2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓中鬼魅阿波羅尼斯圓（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)圓中鬼魅，阿波羅尼

斯圓

圓中鬼魅，阿波羅尼斯圓

8.1定義

引例已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸與兩定點(diǎn)/、8的距離之比為“％>0),那么點(diǎn)尸的軌跡是什么？

Ipjl

證明不妨設(shè)/(—。，0)、3(c,0)(c>0),P(x,y),由一=2(Z>0)得：

\PB\

J(x+c)2+/

=4,即

(1-Z2)x2+2c(l+22)x+c2(l-22)+(1-22)/=0,

①當(dāng)Jwl時(shí)，即為V+2c(l+1)x+°2+2=0,整理得：0一4±1「+/

1-22IZ2-l)

總為半徑的圓;

即點(diǎn)尸的軌跡是以4T±lc,0為圓心,

②當(dāng)2=1時(shí)，化簡(jiǎn)得x=0,即點(diǎn)尸的軌跡為y軸.

定理一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)〃彳>0,2/1)的點(diǎn)的軌跡是圓，此

圓被叫做“阿波羅尼斯圓”.特殊地，當(dāng)2=1時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡是線段的中垂線.

起名背景阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)

期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐

曲線》一書(shū)，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.

注在研究完橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，對(duì)于|尸削+|尸8|=2。，||尸削-出劇|=2°,我

們可以清楚地了解點(diǎn)尸的軌跡；類似地，如果改成：=或|上4|?|尸弱=2°,點(diǎn)尸的軌

\PB\

跡方程又當(dāng)如何？

顯然，本專題就是對(duì)幽=2。進(jìn)行的探究，對(duì)于|尸削/尸因=2。的探究，可參見(jiàn)后續(xù)圓

\PB\

錐曲線之卡西尼卵形線專題.

8.2調(diào)和點(diǎn)列vs阿波羅尼斯圓

如圖，①/、C、B、。為調(diào)和點(diǎn)列；②PC、尸。分別為//尸3的內(nèi)、外角平分線；③PC

±PD；以上三個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)都可以推得第三個(gè)!

P，一

設(shè)阿波羅尼斯圓的圓心為。，半徑。。=。0=/，則有上=止=叱=4,即

PBCBDB

OA-rOA+r日口OA-r+OA+rOA-r-(QA+r)即即

——4,——4g\"

r-OBOB+rr-OB+r+OBr-OB-(r+OB)

OA?OB=戶(反演).

AB

同時(shí)，即r=

~~zr-

z

已知兩個(gè)定點(diǎn)及定比，求阿波羅尼斯圓

半徑公式已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸與兩定點(diǎn)N、8的距離之比為2(2*1),則已知兩個(gè)定點(diǎn)/、B,

及定比2,則.【最好熟記！】

EMC彳4B

注菠蘿圓的常用公式必=9=」二=4,04?08=/，菠蘿圓的半徑為：r=~c

PBrOBA--

A

很常用，形式也很簡(jiǎn)單，最好熟記?。?/p>

圓心坐標(biāo)利用定比分點(diǎn)求內(nèi)外分點(diǎn)的坐標(biāo)，即4。=±九08,。包括￡)內(nèi)、。外，由于

內(nèi)外分點(diǎn)也是圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，故圓心坐標(biāo)和半徑可以一起確定.

已知一個(gè)定點(diǎn)和阿波羅尼斯圓，求另一個(gè)定點(diǎn)和定比

如圖，已知其中一個(gè)定點(diǎn)/,以及動(dòng)點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的阿波羅尼斯圓，如何快速確定另一個(gè)定

點(diǎn)2和定比力的位置？

注圓心。在線段的延長(zhǎng)線上?。∮行┐中牡耐瑢W(xué)在數(shù)形結(jié)合畫(huà)草圖的時(shí)候，肯定會(huì)犯

模糊？

例已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸與兩定點(diǎn)小0,0)、3(3,0)的距離之比為;，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程

為.

法一直譯法

設(shè)點(diǎn)尸(x,y)是曲線上任意一點(diǎn)，則=.，化簡(jiǎn)整理可得:(X+1)2+/=4.

/xT+F2

法二利用定比分點(diǎn)，確定內(nèi)外分點(diǎn)法

設(shè)。為分點(diǎn)，則詬=±；礪，可得：。內(nèi)(1,0)，。外(-3,0),由于內(nèi)外分點(diǎn)也是圓直

徑的兩個(gè)端點(diǎn)，易得圓心坐標(biāo)為(-1,0),半徑為2.

法三設(shè)圓心為C,半徑為r,貝|，=^~=-^=2,又里=8=-^=L，即口=1,

1,1PBrCB1

5zt---2-----

A2

由定比可知圓心C在定點(diǎn)A的左側(cè)，故C(-1,0).

例(1)(2006四川文理)已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(l,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足條件I上4|=2\PB\,

則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于().

A.7iB.4兀C.8兀D.9兀

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，圓龍2+/=1交X軸于/、8兩點(diǎn)，且點(diǎn)/在點(diǎn)3左邊，若直

線x+5+加=0上存在點(diǎn)尸，使得|尸削=2仍8|,則正的取值范圍為.

解(1)選B；r=^-=^—=2;(2)一21.

2--2--L3」

A2

例(1)(2008江蘇)滿足條件48=2,AC=41BC的AABC的面積的最大值是.

(2)已知等腰三角形腰上的中線長(zhǎng)為G，則該三角形面積的最大值是.

解(1)法一易知C的軌跡為圓。，且半徑=——=20,分析易得：

A--行

272

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取最大，即為2挺.

法二作高法；作CDJ_4B于點(diǎn)。，設(shè)4D=x,CD=〃，貝lj8￡?=|2-x|,由/C=JiBC

可得：

x2+h2=2((x-2)2+h2),即h2=—x2+8x-8,

故〃2V8,易知面積最大為20.

⑵法一如圖所示，AB=AC,中線AD=6，S&ABC=2S“BD，又48=240,/的

軌跡是以3、。為定點(diǎn)的菠蘿圓，其半徑=逋，故△N3C最大值為

A-12-13

42

2x—xBDx尸=2.

2

7

法二借助重心的性質(zhì)：如圖所示，設(shè)重心為G,則CG=5G=—5。，故

3

149

S./\A力BC,=/\r《.=3x—x—?BQ??sin/BGC<2,

當(dāng)且僅當(dāng)N3GC=巴時(shí)取等號(hào).

2

例(2014湖北文壓軸)已知圓O：x2+/=1和點(diǎn)A(-2,0),若定點(diǎn)B(b,0)(6*-2)和常

數(shù)4滿足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M,都有M四|=/他4|,則(1)6=；

(2)2=.

解此題的背景是阿波羅尼斯圓，熟悉背景的話，此題可以直接口算，是送分題！

由于乙乙=廠2,故6=-；，結(jié)合圖形可知1MBl<|范例，即2<1,即2=「［=困=(.

例在平面坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+j?=r&>0),兩個(gè)定點(diǎn)/go1和

(SPA

5(q,0)aw§r,且尸為圓上任意一點(diǎn),若—為定值左，則a=,k=.

22

解結(jié)合草圖必有Q〉0且0〈左<1,由OA?OB=r,BP—?a=r^>a=3r,

3

OAr

例(2015湖北理壓軸)如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)7(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)4

8(8在/的上方)，且以*=2.

⑴圓C的標(biāo)型方程為；

(2)過(guò)點(diǎn)/任作一條直線與圓。：/+/=1相交于〃、N兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論:

網(wǎng)一紅網(wǎng)_幽_2.③幽+幽一2也

°\NB\\MB\'°|W|\MB\'°\NA\MB\

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))

(2)顯然圓O是以A、B為定點(diǎn)的阿波羅尼斯圓，易得/(0,8-1),5(0,72+1),阿

波羅尼斯圓的半徑r=l,故詈!=幽=刨=4=&-1,粵=0+1,因此，①②

|7V3|\MB\r\OB\\NA

③都正確.

例(1)已知點(diǎn)尸在邊長(zhǎng)為2的正方形N5CO的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，則/P+何P的最小值

是.

(2)已知P在邊長(zhǎng)為2的正三角形/8C的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，則AP+2BP的最小值是

解(1)有圓。和一個(gè)定點(diǎn)(/或8),由于。/=。8,故不妨取/為定點(diǎn)，設(shè)另一個(gè)

,6

OA'=__pA1—

定點(diǎn)為H,定比為力(結(jié)合圖形，必有％>1),則。/?。4=/=>"一2，則W=X=

A=V2PA

因此，AP+GBP=6(AP'+BP)2亞大B,又A'B=>JOA'2+OB2=,故

AP+42BP>45.

⑵和上題分析類似，?04=/T,AP+2BP=2(/P+BP)>2A'B=々.

4=2

例(1)已知4、5分別為x、歹軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且48=10,/為4B的中點(diǎn)，P(10,0),

,3］，則^PM+QM的最小值為.

(2)設(shè)點(diǎn)加■在圓C：(x-4)2+(y-4)2=8上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)/(6,-1),。為原點(diǎn)，貝UMO+2肱4

的最小值為.

(3)如圖所示，直角扇形AOB的半徑為6,C、D分別為OA、OB上的點(diǎn)，其中OC=3,

OD=5,點(diǎn)P為弧AB上任意一點(diǎn)，則2PC+PD的最小值為.

根據(jù)“工尸M+QM”可以確定菠蘿圓的定比必為2或上，又OP=10,—=2,顯然

22r

菠蘿圓的一個(gè)定點(diǎn)必定可以是P,設(shè)另一個(gè)定點(diǎn)為N(”，0),利用==

即小；

(2)根據(jù)“M9+2M4”可以確定菠蘿圓的定比必為2或L又r=2女，OC=4近,

2

—=2,顯然菠蘿圓的一個(gè)定點(diǎn)必定可以是原點(diǎn)0,設(shè)另一個(gè)定點(diǎn)為尸，利用

r

==&，點(diǎn)P在直線y=x上，易得尸(3,3),結(jié)合圖形可知愛(ài)=2,故

MO+2MA=2MP+2MA>2PA=10.

(3)13；方法類似，具體過(guò)程略.

8.3角平分線vs阿波羅尼斯圓

MA-MCMB-MC

例(1)(2016臺(tái)州一模)已知C是線段上的一點(diǎn)，％=，

|AS|\MB\

則必挈的最小值范圍為_(kāi)__________.

IZBI

⑵(2016杭州一模)已知力、礪是非零不共線的向量，T^OC=-OA+-^OB,定

r+1r+1

義點(diǎn)集K華多=絲萃，豆片彳商］,當(dāng)&、K,eW時(shí)，若對(duì)于任意的北2,

I\KA\KB\'

不等式|用瓦|<cl7^恒成立，則實(shí)數(shù)c的最小值為.

解⑴-;MA-MC

絲=邑=2BMC=2AMC,故點(diǎn)M軌跡是以A、B為定

\MB\

點(diǎn)的菠蘿圓.

設(shè)AB的中點(diǎn)為D,利用極化恒等式:

2

MA-MBI礪『-由「>|函「-屈I2

\AB\29

(2)-；OC=——OA+——OB=AC=rCB,n/AKC=/BKC,

3r+1r+1

故點(diǎn)K的軌跡為圓，又不等式|而|<c］焉卜恒成立，故c>

—4RK,Kii4

顯然，當(dāng)為圓的直徑時(shí)取得最大值，故&(=當(dāng)，即仁津?二—二〉」丁=3

」網(wǎng)」2-13

rr2

JT

例在中，AC=2,AB=mBC(m>1),若恰好當(dāng)2=時(shí)，△/5C面積最大,

貝!Jm=.

答案2+6；如圖所不，點(diǎn)B的軌跡為菠蘿圓O,因止匕，當(dāng)△/BC面積最大時(shí)，OB=r,

由于//BC=巴，ikZABM=ZCBM=-,又NBMC=?,則

364

BAOA

m=------=tanAOCB=tan75°=2+73.

BCOCOC

例P、。是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且出4=4(%>0且2R1),點(diǎn)M的軌

阿|

跡圍成的平面區(qū)域的面積為S,設(shè)S=/(2),則以下判斷正確的是().

A./(㈤在(0,1)上是增函數(shù)，在(1,+8)上是減函數(shù)

B./(/)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+8)上是減函數(shù)

C./(刃在(0,1)上是增函數(shù)，在(1,+oo)上是減函數(shù)

D./(㈤在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+8)上是增函數(shù)

解設(shè)|尸0|=4,貝?。荩?=上下，故5=/(2)=兀/=—耳—，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì),

幾'r+-V-2

A22

顯然選A.

例已知點(diǎn)3(1,0),C?,0),點(diǎn)。是直線NC上的動(dòng)點(diǎn)，若恒成

立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是.

解對(duì)40W2助直譯可得點(diǎn)D的軌跡是：+［y+^］N|，

依題意，只須直線/c：?+y=i與圓口一｛+,+；］=［相切或相離即可，即

41

332速，解得/V2-G或此2+百.

J1+”3

例過(guò)△NBC的重心G作直線分別交邊。于點(diǎn)M、N,若AB=6,AC=43BC,

則當(dāng)△NBC的面積最大時(shí)，四邊形MNCB面積的最大值為（）.

A,巫口5屈?5百D,巫

D.---C.------

189918

解選D；由"AB=6,AC=43BC”可知點(diǎn)C的軌跡為圓，且半徑

AB

r=41

12

當(dāng)△45C的面積最大時(shí)，則此時(shí)的點(diǎn)C到的距離為半徑尸，此時(shí)

1n

SzA_AABC=2-AB-K=2^.欲使得四邊形MNC5面積最大，則等價(jià)于△4W的面積最小,

直線過(guò)△45。的重心G,設(shè)萬(wàn)7=%刀，AN=yAC,其中0<x、><l,

/—,■、

1(AMAN],MN三點(diǎn)共線可得：

則4=；（布+硝-----------+------、、G3='+',

3xy)xy

11144

由于3=—+—出^,故孫N-,S&,AMN=^'S>--S，因此，四邊形

xy89AABCAABC

s6

面積的最大值為—,此時(shí)的直線MN恰好和直線5c平行.

18

例已知△48C的面積為1,//的平分線交對(duì)邊3C于。，AB=2AC,S.AD=kAC,

左￡R,貝I當(dāng)左=

解—；由/B=2/C可知：點(diǎn)N的軌跡為阿氏圓，設(shè)其半徑為七則堡=」上=!

5ROB2

D

故。。=—,0B=2R,如圖所示，作出相應(yīng)的幾何圖形.

2

由于△ZBC的面積為定值，欲使得邊5C的長(zhǎng)度最短，則5C邊上的高必須最大，即為

半徑R,即在阿氏圓與y軸的交點(diǎn)處，此時(shí)40Z=002+尺2=2叱，4c°=OC?+R°=，R2.

例在△48C中，點(diǎn)。在邊8c上，且DC=28。，AB：AD：AC=?,：kA,則實(shí)數(shù)左

的取值范圍為.

_____?O____?1____?

法一根據(jù)題意有發(fā)=2而，BPAD=-AB+-AC,兩邊平方整理得：

33

k2二衛(wèi)+Ucos。，其中。為刀和衣的夾角，故?！?0,兀)，注意到左〉0,易解得左.

99

B%

法二由于四=3,如圖所示，構(gòu)造菠蘿圓模型，設(shè)菠蘿圓的半徑為R,則竺=區(qū)=3,

ROC

即OC=K,OB=3R,CD=-BC=—R.

不妨令R=9,則菠蘿圓方程為：x2+y2=81,C(3,0),。(妨，0),故

(x-lk+y

xe(-9,9)，

(x-3)2+y2

注意到15e(-9,9),故人在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值，易得上與，；.

注法一中的向量手法，可以積累一下，在解三角形中，與線段分點(diǎn)有關(guān)的題，可以嘗

試使用！

法二利用了阿氏圓的背景，相對(duì)法一，思路也很簡(jiǎn)單，就是計(jì)算量是硬傷！！

例已知共面向量a、b、c滿足|。|=3,b+c=2a,且|/>|=|/>-c|.若對(duì)每一個(gè)確定

的向量方，記山Ta|(feR)的最小值為4mm,則當(dāng)力變化時(shí)，人加的最大值為()?

4

A.-B.2C.4D.6

答案選B.

B

C

a

解如圖所示，易知點(diǎn)B的軌跡為阿氏圓，41kl的最大值即為阿氏圓的半徑/=告=2.

2--

2

Jv2

例已知橢圓茄+方=1(。>6>0),A、F是其左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，P是圓=〃上

Ipjl

的動(dòng)點(diǎn)，若需=4(2為常數(shù))，則此橢圓的離心率為.

解點(diǎn)P的軌跡是菠蘿圓，故|。削,|。*=/,即m=加，解得e=避二L

2

例(2013江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/(0,3),直線/：y=2x-4,設(shè)圓

C的半徑為1,圓心在直線/上.

(1)若圓心C在直線y=x-l上，過(guò)點(diǎn)/作圓C的切線，求切線的方程.

(2)若圓C上存在點(diǎn)使兒〃=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

解(1)圓心C為直線了=2x-4和y=x-l的交點(diǎn)，解得C(3,2),易知切線的斜率必存

在，故設(shè)切線為了=h+3,則=解得左=0或左=-\,故切線的方程為了=3或

3x+4j?-12=0.

(2)圓心C在直線y=2x-4上，故圓C的方程為：(x-a)2+[y-2(a-2)]2=l,

設(shè)M(x,y),由=得：-3)2=2舊+/,即/+(了+1)2=4,因此，

點(diǎn)M的軌跡是以圓心。(0,-1),半徑為2的圓.

由題意可知點(diǎn)M也在圓。上，因此，只需要圓C和圓。有公共點(diǎn)即可，故

|2-1|<|CZ)|<2+1,BP1<7a2+(2a-3)2<3,

mo＜a＜—故圓心。的橫坐標(biāo)Q的取值范圍為

5f

例(2002全國(guó)文)已知點(diǎn)尸到兩定點(diǎn)M(-1,O)、N(l,0)距離的比為后，點(diǎn)N到直線

的距離為1,求直線7W的方程.

解設(shè)尸的坐標(biāo)為(xj),由題意有*=3,即J(x+1)2+/=VLJ(XT)2+R,

整理得尤2+「-6x+1=o,因?yàn)辄c(diǎn)N至！JPM的距離為1,I兒w|=2,所以PMN=30°,直線PM

的斜率為土;,直線PM的方程為y=±g(x+l),將了=±f(x+1)代入Y+y2-6x+1=0

整理得/-4x+l=0

解得X=2+G，x=2-6,則點(diǎn)尸坐標(biāo)為(2+G1+G)或(2-君1+G),

(2+6,—1一白)或(2—6,1一百)，直線尸N的方程為y=x_l或y=_x+l.

例在x軸正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)/、B,使得圓f+必=4上任意一點(diǎn)到43兩

點(diǎn)的距離之比為常數(shù)!？如果存在，求出點(diǎn)/、2坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

分析設(shè)點(diǎn)P為圓。上任一點(diǎn)，半徑「=2,假設(shè)/在2的左側(cè)，則必=四=二=0