2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：平面向量的數(shù)量積（學(xué)生版+解析）

第03講平面向量的數(shù)量積

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識..................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................4

第三部分：高頻考點一遍過............................................4

高頻考點一：平面向量數(shù)量積的定義及辨析...........................4

高頻考點二：平面向量數(shù)量積的幾何意義.............................5

高頻考點三：平面向量數(shù)量積的運算（求數(shù)量積）.....................6

高頻考點四：平面向量數(shù)量積的運算（模運算）.......................7

高頻考點五：平面向量數(shù)量積的運算（向量的夾角）..................8

高頻考點六：平面向量數(shù)量積的運算（兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)）...10

高頻考點七：平面向量數(shù)量積的運算（已知模求數(shù)量積）..............11

高頻考點八：向量的垂直關(guān)系......................................12

高頻考點九：向量的投影（投影向量）...............................13

高頻考點十：平面向量的綜合應(yīng)用..................................13

高頻考點十一：最值范圍問題......................................14

第四部分：典型易錯題型............................................15

備注：兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)時注意共線問題.................15

第五部分：新定義題.................................................16

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、平面向量數(shù)量積有關(guān)概念

1.1向量的夾角

已知兩個非零向量Z和B，如圖所示，作0X=￡，OB=b>則=e

（owew?）叫做向量￡與加的夾角，記作<3范〉.

⑵范圍:夾角。的范圍是［0,乃］.

當(dāng)。=0時，兩向量Z，B共線且同向；

7T

當(dāng)6=—時，兩向量d，B相互垂直，記作

2

當(dāng)■時，兩向量￡,另共線但反向.

1.2數(shù)量積的定義：

已知兩個非零向量辦與B，我們把數(shù)量|Z||B|cos。叫做辦與B的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作7B，即

a-b=\a\\b\cos0,其中J是Z與石的夾角，記作：0=<a,b>.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零.記作：0a=0.

1.3向量的投影

①定義：在平面內(nèi)任取一點0,作的:=￡,而=反過點M作直線ON的垂線，垂足為"1，則可"就

是向量3在向量B上的投影向量.

M

②投影向量計算公式：

當(dāng)。為銳角（如圖（1））時，西*與工方向相同，4=|西'uiacos。，所以西'=|西1|"=iacos6?2；

-------->——TC-

當(dāng)。為直角（如圖（2））時，2=0,所以。A/】=0=|a|cos—e；

2

當(dāng)。為鈍角（如圖（3））時，西■與工方向相反，所以

A=-\OMl\=-\a\cosZMOM］=-|a|cos（^-^）=|a|cos6*,即OMX=\a\cosde.

M

M

°MibNObN

(2)

當(dāng)8=0時，4=|a],所以。I/1=|a|e二|a|cosOe；

當(dāng)6=兀時，A=-\a\f所以O(shè)M]=—|。|e二|a|cosiie

綜上可知，對于任意的8￡[0,兀],都有西二|￡|cos。].

2、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

已知向量￡二（%,%）,萬=（9,%），e為向量Z和石的夾角:

2.1數(shù)量積Q?B二|Q||B|cose=x%2+yiy2

2.2模：|a|=y/a-a=Jx；+y；

2.4非零向量￡的充要條件：a-b=0<^>xix2+yiy2=0

2.5三角不等式：|Q.萬區(qū)]〃加|（當(dāng)且僅當(dāng)Q||B時等號成立）OA：1%+%%?胃；+3.+乂

3、平面向量數(shù)量積的運算

?a-b=b-a

@Aa-b=2（a.B）=Q.（癥）

③（〃+7）?c=〃?c+B?c

4、極化恒等式

①平行四邊形形式：若在平行四邊形ABCD中，則福?麗=」（前2-加2）

41

---------?-------2----?2-----?21---?2

②三角形形式：在A4BC中，M為的中點，所以A3-AC=AM-MB=AM一一BC

5、常用結(jié)論

?(a+b)(a-b)=a-b

?{a+bf=a+2a-b+b

/~、-?―*c~*2-?―?—?，

?(a-b)2=a-2a-b+b

第二部分：高考真題回顧

1.（2023?北京?高考真題）已知向量土方滿足商+方=（2,3）,萬一方=（一2,1）,貝！Im。一防（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.（2023?全國?乙卷文）正方形A3CD的邊長是2,E是AB的中點，則反.麗=（）

A.75B.3C.2>/5D.5

3.（2023?全國?甲卷文）已知向量Z=（3,1）,B=（2,2）,貝ljcosR+B,--^）=（）

AJ_R屈cV52近

171755

4.（2023?全國,乙卷理）已知。。的半徑為1,直線PA與。。相切于點A,直線尸8與。。交于8,C兩點,

。為8c的中點，若1Poi=0,則西.麗的最大值為（）

A1+V21+20

r\.--------DR.---------

22

C.1+V2D.2+V2

__?1-?-.1—?

5.（2023?天津?高考真題）在AABC中，8c=1,NA=60。，AD=-AB,CE=-CD,記A8=Z,AC=b,

22

用方,5表示通=；若前=g交，則通.衣的最大值為.

6.（2023?全國?新課標(biāo)H卷）已知向量4，B滿足,一同=,卜+5卜忸一耳，則忖=.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：平面向量數(shù)量積的定義及辨析

典型例題

1.（2024高一下?全國?專題練習(xí)）對于任意向量工及屋下列命題中正確的是（）

A.\a-b\=^a^b\B.\a+b\=\a\+\b\

C.（a-b）c=a（b'c）D?Ia\=V?

2.（23-24高一下?吉林長春?階段練習(xí)）在AABC中，下列命題正確的個數(shù)是（）

①：W-正=居；②/+肥+G5=0；@^（AB+AC）.（AB-AC）=O,則AABC為等腰三角形；④

ACAB>0,則AABC為銳角三角形.

A.1B.2C.3D.4

3.(23-24高一下?四川內(nèi)江?階段練習(xí))在三角形ABC中，ABAC=O,\W\=6,Ad=^(AB+AC),BA^BC

5.

上的投影向量為評C,則而.初=____.

6

練透核心考點

1.（23-24高一下?山東青島?期中）在AABC中，羽=比正=日，若萬.5>0，則下列結(jié)論正確的為（）

A.AABC一定為鈍角三角形B.AABC一定不為直角三角形

c.44BC一定為銳角三角形D.AABC可為任意三角形

2.（23-24高一下?陜西咸陽?階段練習(xí)）在等式①。以=0；②03="③（小孫"①（5司；④若萬了=萬下,

且47。，貝="其中正確的命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（多選）（23-24高一下?四川樂山?期末）已知平面向量心b,c,則下列說法正確的是（）

A.僅向B,伍+譏k辦=時我

C.a-c=a-b<商wG，則B=ED.|a+Z>|=jo—Z>|,貝！|苕_|_6

高頻考點二：平面向量數(shù)量積的幾何意義

典型例題

1.（23-24高一下?河北衡水?期末）如圖，在邊長為4的等邊AABC中，點E為中線3D上的動點，點/為8C

的中點，則定.屈的取值范圍為（）

C.-2,；D.[-2,1]

2.（23-24高二下?湖南長沙?階段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著"圓滿"和"飽滿"，是自

古以和為貴的中國人所崇尚的圖騰.如圖所示的是一個圓形，圓心為0,A、3是圓。上的兩點，若|鉆|=6,

練透核心考點

1.（23-24高一下?安徽滁州?階段練習(xí)）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生

四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深荽的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形

ABCDEFGH,其中"=1,0為正八邊形的中心，則通.而=（）

A.72-1B.1C.0D.1+^/2

2.（23-24高一上?湖南長沙?期末）在RtZVLBC中，C為直角頂點，3c=4,則阮?麗的值為（）

A.4B.8C.16D.缺少條件，做不出來

高頻考點三：平面向量數(shù)量積的運算（求數(shù)量積）

典型例題

1.（23-24高一下?廣東深圳?階段練習(xí)）已知等邊A/RC的邊長為1,成=2萬=瓦麗=口那么

a-b+b-c+c-a—（）

2.（23-24高一下?山東?階段練習(xí)）在44SC中，。為邊上一點，滿足AO，AB,麗=：配碼=2,

則衣?而=（）

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）在正六邊形ABCDEF中，已知A3=l,則無乙衣=

練透核心考點

1.（23-24高三下?海南省直轄縣級單位?開學(xué)考試）如圖，點P,A,B均在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格

上，貝即例-2網(wǎng)=（）

2.（2024?陜西咸陽,模擬預(yù)測）已知向量汗b=（m,2）,若僅一25）々=0,則不方=（）

A.—8B.—16C.1D.—20

3.（23-24高三下?江蘇揚州?階段練習(xí)）如圖，正八邊形ABCDEFG”,其外接圓O半徑為2,則方.配

高頻考點四：平面向量數(shù)量積的運算（模運算）

典型例題

1.23-24高三下?安徽滁州?階段練習(xí)）已知向量海滿足同=W=|￡+4=1,則忸+5卜（）

A.3B.6C.7D.近

2.（23-24高三下?浙江寧波?階段練習(xí)汨知平面向量Z,B滿足a=（1,2）,|B-|=4且巧-2為，￡,則|B|=（）

A.75B.5C.>/6D.6

3.（2024.全國.模擬預(yù)測）若5=（&冏,a-（a+b）=2,則忸+同=.

4.（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）已知（=（1,2）,1=（2,—3）,c=（l,x）,（a+b）lc,則同=.

練透核心考點

1.（2024?陜西西安?三模）己知平面向量心B的夾角為60。，若2=（1,石），,-2同=2代，則歸卜（）

A.2B.應(yīng)C.-1或2D.2或應(yīng)

2.（2023高二上?甘肅蘭州?學(xué)業(yè)考試）已知向量Z=（2,1）,3=（-2,4）,則［/=（）

A.2B.3C.4D.5

3.（23-24高三上?山西?期末）已知向量2和分的夾角的余弦值為:，日=卜2夜,1）,忖-4=內(nèi)，則同等

于（）

A.2B.4C.3-77D.3+近

4.（2023?北京海淀?三模）已知"為單位向量，向量Z滿足￡.工=2，卜-二|=1,則，的最大值為（）

A.1B.2C.亞D.4

高頻考點五：平面向量數(shù)量積的運算（向量的夾角）

典型例題

1.（2024?遼寧鞍山?一模）己知非零向量5滿足同=2問，向量G在向量5方向上的投影向量是⑸，

則方與方夾角的余弦值為（）

A&R垃c④n2

A.D.?U?

3623

2.（2024高一?全國?專題練習(xí)）已知非零向量乙方滿足2同=3忖,近（2萬-5）,則向量癡夾角的余弦值

為.

3.（23-24高一下?江蘇揚州?階段練習(xí)）已知在AABC中，N是邊的中點，且4麗=前，設(shè)AM與CN

UUU1UUUi

交于點尸.記AB=a,AC=/?.

A

(1)用3,B表示向量麗，西；

(2)若2同=欠=2,且在,屈，求&而的余弦值.

4.(23-24高一下?云南昆明?階段練習(xí))已知向量”(1,1),問=20.

(1)若弓〃5,求5的坐標(biāo)；

⑵若俾-2方)“1+5),求1與5的夾角.

練透核心考點

1.(23-24高一下?河北滄州?階段練習(xí))已知向量Z=(3,1),B=(3,2),"=(1,4),貝"os,石-。=

2.(2021?河南?模擬預(yù)測)已知同=2,a-b=-8,石=(-3,4),則向量Z與分的夾角的正切值為

3.(23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí))己知|￡|=2,出|=",(a-ft).(2a+S)=2.

(1)求|Z+B|；

⑵求向量公與Z+B的夾角.

4.(23-24高一下?河北滄州,階段練習(xí))己知向量〃=(2,3),B=(l,尤)，2=(4,1).

⑴若％=2,a=Xb+pic,求2+〃的值；

(2)若九伍詢，求Z與：的夾角的余弦值?

高頻考點六：平面向量數(shù)量積的運算(兩向量成銳角(鈍角)求參數(shù))

典型例題

1.(23-24高二上?湖南長沙?開學(xué)考試)己知點A(-U),B(3,y),向量4=(1,2),若通與G成銳角，則y

的取值范圍為.

2.(23-24高一下?河南南陽?期中)已知M=(1,2),萬=(1,1)且3與￡+"的夾角為銳角，則X的取值范圍

是.

3.(23-24高三上■黑龍江雞西■階段練習(xí))已知平面向量方=(l,x),B=(2x+3,-尤)，xeR.

(1)①若0//B,求x；②若萬上5，求x；

⑵若向量2與3的夾角為鈍角，求尤的取值范圍.

4.(23-24高一下?江蘇淮安?期中)已知向量l=(1,2)，b=(-3,k)-

(1)若/_L(M+2B),求實數(shù)人的值；

⑵若W與苫的夾角是鈍角，求實數(shù)％的取值范圍?

練透核心考點

1.（23-24高一下?甘肅天水?期末）已知萬石=（41）,若Z與B的夾角為鈍角，則實數(shù)4的取值范圍

是?

2.（23-24高一下?內(nèi)蒙古呼和浩特?階段練習(xí)）已知向量Z=（-2,-l）,5=（2,1）,貝丘與B的夾角。為鈍角時，

4的取值范圍為.

3.（23-24高一下?江西景德鎮(zhèn)?期中）若向量2=（1,3）,5=（羽-1）的夾角為鈍角，則實數(shù)x的取值范圍為.

4.（23-24高一下?重慶■階段練習(xí)）已知向量2=（-2,3）,a+b=（2,5）.

（1）求|5|以及向量商與5的夾角的余弦值；

⑵已知不與日的夾角為銳角，求幾的取值范圍.

高頻考點七：平面向量數(shù)量積的運算（已知模求數(shù)量積）

典型例題

1.（23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí)）已知向量b，滿足間=忖=卜-可，則方.+石）=（）

A.^a2B.產(chǎn)C.+D.；（萬一,

2.（23-24高三下?云南昆明?階段練習(xí)）已知平面向方，方，3同=咽=1,@耳=］，若,

則的最大值為（）

A.8B.4+2括C.4^3+8D.4"

3.（23-24高三上?寧夏銀川?階段練習(xí)）若向量￡,B滿足同=2,何=1,（21方）乂2+方），則￡啰=.

練透核心考點

1.（23-24高三上?山西?期末）已知向量￡和萬的夾角的余弦值為，［卜2忘,1）,則同等

于（）

c.3-77D.3+幣

2.（2023?四川綿陽?模擬預(yù)測）已知平面向量G與方的夾角為45。,小方=2,且同=2,則（。-5）（萬+5）=（）

A.-2A/2B.-2C.2D.2點

3.（23-24高一下,廣東深圳,階段練習(xí)）向量|萬|=出|=2,?=1,若存在實數(shù)r,使得”應(yīng)+（1T）B,則無（萬-5）

的取值范圍是

高頻考點八：向量的垂直關(guān)系

典型例題

1.（2024高一?江蘇?專題練習(xí)）已知反㈤=2,出|=3且向量3Z+2B與心-石互相垂直，則k的值為（）

33

A.——B.-

22

3

C.±-D.1

2

2.（23-24高三下?河南?階段練習(xí)）已知向量方=（3,5）,5=（-1,1）,若心+4），5,則4=.

3.（23-24高一下?陜西咸陽?階段練習(xí)）已知同=1,忖=2,/與方的夾角為60°.

⑴求忸-同；

⑵若向量石+桁與5-質(zhì)相互垂直，求實數(shù)上的值.

練透核心考點

1.（23-24高一下?天津靜海?階段練習(xí)）已知同=2,問=3,且3"2方與行-方垂直，則實數(shù)力的

值為（）

333

A.±-B.C.-D.1

222

2.（23-24高三下?云南?階段練習(xí)）已知單位向量入石的夾角為；-3力，若花+B與2垂直，則2=.

3.（23-24高一下?廣東深圳?階段練習(xí)）己知向量Z，另滿足忖=1,忖=2,且九分的夾角為三.

（1）求（2+2方）石；

（2）若（2力）呼+碼,求實數(shù)4的值；

高頻考點九：向量的投影（投影向量）

典型例題

L（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）已知2=（1,2）,石=（-1,1）,則向量￡在行上的投影向量的模長為（）

A.1B.叵C.旦D.受

255

2.（23-24高一下?江西宜春?階段練習(xí)）已知向量4與5的夾角為120。，且同=2,例=4,則向量2在向量

b上的投影數(shù)量為（）

A.1B.-1C.2D.-2

3.（23-24高一下?河南南陽?階段練習(xí)）已知向量入B、"，其中同=4,忖=6且％與之的夾角是等，B與工的

TT

夾角是:，貝仃+后在2方向上的投影數(shù)量為.

練透核心考點

1.（23-24高一下?山東泰安?階段練習(xí)）已知向量”=（-1,2）,則M在石上的投影向量為（）

A.3B.（-1,2）C,y-,y-D,（1）1）

2.（23-24高三上?山東青島?期末）已知平面向量2=（0,1）石=（-1』），則向量4在向量方上的投影向量是（）

（06rv26

A.一一——B.——,一--

3.（23-24高三上?上海浦東新?期末）已知向量2=（3,4）,向量3=（1,0）,則向量Z在向量5上的投影向量

為.

高頻考點十：平面向量的綜合應(yīng)用

典型例題

1.（23-24高一下?江蘇淮安?階段練習(xí)）已知向量方=（一3,1）石=（1,一2）,而=萬+防（左eR）

⑴向量ZB夾角的余弦值；

⑵若向量正與2日-方垂直，求實數(shù)左的值；

⑶若向量2=（1,-1）,且正與向量廟+2平行，求實數(shù)上的值.

2.（23-24高一下?廣東惠州■階段練習(xí)）已知非零向量Z,B滿足|“|=1,且（2-田一（￡+石）=：.

4

⑴求

--1

⑵當(dāng)小6=一工時，求向量一與￡+25的夾角6的值.

3.（23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí)）已知平面內(nèi)的三個向量2=（3,2）,5=（-1,2）,"=（4,1）.

⑴若Q+、）//日+工），求實數(shù)%的值;

（2）若0+證），G-1）,求實數(shù)％的值.

高頻考點十一：最值范圍問題

典型例題

1.（23-24高一下?北京?階段練習(xí)）已知向量海I滿足同=明=5a-b=~,（a-c,b-c）=^,貝響的

最大值等于（）

A.2幣B.幣C.2D.72

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知同=忖=2,同=1,（"。但-可=0,則司的取值范圍是（）

近-177+1

A.1,痣+1]B.

2'2

#-1#+1

C.[V7-1,77+1]

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結(jié)構(gòu)，在有機化學(xué)中極其重要.有機物蔡

可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡式可以抽象為右圖所示的圖形.已知ABCH1J與CDEFGH為全等

的正六邊形，且他=2,點P為該圖形邊界（包括頂點）上的一點，則衣?麗的取值范圍為（)

D.[-1,36]

4.（23-24高一下?福建莆田?期中）設(shè)平面向量商=G+/,b=3ei+e1,其中為單位向量，且滿足

恒忘，則cos?,,可的最大值為

練透核心考點

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知A,B,C,。是半徑為2的圓。上的四個動點，若AB=CD=2,則

而.無+方/麗的最大值為（）

A.6B.12C.24D.32

2.（23-24高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知同=石，忸|=1,無5=0,歸+司+歸一司=4,22一45,+3=0,

則k-?的最大值為（）

“2屈,?！?72?cc31

A.——+1B.4C.——+2D.——

333

3.（23-24高一下?河南周口?階段練習(xí)）已知平面向量藪"滿足同=|1+3干-4=2,貝伉"的最大值

為.

PA-TcPBPC

4.（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）若AB=3,=2C2，平面內(nèi)一點尸，滿足|西||而|，sinZPAB

的最大值是.

第四部分：典型易錯題型

備注：兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)時注意共線問題

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知：，了為互相垂直的單位向量，?=7-2；,b=l+A],且￡與萬的夾角

為銳角，則實數(shù)4的取值范圍為.

2.（23-24高一下?河北滄州,階段練習(xí)）已知R,可是夾角為60°的兩個單位向量.若￡=3號+2七,5=扃+2號,

其中teR,若3,5的夾角為銳角，則f的取值范圍_____.

3.（23-24高三上?北京懷柔?階段練習(xí)）己知平面向量萬，5滿足同=忖=1,方與5的夾角為60。，若"+B與

ta-b的夾角為鈍角，則一個滿足條件的7的值可以為.

第五部分：新定義題

1.（23-24高一下?山西大同■階段練習(xí)）"元向量（n-tiiplevector）也叫“維向量，是平面向量的推廣，設(shè)

〃為正整數(shù)，數(shù)集尸中的"個元素構(gòu)成的有序組（外孫…，氏）稱為尸上的"元向量，其中q?=L2,L川為該

向量的第i個分量.”元向量通常用希臘字母王瓦》等表示，如訝=（%%,…,q）,P上全體"元向量構(gòu)成的集

合記為P".對于a,￡eP",〃eN*,記＜5=3，%方=3也,…,么），定義如下運算：加法法則

a+P=(ax+bx,a1+b1,---,an+bl^,模公式同==Qa；+…+a：,內(nèi)積

3?萬=2岫=ah，a"…,a“b,,設(shè)2,3的夾角為。,則cos（9=a-P

Z=1HW

⑴設(shè)無￡eP",心3,〃eN*,&=（1,-M,L…,1）,6=（-LLL…,1）,解決下面問題：

①求歸+同；

②設(shè)2與2的夾角為。，求cos。；

⑵對于一個〃元向量a=（《,外,…,見），若㈤=1（，=1,2,…，及），稱￡為〃維信號向量.規(guī)定亂7=0=2，尻

已知人個兩兩垂直的120維信號向量扇瓦，…,或滿足它們的前根個分量都相同，證明：而＜11.

第03講平面向量的數(shù)量積

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識..................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................4

第三部分：高頻考點一遍過............................................4

高頻考點一：平面向量數(shù)量積的定義及辨析...........................4

高頻考點二：平面向量數(shù)量積的幾何意義.............................5

高頻考點三：平面向量數(shù)量積的運算（求數(shù)量積）.....................6

高頻考點四：平面向量數(shù)量積的運算（模運算）.......................7

高頻考點五：平面向量數(shù)量積的運算（向量的夾角）..................8

高頻考點六：平面向量數(shù)量積的運算（兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)）...10

高頻考點七：平面向量數(shù)量積的運算（已知模求數(shù)量積）..............11

高頻考點八：向量的垂直關(guān)系......................................12

高頻考點九：向量的投影（投影向量）...............................13

高頻考點十：平面向量的綜合應(yīng)用..................................13

高頻考點十一：最值范圍問題......................................14

第四部分：典型易錯題型............................................15

備注：兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)時注意共線問題.................15

第五部分：新定義題.................................................16

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、平面向量數(shù)量積有關(guān)概念

1.1向量的夾角

已知兩個非零向量Z和B，如圖所示，作0X=￡，OB=b>則=e

（owew?）叫做向量￡與加的夾角，記作<3范〉.

⑵范圍:夾角。的范圍是［0,乃］.

當(dāng)。=0時，兩向量Z，B共線且同向；

7T

當(dāng)6=—時，兩向量d，B相互垂直，記作

2

當(dāng)■時，兩向量￡,另共線但反向.

1.2數(shù)量積的定義：

已知兩個非零向量辦與B，我們把數(shù)量|Z||B|cos。叫做辦與B的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作7B，即

a-b=\a\\b\cos0,其中J是Z與石的夾角，記作：0=<a,b>.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零.記作：0a=0.

1.3向量的投影

①定義：在平面內(nèi)任取一點0,作的:=￡,而=反過點M作直線ON的垂線，垂足為"1，則可"就

是向量3在向量B上的投影向量.

M

②投影向量計算公式：

當(dāng)。為銳角（如圖（1））時，西*與工方向相同，4=|西'uiacos。，所以西'=|西1|"=iacos6?2；

-------->——TC-

當(dāng)。為直角（如圖（2））時，2=0,所以。A/】=0=|a|cos—e；

2

當(dāng)。為鈍角（如圖（3））時，西■與工方向相反，所以

A=-\OMl\=-\a\cosZMOM］=-|a|cos（^-^）=|a|cos6*,即OMX=\a\cosde.

M

M

°MibNObN

(2)

當(dāng)8=0時，4=|a],所以。I/1=|a|e二|a|cosOe；

當(dāng)6=兀時，A=-\a\f所以O(shè)M]=—|。|e二|a|cosiie

綜上可知，對于任意的8￡[0,兀],都有西二|￡|cos。].

2、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

已知向量￡二（%,%）,萬=（9,%），e為向量Z和石的夾角:

2.1數(shù)量積Q?B二|Q||B|cose=x%2+yiy2

2.2模：|a|=y/a-a=Jx；+y；

2.4非零向量￡的充要條件：a-b=0<^>xix2+yiy2=0

2.5三角不等式：|Q.萬區(qū)]〃加|（當(dāng)且僅當(dāng)Q||B時等號成立）OA：1%+%%?胃；+3.+乂

3、平面向量數(shù)量積的運算

?a-b=b-a

@Aa-b=2（a.B）=Q.（癥）

③（〃+7）?c=〃?c+B?c

4、極化恒等式

①平行四邊形形式：若在平行四邊形ABCD中，則福?麗=」（前2-加2）

41

---------?-------2----?2-----?21---?2

②三角形形式：在A4BC中，M為的中點，所以A3-AC=AM-MB=AM一一BC

5、常用結(jié)論

?(a+b)(a-b)=a-b

?{a+bf=a+2a-b+b

/~、-?―*c~*2-?―?—?，

?(a-b)2=a-2a-b+b

第二部分：高考真題回顧

1.(2023?北京?高考真題)已知向量土方滿足商+方=(2,3),萬一方=(一2,1),貝！Im。一防()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】

利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳解】

向量扇B滿足a+B=(2,3),萬-5=(-2,1),

所以_|B/=(￡+&?(￡_&=2x(_2)+3xl=T.

故選：B

2.(2023?全國?乙卷文)正方形A2CD的邊長是2,E是A2的中點，則反.防=()

A.75B.3C.275D.5

【答案】B

【分析】方法一：以｛AB,A。｝為基底向量表示EC,即，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標(biāo)運算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.

【詳解】方法一：以｛麗而｝為基底向量，可知,@=世|=2,48.4。=0,

uunutruuniuimuumuunuuruuniuuiiuun

貝UEC=EB+8C=-A8+AO,EO=E4+AO=——AB+AD,

22

uunuun(iuunuunA(iuunuumAiuun,uum,

所以EC.EDHiAB+ADH-'AB+ADb-7AB+AD=-1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，

/、z、z、uuuLum

則E(l,0),C(2,2),D(0,2),可得EC=(1,2),ED=(-1,2),

UUUULUU

所以ECED=-1+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=^5,CD=2,

n/r2+CF2-DC25+5-43

在△CDE中，由余弦定理可得cosNDEC="°：，℃=?*匚=!

2DE-CE2xj5x，55

uumuunlUuniiUUttii3

所以EC￡D=|￡q「4cosZD￡C="xV5xM=3.

3.(2023?全國?甲卷文)已知向量2=(3,1),5=(2,2),貝!|cosR+石,￡-方)=()

A1_R舊c小D26

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得口+附￡-/(￡+斗(￡詢，從而利用平面向量余弦

的運算公式即可得解.

【詳解】因為％=(3,1)石=(2,2),所以Z+B=(5,3),H(1,—1),

則忖+4=,52+32=后,,_@=7171=0,[a+5)-[fl-5)=5xl+3x(-l)=2,

所以巾+“一％

'/|fl+Z?||a-&|v34xV217

故選：B.

4.(2023?全國?乙卷理)已知。。的半徑為1,直線PA與。。相切于點A,直線尸8與。。交于2,C兩點，

。為8c的中點，若|尸。|=8，則麗.麗的最大值為()

.1+3?1+20

r\.-------D.----------

22

C.1+^/2D.2+V2

【答案】A

【分析】

由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得西?麗=gsin[2c-，或

麗.麗然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定玩麗的最大值.

【詳解】

如圖所示，|。4|=1,|。尸|=0,則由題意可知:=

當(dāng)點A,。位于直線PO異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)NOPCa,0<a<—,

4

cosa+—

則：PA.PD=\PA\\PD\I4

71

=1XA/2cosacosa+—

\

=A/2COSacosa------sina

2

7

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.小

-----------------sin2a

22

1A/2sin12a一￡

22

。統(tǒng)<?,則一仁=?

77

當(dāng)點AD位于直線尸。同側(cè)時，設(shè)/"Ca,0<a<“

TC

則：PA.PD=\PA\\PD\cosa~~

=1XA/2cosacos

-6cosacosaH-----sina

2

=cos2a+sinacosa

1+cos