2025年江蘇省高考數學模擬試卷（附答案解析）

2025年江蘇省高考數學模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.（5分）若集合/=W3},B={x|x=3z?-1,”6N},貝!]/門8=（）

A.0B.{3,6,9}C.{2,5,8}D.{-1,2,5,8}

z

2.（5分）已知復數z滿足丁丁=2?2°24,則復數2在復平面內對應的點在（）

（1-Ot

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（5分）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從/,B,C,。四個旅游景點中任選一個前去游玩，其中甲

到過N景點，所以甲不選/景點，則不同的選法有（）

A.60B.48C.54D.64

4.（5分）下列四個命題中，是真命題的為（）

A.任意x€R,有X2+3<0B.任意x6N,有了>1

C.存在XCZ,使/<1D.存在X6Q,使f=3

5.（5分）已知點/（1,0）,5（-1,0）.動點M滿足眼川-也因=2,則點M的軌跡方程是（）

A.y=0KW1）B.y=0（x2l）

C.尸0（xW-1）D.尸0（網21）

7T—TTT

6.（5分）若a,b都為非零向量，且a，（a+2b）,\a+3b\=|2a-b\,則向量a,b的夾角為（）

7T37r7T27r

A.-B.—C.-D.—

4433

7.（5分）過圓錐PO高的中點。作平行于底面的截面，則截面分圓錐尸。上部分圓錐與下部分圓臺體積

比為（）

1111

A.-B.-C.~D.一

2357

8.（5分）已知函數f（x）=屋園，則使得/（2a）</（a-1）成立的正實數a的取值范圍是（）

111

A.（3，+°°）B.[可，+8）C.（0,1）D.（01可）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

（多選）9.（6分）已知a,b€R,有一組樣本數據為2+a,3,6-b,7-a,8,10,11+6,12,13,若在

這組數據中再插入一個數8,則（）

A.平均數不變B.中位數不變

第1頁（共14頁）

C.方差不變D.極差不變

（多選）10.（6分）若函數/（X）=2s譏德久一/）,貝!|（）

A.f（x）的最小正周期為10

B./（x）的圖象關于點弓，0）對稱

C./（x）在（0,端）上有最小值

D./（x）的圖象關于直線％=竽對稱

（多選）11.（6分）過拋物線f=4x的焦點下作直線交拋物線于4,3兩點，M為線段A3的中點，過點

/作拋物線的切線則下列說法正確的是（）

A.|/用的最小值為4

T-10

B.當AF=3FB時，\AB\=--

C.以線段N2為直徑的圓與直線x=-1相切

D.當|/用最小時，切線為與準線的交點坐標為（7,0）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）在（/+|）5的展開式中，x的系數為.（用數字作答）

,TTT,

13.（5分）己知向量a=（2,5）,b—（cosa,sin2a）,且a||b.則sina的值為.

14.（5分）己知直線/：y=Ax是曲線/（x）=y+1和g（x）=/nx+a的公切線，則實數a=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）設等比數列｛即｝的前〃項和為S”且a4-ai=14,5,3=14.

（1）求數列｛斯｝的通項公式；

（2）設好=[n為瞥心數列｛6“｝的前2"項和為乃“，求⑸.

klog2an,n為奇數

16.（15分）某研究機構隨機抽取了新近上映的某部影片的120名觀眾，對他們是否喜歡這部影片進行了

調查，得到如下數據（單位：人）：

喜歡不喜歡合計

男性403070

女性351550

合計7545120

第2頁（共14頁）

根據上述信息，解決下列問題：

(1)根據小概率值a=0.10的獨立性檢驗，分析觀眾喜歡該影片與觀眾的性別是否有關；

(2)從不喜歡該影片的觀眾中采用分層抽樣的方法，隨機抽取6人.現從6人中隨機抽取2人，若所

選2名觀眾中女性人數為X,求X的分布列及數學期望.

2

附.y=-----n(ad-bc)2-------------苴中”=a+6+c+d

PIJZ

-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'八甲'。十。十c十。.

a0.150.100.050.0100.001

Xa2.0722.7063.8416.63510.828

17.(15分)如圖，在四棱錐P-48CD中，^_L平面/BCD,四邊形/BCD是矩形，PA=AD,過棱PD

的中點E作跖，PC于點尸，連接“尸.

(I)證明：PC±AF；

(II)若CD=2AD=2,求平面NEF與平面所成角的正弦值.

一1

18.(17分)已知函數/'(x)=ax—1一(a+l)bix(a6R).

(1)當a=-1時，求曲線y=/(x)在點(e,/(e))處的切線方程；

(2)若/G)既存在極大值，又存在極小值，求實數a的取值范圍.

x2y2

19.(17分)已知橢圓C：/+金=1(a>b>0)的半長軸的長度與焦距相等，且過焦點且與x軸垂直

的直線被橢圓截得的弦長為3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線/o：x+2y-2=0與橢圓C交于/,3兩點，過點尸(2,3)的直線交橢圓C于E,尸兩

點(E在靠近P的一側)

(i)求的取值范圍；

(ii)在直線/o上是否存在:一定點使/現〃=/月以4恒成立？若存在，求出“點坐標；若不存在,

請說明理由.

第3頁(共14頁)

2025年江蘇省高考數學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.（5分）若集合/=點W3},B={x\x—3n-1,nGN},則/D2=（）

A.0B.{3,6,9}C.{2,5,8}D.{-1,2,5,8}

【解答】解：依題得：A={x|V%<3}=[0,9],5={x|x=3"-1,"6N},則/C2={2,5,8）.

故選：C.

2.（5分）已知復數z滿足7Tq=2a°24,則復數2在復平面內對應的點在（）

（1-Qt

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：z=2嚴24.a-j）.i=2i.（1-/）=2+23則2=2-23對應的點為（2,-2）,在第四

象限.

故選：D.

3.（5分）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從/,B,C,。四個旅游景點中任選一個前去游玩，其中甲

到過/景點，所以甲不選N景點，則不同的選法有（）

A.60B.48C.54D.64

【解答】解：根據題意，甲不選N景點，則甲有3種選法，

乙、丙在四個旅游景點中任選一個，有4X4=16種選法，

則有3X16=48種選法.

故選：B.

4.（5分）下列四個命題中，是真命題的為（）

A.任意xCR,有》2+3<0B.任意xCN,有了>1

C.存在xez,使/<1D.存在X6Q,使f=3

【解答】解：由于對任意xER,都有所以有/+3》3,故/為假命題.

由于0CN,當x=0時，了=0>1不成立，故2為假命題.

由于-lez,當x=-i時，x5=-1<1,故c為真命題.

由于使x2=3成立的數只有±百，而它們都不是有理數，

因此沒有任何一個有理數的平方等于3,故。是假命題.

故選：C.

第4頁（共14頁）

5.（5分）已知點/（1,0）,5（-1,0）.動點M滿足幽卻-此的=2,則點M的軌跡方程是（）

A.尸0(-14W1)B.尸0(G1)

C.y=0(x<-1)D.y=Q(兇21)

【解答】解：,點/(1,0),5(-1,0).：.\AB\^2.

又動點M滿足|朋卻TAffi|=2,

...點M的軌跡方程射線：y=0(xW-1).

故選：C.

->TTT—T—tTTT

6.(5分)若a,b都為非零向量，且al(a+2b),|。+3bl=|2。一可，則向量a,b的夾角為()

兀37r7127r

A.-B.—C.-D.—

4433

TTTTTT-

【解答】解：因為al(a+26),\a+3b\=\2a-b\,

(TTT

a?(a+2b)=02

所以即a+2a-b=0

TTTT_>T—

、|a+3b\2=\2a—b\2,—3a2+8b2+10a-b=0

_>TTT

化簡得蘇=b2——2a-b,所以|a|=

一—TT

所以cos〈即b〉=：2=

\a\\b\—2a力

_?—>_?->

因為0<〈a,b)<7T,所以〈a,b)=-g-.

故選：D.

7.（5分）過圓錐尸。高的中點。,作平行于底面的截面，則截面分圓錐PO上部分圓錐與下部分圓臺體積

為

比

111

A-C--

35D.7

【解答】解：設截面圓半徑為尸，圓錐的高為力，圓錐的體積為匕，

則圓臺下底面圓的半徑為2%圓臺的高為〃，圓臺的體積為-2，

171

222

所以展=可加九（7+2T2+4r）=-^nhr,V1=-^7irh,

1

可得『

?27

故選：D.

8.（5分）已知函數/（x）=/慟，則使得/（2Q）</（^z-1）成立的正實數Q的取值范圍是（）

111

A.（可，+8）B.［可，+oo）C.（0,1）D.（0,可）

第5頁（共14頁）

【解答】解：根據題意，由題意可知/(X)的定義域為R,

且/(-X)=屋「吊=。-慟=/(X),所以/(%)為偶函數.

當x>0時，/(久)=2，則函數/(x)在(0,+8)上單調遞減，且/(x)>0.

所以不等式/(2a)成立，需12al

1

解得或a>?又。>0,

所以a>4,即正實數。的取值范圍是或+oo).

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

(多選)9.(6分)已知a,b&R,有一組樣本數據為2+a,3,6-b,7-a,8,10,11+6,12,13,若在

這組數據中再插入一個數8,則()

A.平均數不變B.中位數不變

C.方差不變D.極差不變

【解答】解：對于/選項，原數據的平均數為8,插入一個數8,平均數不變，故/正確；

對于2選項，取。=-2,6=1,原數據的中位數為9,新數據的中位數為8.5,故2錯誤；

222

對于C選項，新數據的方差為s=JQ[(2+a—8)2+(3—8)2H—(13—8)+(8—8)]Vg[(2+a-

8)2+(3-8)2+-(13-8)2]=s2,故C錯誤；

對于。選項，因為3<8<13,所以8不是最值，故新數據的極差不變，故。正確.

故選：AD.

(多選)10.(6分)若函數/(X)=2s譏慮x-今)，貝！|()

A.f(x)的最小正周期為10

B./(x)的圖象關于點弓，0)對稱

C./(x)在(0,年)上有最小值

D./(%)的圖象關于直線％=竽對稱

【解答】解：,函數f(x)=2sin(gx-今),

2TTA

(x)的最AT小正周期為？-=10,.9.A選項正確；

第6頁(共14頁)

,//（-4）=2sin（一°孺77"）WO,???B選項錯誤；

J5luu

257T77TT

VxG（0,—）,（-4，n），

.../（x）在（0,空）上沒有最小值，，C選項錯誤；

151c

V/（―）=2,.*./（%）的圖象關于直線％=方~對稱，.二。選項正確.

J4J4

故選：ND

（多選）11.（6分）過拋物線/=4x的焦點F作直線交拋物線于4,8兩點，M為線段N3的中點，過點

/作拋物線的切線為，則下列說法正確的是（）

A.|48|的最小值為4

TT10

B.當時，|2用=詈

C.以線段為直徑的圓與直線％=-1相切

D.當|4回最小時，切線口與準線的交點坐標為（-1,0）

【解答】解：對于4,依題意可設直線45的方程為、=叼+1,A（xi,y\）,B（如玫），M（xo,yo）,

則xi>0,X2>0，

聯立{丫2_j，消x整理得f-4my-4=0,

貝！J》U2=-4,代入>2=4%得

則=X1+X2+2=X1+^-+2>2J%1,'+2=4,當且僅當xi=X2=l時取等號，

所以|4S|的最小值為4,故4正確；

—>—>

對于B,結合4可得4F=（1-第1，一丫1），FB=&-1,丫2），

%]—3

{二=工，|力切=K1+%2+2=竽，故3錯誤；

對于C,由題意得拋物線的準線方程為x=-1,焦點尸（1,0）,

設/,B,"在準線上的射影為H,女，"'，

111

則朋=必,\BF\^\BB'|,\MM]=^（\AA]+\BB]）=^\AF\+\BF\）=^\AB\,

所以以線段N3為直徑的圓與直線x=-l相切，故C正確；

對于。，結合/可得，當以8|最小時，不妨取/（1,2）,

則可設切線口的方程為x=〃（y-2）+1,

第7頁（共14頁）

聯立圣17一2)+1，消x整理得產-4ny+8n-4=0,

則A=16"2-4(8"-4)=0,解得〃=1,所以切線R1的方程為彳=〉-1,

聯立｛：二；1,解得x=-l,尸0,即切線力與準線的交點坐標為(7,0),故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(5分)在。2+叁)5的展開式中，x的系數為80.(用數字作答)

【解答】解：由題設，展開式通項為小尸禺(/)5)(|)』2『C"1°今，

令10-3r=l,

則尸=3,x的系數為23cg=80.

故答案為：80.

13.(5分)已知向量Q=(2,5),b=(cosa,sin2a)f且a||b.則sina的值為±1.

,->TTT

【解答】解：因為a=(2,5),b=(cosa,sin2a),且a||b,

所以5cosa=2sin2a,即5cosa=4sinacosa,即cosa(5-4sina)=0,

因為sinae[-1,1],

所以5-4sina>0,

所以cosa=0,又sin2a+cos2a=0,

所以sina=±1.

故答案為：士1.

14.(5分)已知直線/：是曲線/(%)="+1和g(x)=歷什〃的公切線，則實數a=3

【解答】解：設直線/與曲線歹=/(x)相切于點(xo,泗)，

由，(X)="+1,得々=/。0)=e&+i,因為/與曲線/(x)="+1相切，

所以消去得〃。+1而=〃。+1,解得xo=L

第8頁(共14頁)

設/與曲線y=g（x）相切于點（xi，/）,由得k=，=^~,即。2打=1,

XXi

因為（％1,>1）是/與曲線g（x）的公共點，

所以I,消去yi，得昌；1=>工1+4,即1=仇與+。，解得。=3.

故答案為：3.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）設等比數列｛斯｝的前幾項和為S“，且a4-i=14,83=14.

（1）求數列｛劭｝的通項公式；

（2）設好=[%，”為及數列｛瓦｝的前2〃項和為T2”，求⑸.

Vlog2anfn為奇數

【解答】解：（1）由題意，設等比數列｛斯｝的公比為公

則，*~ai=aiQ3—=14

2

、（S3=%+arq+arq=14'

即啾人T）=14?c,

（Qi（l+q+q2）=14②

。3—1

由①?②，可得12=L

l+q+染

整理，得/-/_9_2=0,

即（q-2）（q2+q+l）=0,

-1Q

,?*^+^+1=（夕+于2+4〉。，

??q=2,

將9=2代入①），解得。1=2,

???斯=2?2寸1=2",〃WN*.

a,八為偶數

（2）由（1）,可得以=n

log2an,n為奇數

=(2\八為偶數

In,九為奇數，

T2n=b\+bl^----\-bln

=(bi+b3~\-----\~b2n-1)+(bi+b^---FZ72?)

=[1+3+5+…+(2n-1)]+(22+24+--+22n)

_(l+2n-l)n,4(l-4n)

=2+1-4

第9頁（共14頁）

=-4n+1+n2--1.

16.（15分）某研究機構隨機抽取了新近上映的某部影片的120名觀眾，對他們是否喜歡這部影片進行了

調查，得到如下數據（單位：人）：

喜歡不喜歡合計

男性403070

女性351550

合計7545120

根據上述信息，解決下列問題:

（1）根據小概率值a=0.10的獨立性檢驗，分析觀眾喜歡該影片與觀眾的性別是否有關；

（2）從不喜歡該影片的觀眾中采用分層抽樣的方法，隨機抽取6人.現從6人中隨機抽取2人，若所

選2名觀眾中女性人數為X,求X的分布列及數學期望.

附.y2=---------n(ad-bc)2------苴中”=a+6+c+d

叩,*(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'八,'。十。十c十a.

a0.150.100.050.0100.001

Xa2.0722.7063.8416.63510.828

【解答】解：（1）零假設“：不能認為觀眾喜歡該影片與觀眾的性別有關.

由題意得％2=黑蕊％3°）2工2.057<2.706=%0.10,

故根據小概率值a=0.10的獨立性檢驗，推斷為成立，

???不能認為觀眾喜歡該影片與觀眾的性別有關；

（2）從不喜歡該影片的觀眾中采用分層抽樣的方法，隨機抽取6人，

由于不喜歡該影片的觀眾中男性與女性的比例為2：1,

故隨機抽取6人中有4名男性和2名女性，

故X的取值可能為0,1,2,

則P（x=o）=口=|,p（x=l）=^=gP（X=2）=^=4.

故X的分布列為:

X012

P281

51515

2o12

故E(X)=0x5+1xYg,+2x=亍

第10頁（共14頁）

17.(15分)如圖，在四棱錐P-48。中，B4_L平面/BCD,四邊形/BCD是矩形，PA=AD,過棱PD

的中點E作EFLPC于點F,連接AF.

(I)證明：PC1AF；

(II)若CD=2/D=2,求平面/￡尸與平面RIB所成角的正弦值.

【解答】解：(I)證明：因為B4_L平面N3C￡>,CDu平面PCD,

所以B4_LCD,

又因為CD_L/。，PADAD=A,

所以CD_L平面BID,

又因為N￡u平面為〃，

所以CDLAE,

又因為刃=/。，￡為尸。中點，

所以4ELPD,

又因為尸。ncD=。，

所以NE_L平面PCD,

又因為尸Cu平面PCD,

所以NE_LPC,

又因為

AE^EF=E,

所以PC_L平面4EF,

又因為4Fu平面/ER

所以PC_L4F;

(II)因為E4J_平面48CD,四邊形/2CO是矩形，則4B_L4D,

所以B4,AB,/D兩兩互相垂直，

如圖，以。為原點，DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系:

第11頁(共14頁)

z

p

->

y

X

因為CZ)=2/O=2,所以F4=4Q=1,

所以4(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),C(2,1,0)

則說=(2,1,-1),G=(0,1,0),

由(I)知，PC_L平面/￡尸，/。_1平面弘5,

—>—>

所以PC,4。分別為平面NEF,平面的法向量,

設平面AEF與平面PAB所成角為3

C，X1?76

則cosV而，AD>=l^￡l=1=工

\PC\-\AD\74+i+i-Vo+i+o

sineT，

O

V30

所以平面AEF與平面PAB所成角的正弦值為丁.

6

1

18.(17分)已知函數f(%)=ax———(a+l)Znx(a6R).

(1)當a=-1時，求曲線歹=/(x)在點(e,/(e))處的切線方程;

(2)若/(x)既存在極大值，又存在極小值，求實數0的取值范圍.

【解答】解：(1)因為a=-Lf(x)=-x-p

1

所以f(%)=-1+邏

11_P2i

因此/(e)=9一1=-^―，/(e)=-e—萬，

11—P2

所以曲線―f(x)在點(e,/(e))處的切線方程為尹(x-e),

grr1—2

即>=~^-%一萬；

(2)因為/(%)=ar—亍一(a+1)4％,

ax2—(a+l)x+l_(ax—l)(x—1)_

所以/(%)=

第12頁(共T4頁)

又因為/G）既存在極大值，又存在極小值，則aWO,

所以，所）=依一嶺1）,

1

>o

a-

1w

由題意得,1解得a>0且aWl,

a-

所以實數a的取值范圍為{a|a>0且。=1}.

x2y2

19.（17分）已知橢圓C葭+,=1（a>b>0）的半長軸的長度與焦距相等，且過焦點且與x軸垂直

的直線被橢圓截得的弦長為3.

（1）求橢圓C的方程;

（2）已知直線/o：x+2y-2=0與橢圓C交于/,3兩點，過點尸（2,3）的直線交橢圓C于E,尸兩

點（E在靠近P的一■側）

（i）求髭的取值范圍;

（ii）在直線/o上是否存在一定點使/瓦以=/廠河4恒成立？若存在，求出M點坐標；若不存在,

請說明理由.

2c=2-Va2—b2=aa=2

【解答】解：（1）由題意可得2b20-b=6,

---二3

ac=1

%2y2

則橢圓C的方程為,+—=1.

43

(2)設直線EKx=my+2-3m,E(xi,yi),F(X2,?),

18m2-12m

‘X—my+2—3m\71+72=2

聯立％22，消去x整理得3(my+t)2+4y2=12=<3m+4，則

+y=127m2—36m

(TT|乃乃=3M2+4

16—24m

…2"不