

-\OB\=\BF\,點B的橫坐標為;，

???點8的坐標為把代入直線丁=左(1+1)(左>0),

解得V

本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，屬

于中檔題.

4.D

【解析】

TT

分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在兀)上的符號，即可判斷選擇.

詳解：令/(%)=2?sin2%,

因為xGR,于(-X)=2kHsin2(—x)=-2國sin2x=-/(x),所以/(%)=2Msin2%為奇函數(shù)，排除選項A,B；

兀

因為^^('，兀)時，/(%)<0,所以排除選項C,選D.

點睛：有關函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：(1)由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值

域，判斷圖象的上、下位置；(2)由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性;

(4)由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復.

5.B

【解析】

試題分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+...+2n

的值，并輸出滿足循環(huán)的條件.

解：分析程序中各變量、各語句的作用，

再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：

該程序的作用是累加S=2+22+...+2n的值，

并輸出滿足循環(huán)的條件.

VS=2+22+...+21=121,

故①中應填nWl.

故選B

點評：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個熱點，應高度重視.程序填空也是重要的考試題型,

這種題考試的重點有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出.其中前兩點考試的概率更大.此種題

型的易忽略點是：不能準確理解流程圖的含義而導致錯誤.

6.C

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.

【詳解】

Vai=12,S5=90,

5x4

.".5x12+------d=90,

2

解得d=l.

故選C.

本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

7.C

【解析】

由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體，圓錐底面半徑為r=卜+（半＞，圓錐的高h=J（3布）2—32,截去

的底面劣弧的圓心角為主，底面剩余部分的面積為5=!±乃/+!/5后主,利用錐體的體積公式即可求得.

32323

【詳解】

由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為r=J32+（半）=6，圓錐的高//=標豆二?=6,圓錐母線

Z=A/62+62=6A/2＞截去的底面弧的圓心角為120。，底面剩余部分的面積為

2912?212?/-

S--Jir1d■一r92sin——=—7ix692+—x692xsin——=24^+9v3，故幾何體的體積為：

323323

V=1S/Z=1X(24^+9A/3)X6=48^+1873.

故選C.

本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題，考查了學生空間想象,數(shù)學運算能力，難度一般.

8.B

【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長為2,高為0，得到底面的中心到各棱的距離都是1,從而底面的中心即為球心.

【詳解】

如圖所示：

因為正四棱錐底邊邊長為2,高為0,

所以0B=也，SB=2，

0到SB的距離為d=SOxOB=1,

SB

同理。到SC,勿，必的距離為1,

所以。為球的球心，

所以球的半徑為：1,

所以球的表面積為4萬.

故選：B

本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.

9.A

【解析】

由余弦定理可得02+02—0^=7,結(jié)合2a=6+1可得a,b,再利用面積公式計算即可.

【詳解】

7—+Z?2—uba=2

由余弦定理，得7=a?+b?-2abcosC=d+及—ab，由〈，，解得<

2a=b+lb=3

訴"C17?廠102836

所以，S^iKr=—absmC=—x2x3x——=------.

AABC2222

故選：A.

本題考查利用余弦定理解三角形，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.

10.A

【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.

【詳解】

若歸+目=問+帆，則％與否共線，且方向相同，充分性；

當Z與B共線，方向相反時，忖+.第+|年故不必要.

故選：A-

本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學生的推斷能力.

11.D

【解析】

舉例判斷命題p與q的真假，再由復合命題的真假判斷得答案.

【詳解】

當天>1時，1°8工/<°，故。命題為假命題；

2

記/(x)=d-X的導數(shù)為了(X)=^-1,

易知/(x)-%在(-8,0)上遞減，在(0,+oo)上遞增，

.V(x)>f(0)=1>0,即故0命題為真命題；

:?〃△(—)〃)是假命題

故選D

本題考查復合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎題.

12.C

【解析】

利用復數(shù)的運算法則計算即可.

【詳解】

2z3-2i-2i(l+i'),.、

■—:=■—:=7；一可—^=_'。+,)=1_，，故虛部為一I

1-11-1(l-z)(l+z)

故選：C.

本題考查復數(shù)的運算以及復數(shù)的概念，注意復數(shù)。+初(a,>eR)的虛部為b,不是初，本題為基礎題，也是易錯題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.—

4

【解析】

由二項式系數(shù)性質(zhì)求出“，由二項展開式通項公式得出常數(shù)項的項數(shù)，從而得常數(shù)項.

【詳解】

由題意2〃=64，n=6.

展開式通項為&i=2(4)6-(—，>=(—工)，墨:弓，由3一;=0得廠=2,

2x22

常數(shù)項為4=(一52盤=?.

故答案為：

4

本題考查二項式定理，考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項展開式通項公式是解題關鍵.

14.1

【解析】

按照“角”的位置分類，分“角”在兩端,在中間，以及在第二個或第四個位置上，即可求出.

【詳解】

①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側(cè)，此時有2x3x&xE=24種；

②若“角”在中間，則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)；

③若“角”在第二個或第四個位置上，則有2MM=8種；

綜上，共有24+8=32種.

故答案為：1.

本題主要考查利用排列知識解決實際問題，涉及分步計數(shù)乘法原理和分類計數(shù)加法原理的應用，意在考查學生分類討論

思想的應用和綜合運用知識的能力，屬于基礎題.

15.2%+y—3=0

【解析】

利用導數(shù)的幾何意義計算即可.

【詳解】

由已知，/(x)=-4-->所以f(l)=—2,又/(1)=1,

X"X

所以切線方程為y—1=—2(X—1),即2x+y—3=0.

故答案為：2x+y—3=0

本題考查導數(shù)的幾何意義，考查學生的基本計算能力，要注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別，是一道容易題.

16.°4

【解析】

把己知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出2得答案.

【詳解】

1ii+2i

???『2J(2+i)=—1—$，,z_--2_^4>)_E

l-2i(l-2i)(l+2i)2

則N=gi,，z的共輾復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的坐標為［0,g),

故答案為

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準確計算是關鍵，是基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析；(2)1

7

【解析】

(1)由已知可證用c〃A。，即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)已知可證4。，平面ABCD,建立空間直角坐標系，求出坐標，進而求出平面AA5和平面A/D

的法向量坐標，由空間向量的二面角公式，即可求解.

【詳解】

方法一：(1)依題意，AB\&AB,旦AB^CD,：.%B\上CD,

四邊形A4CD是平行四邊形，.?.四?！?。，

*/B[CU平面AXBD,AXDu平面AXBD,

Z.4c〃平面ABD.

(2)?.?40，平面48。，；.40,4。，

?.?45=4。且。為5。的中點，；.40,3。，

AO.BDu平面ABC。且Aon3￡＞=o,

A。，平面ABCD,

以。為原點，分別以雙，前,鵬■為X軸、y軸、z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫Z,

則A(石,0,0),3(0,1,0),0(0,—1,0),4(0,0/),

...M=(-73,0,1),=(-A1,0),=(-73,-1,0),

設平面\AB的法向量為n=(%,y,z),

n±A^=0

.］一石x+z則3=(i,G,6).

則取X=1

方-LAB-y/3x+y=0

設平面A&D的法向量為正=(%,%,zj,

n_LAA^—y/ix+2=0

則＜取x=l,則加=(i,-百,gy

nJ_AD—y/3x-y=0

_-m-n11

?cos<m,n>=［一］1=—j=—；==—

,emdn幣義幣7

設二面角B—AA—。的平面角為。，貝＞Jsina=Jl—

二面角B-AA^-D的正弦值為生3.

7

方法二：(1)證明：連接AB1交48于點Q,

因為四邊形4片癡為平行四邊形，所以。為A耳中點，

又因為四邊形ABCD為菱形，所以。為AC中點，

.?.在VABC中，0?！?(7,且0。=；4。，

:OQu平面，4Ca平面48。，

4c〃平面A{BD

(2)略，同方法一.

本題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法求面面角，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng),

屬于中檔題.

18.(1)證明見解析；(2)—.

2

【解析】

(1)由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形，可得&以//43=。0〃面243,再由面面平行的判定

可證得面面平行；

(2)由(1)可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標系，可求得面的法向量，再運用線面角的向量

求法，可求得直線NE與平面所成角的余弦值.

【詳解】

(1)?.?/54。=/46。=90°，..4)//3。,又/4￡＞。=45°，AB=BC=1,:.AD=2,

而M、N分別是AD、的中點，.1MV/ABA,故MV//面H45,

又40//6。且40=3。，故四邊形A3CM是平行四邊形,.?.。0//45=＞。以//面^45,

又MN,CM是面CMN內(nèi)的兩條相交直線，故面CMN//面？A3.

(2)由(1)可知，兩兩垂直，故建系如圖所示，則

Q,l,O),P(O,O,g),N(O,g￥)，

)-CE-CP--E[^31??NE=(L”

AB=(1,0,0),PA=(O,-1,~我33

x=0

設n=(x,y,z)是平面PAB的法向量,，＜

-y-y/3z=0

_A/3

——,

2

本題考查空間的面面平行的判定，以及線面角的空間向量的求解方法，屬于中檔題.

19.(1)C的極坐標方程為22side-40cos"8=0,普通方程為y2=4(x+2)；(2)

【解析】

2aCa

cos—2cos—

y=-----爰，可得曲線G的普通方程，再運用圖像的平移得依題意

(1)根據(jù)三角函數(shù)恒等變換可得x=------

a.a

si.n2—sm—

22

得曲線。的普通方程為，利用極坐標與平面直角坐標互化的公式可得方程;

(2)法一：將。代入曲線。的極坐標方程得「ZsiYq-42cosq-8=0,運用韋達定理可得

??向+血=；尸百,根據(jù)為w(0,兀)，可求得血+血的范圍;

X=tCGS(p

法二:設直線/的參數(shù)方程為《.”為參數(shù)，9為直線的傾斜角)，代入曲線C的普通方程得

y=tsm(p

111r-n—11

t2sin2^7-4tcos0-8=0運用韋達定理可得?.?03+0可=/Jl+sin(P,根據(jù)?！?0,兀)，可求得可|+同時的范

圍；

【詳解】

a2aeaa

1,2cos2—cos—4sin-cos—2cos—

、1+cosa792sin夕

(1)**x——--------=-------―.......-222

1—cos。2?2￡.a

2sinsin2s嗚sin—

222

.2a

4cos一

y2=------1=4x,即曲線G的普通方程為V=4x,

.2a

sm——

2

依題意得曲線C的普通方程為j2=4(%+2),

令x=〃cose,y=x?sin。得曲線c的極坐標方程為p1sin2e-^pcosd-^=G；

(2)法一：將。=為代入曲線C的極坐標方程得"sii?4-4.cos4-8=0,則

4cos48

8+。2=;2〃，夕10=一裝/萬'：夕1夕2<°'-"|，夕2異號

5U1°。(xr>

________________(4COS-)2I32

.11_11_|Pi-P|_7(A+P)2-4AP_Vsin?%sin20_1/…有

222O

??西+?=同+同=而M==°

sin2%

]]]

1.16；)e(0,7i),.'.sin^e(0,l],+|5^|G<^2，^-];

x=tcos(p

法二:設直線/的參數(shù)方程為4.“為參數(shù)，。為直線的傾斜角)，代入曲線c的普通方程得

y=tsm(p

t2sin2-4tcos(p-8=0,

4cos08

則4+?2=阜2=一~——，?.,不2<。,異號

sin2(psm°

4cos夕232

22

1|1=11人+力.如Nsin(psincp

畫畫一間H8

sin2cp

]]]

“e(。㈤，???sin”(0，l]，???阿+網(wǎng)丐

本題考查參數(shù)方程與普通方程，極坐標方程與平面直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)化，求解幾何量的取值范圍，關鍵在于明確

極坐標系中極徑和極角的幾何含義，直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

20.(I)詳見解析；(II)巫.

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【解析】

試題分析：(I)連接BD交AC于。，得。G/ABE,所以OG〃面5EF,又EFIIAC,得AC//面BEF,

即可利用面面平行的判定定理，證得結(jié)論；

(II)如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，求的平面AB廠的一個法向量而，利用向量AD和向量而夾

角公式，即可求解AO與平面/所成角的正弦值.

試題解析：

(I)連接交AC于。，易知。是80的中點，OG//BE,BEu面BEF,0G在面BEb外，所以0G〃

面BEF；

又EFHAC,AC在面8砂外，BEF,又AC與0G相交于點。，面ACG有兩條相交直線與面8EF平

行，故面ACG〃面8所；

(II)如圖，以。為坐標原點，分別以0C、。。、。/為尤、y、z軸建立空間直角坐標系，則4(—1,0,0),網(wǎng)0,-60),

D(O,AO),F(0,0,A/3),AD=(1,V3,O),濕=(1,—瘋0),AF=(1,0,73),

mlAB(a,b,c)-(l,-43,0\=a-y/3b=0

設面AB尸的法向量為譏=(a,/?,c),依題意有《一一\令a=6，b=l,

m1AF(a,d石)=6Z+A/3C=0

c--l,沅=(G/,—1),cos(AD,沅)=，

直線AD與面ABF成的角的正弦值是叵

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21.(1)±7；(2)f{x}=31og3J;+A/X.

【解析】

（1）依據(jù)新定義,/（尤）的定義域和值域都是［-1,1］，且/（X）在［-1,1］上單調(diào)，建立方程求解；（2）依據(jù)新定義，討

論/（X）的單調(diào)性,列出方程求解即可。

【詳解】

（1）當。＞0時,由復合函數(shù)單調(diào)性知，/（x）=tan（0x）在區(qū)間［-1,1］上是增函數(shù)，即有＜tan(—0)=-l,解

tan。=1

得T