2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試題專項(xiàng)突破：雙曲線（含答案及解析）

專題16雙曲線

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.鬲考對(duì)雙曲線的考查，重點(diǎn)是

（1）雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)

方程。2023?新高考I卷,16

（2）雙曲線的幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱雙曲線的離心率2024?新高考I卷，12

性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線）。

（3）直線和雙曲線的位置關(guān)系及綜合

應(yīng)用。

’2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查應(yīng)用定義求解雙曲線的離心率，難度較易。n卷是雙曲線與數(shù)列的綜合問題,

后續(xù)專題會(huì)解讀。雙曲線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，但從總體上看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線低,

在雙曲線的試題中，最為重要的是三點(diǎn)是：方程、漸近線、離心率。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查雙曲線

的定義和離心率、漸近線。

試題精講

一、填空題

22

1.（2024新高考I卷-12）設(shè)雙曲線2=1伍＞0/＞0）的左右焦點(diǎn)分別為耳、巴，過耳作平行于＞軸的

ab

直線交C于A,B兩點(diǎn)，若I耳41=13,1/切=10,則C的離心率為.

近年真題精選

一、填空題

22

1.（2023新高考I卷?16）已知雙曲線。邑-4=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為大,月.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8

ab

___________2___

在了軸上，昭工邱陽口理,則C的離心率為.

必備知識(shí)速記

一、雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)用區(qū)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于I與用）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩

個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）.用集合表示為｛必|口管|-|〃引=2°（0<2°<店用）｝

注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支.

（2）當(dāng)2a=但局時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以耳和耳為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2a=0時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段4g的垂直

平分線.

（3）2a>寓閭時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：

①條件山鳥|>2a”是否成立；②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定/,b2的值）,注意/+〃=02

的應(yīng)用.

二、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程十%=1(〃>08>0)4-占=1(。>0,6>0)

ab

b

圖形

"a

焦點(diǎn)坐標(biāo)￡(-c,0),F2(C,0)耳(0,-c),g(0,c)

對(duì)稱性關(guān)于x,y軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

頂點(diǎn)坐標(biāo)4(一〃,0),4(〃,0)4(o,〃)，4(0,-a)

范圍|x|>a

實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為26

Cf~

離心率e=_=+二(。>1)

a\a

22

令?一==0=歹=±紇,AJxa

令2v-F=°ny=土工x,

漸近線方程abaabb

焦點(diǎn)到漸近線的距離為b焦點(diǎn)到漸近線的距離為方

>L點(diǎn)（/J。）在雙曲線內(nèi)>1,點(diǎn)00，、0）在雙曲線內(nèi)

點(diǎn)和雙曲線（含焦點(diǎn)部分）//（含焦點(diǎn)部分）

-----------《

22

的位置關(guān)系/b=1,點(diǎn)（/Jo）在雙曲線上/b=1,點(diǎn)（%,為）在雙曲線上

<1,點(diǎn)（%,歹0）在雙曲線外<1,點(diǎn)（%,歹0）在雙曲線外

共焦點(diǎn)的雙2222

-.....1—=1（一白2<k<b2）f-----在一二1（一<k<b2）

曲線方程a2+kb2-ka2+kb2-k

共漸近線的r2v2

---=2（2^0）%嘖="八0）

雙曲線方程

切線方程_~T~-1,（xo，）為切點(diǎn)駕二*-=1,（工0，%）為切點(diǎn)

abab

對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中一換為X°X,「換成為y便

切線方程

得.

岑-矍=1,（%,%）為雙曲線外一

理-等=1,（%,%）為雙曲線外一點(diǎn)

切點(diǎn)弦所在ab

ab

直線方程點(diǎn)

點(diǎn)（%,%）為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)

設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為4（%,%），S（x2,y2）,kAB=k.

則弦長(zhǎng)|/同=J1+k2,卜］—工2I=J1+7,|多—歹2|（左W。），

弦長(zhǎng)公式

卜-司=4否+%『-4個(gè)2=*，其中是消“了”后關(guān)于“x”的一元二次方程的

\a\

66X2”系數(shù).

2b2

通徑通徑（過焦點(diǎn)且垂直于耳制的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為竺

a

雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)耳,月構(gòu)成的成為焦點(diǎn)三角形，

APFXF2

2/72

設(shè)/耳尸&=8,歸耳|=4，\PF2\=r2,則cos6=l-------,

r\r2

Fi)O[7戶

焦點(diǎn)三角形

2

c1.八sin。z2b1”。，焦點(diǎn)在工軸上

5=2徑加=1_cos。,昨fadI，%,焦點(diǎn)在y軸上，

2

j有點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

歸-熙||=2a(2a＞2c)

?Sg=/阿?附卜in4Pg

忸4=陷「+|尸鳥「-2附||尸引cos4PE

等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線oa=6o離心率e=也o兩漸

等軸雙曲線

近線互相垂直。漸近線方程為y=±x。方程可設(shè)為X?-/=彳。牛0).

【雙曲線常用結(jié)論】

1、雙曲線的通徑

2

過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑.通徑長(zhǎng)為2生h.

2、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系

2222

對(duì)于雙曲線0-多=1(。＞6＞0),點(diǎn)P(x0,%)在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于馬-答＞1.

abab

點(diǎn)P(x。，％)在雙曲線外部，等價(jià)于叁-善＜1結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來分析.

ab

3、雙曲線?？夹再|(zhì)

性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)8；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)皿；

C

、?2b2

性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)尸到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常a數(shù)號(hào)；

c

4、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為土萬(可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大)

(7

5、雙曲線的切線

22

點(diǎn)”（%,%）在雙曲線十%=1（°>。,6>。）上,過點(diǎn),作雙曲線的切線方程為竽-年=1.若點(diǎn)

22

在雙曲線3-與=1僅>0,6>0）外，則點(diǎn)m對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為號(hào)-岑=1

abab

名校模擬探源

一、單選題

22

1.（2024?甘肅蘭州?三模）已知雙曲線C:」--土=1（加>0）的實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，則C的漸近線

3m+2m

方程為（）

]F）

A.y=+-xB.>=土注*C.V=±2xD.y=±42x

22

22

2.（2024?浙江紹興?三模）已知耳，耳為曲線C：,+匕=1（機(jī)彳4）的焦點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若加=1,則曲線C的離心率e=@

2

B.若=則曲線C的離心率e=Y5

2

C.若曲線C上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得/耳尸身=90。，則〃7=2

D.若m<0,則曲線C上存在四個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得/與尸耳=90°

22

3.（2024?安徽三模）過雙曲線C:夕-a=1（°>6>0）的下頂點(diǎn)尸作某一條漸近線的垂線，分別與兩條漸

近線相交于兩點(diǎn)，若而=2由，則C的離心率為（）

A.氈B.V3C.2GD.3

3

22

4.（2024?全國(guó)?三模）已知雙曲線C：亍一方=1（°>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,且離心率為

e=M,過點(diǎn)外的直線/與C的一條漸近線垂直相交于點(diǎn)。，貝iJtanND片8=（）

A.1B.yC.2D.3

22

5.（2024?四川成都?三模）已知雙曲線1-會(huì)=1（。>0,b>0）的左焦點(diǎn)為耳，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M

為雙曲線漸近線上一點(diǎn)且滿足|兒名|=|。河|,過耳作x軸的垂線交漸近線于點(diǎn)N,已知|叫|=?|明|,則

其離心率為（）

A.2B.V3C.日D.V5

22

6.（2024?山西陽泉三模）已知雙曲線。:-a=1（。>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片,月，雙曲線的右支上

ab

TT

有一點(diǎn)4/耳與雙曲線的左支交于點(diǎn)3,線段/g的中點(diǎn)為且滿足四瑪，若/片/g=：,則雙曲

線C的離心率為（）

A.2B.V6C.77D.V13

22

7.（2024?寧夏銀川三模）已知雙曲線氏》母=1（。>0］〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,過點(diǎn)鳥的

直線與雙曲線￡的右支交于43兩點(diǎn)，若|/用二|力4|,且雙曲線后的離心率為亞，則cos/8/月=（）

3J7311

A.B.一—C.-D.一一

8488

22

8.（2024?湖南永州?三模）已知耳，耳分別是雙曲線》-方=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，過百的直線分別交雙曲線左、右兩支于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，費(fèi)=3可，BF?平分NKBC,

其中一條漸近線與線段42交于點(diǎn)尸，則sin/POg=（）

AV41RV42「屈n2vH

7777

9.（2024?天津河西?三模）已知片，鳥是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，尸是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且

JT

ZF,PF2=-,若橢圓的離心率為G，雙曲線的離心率為02,則e；+e；的最小值為（）

A.3+V3B.C.D.4

22

22

10.（2024?浙江杭州?三模）已知雙曲線亍-會(huì)=1（見6>0）上存在關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的兩點(diǎn)4,B,以及雙

曲線上的另一點(diǎn)C,使得“BC為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）

二、多選題

22

11.（2024?河北邯鄲?三模）已知雙曲線C:」------=1,則（）

4+63—A

A.X的取值范圍是（-6,3）B.C的焦點(diǎn)可在％軸上也可在歹軸上

C.。的焦距為6D.。的離心率e的取值范圍為（1,3）

22

12.（2024?河北保定?三模）已知雙曲線C：］一方=1.>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，月，過點(diǎn)耳

的直線與C的左支相交于P,。兩點(diǎn)，若PQLPF?,且41Pol=3|尸閭，則（）

A.\PQ\^2aB.PFl=-2QFl

C.C的離心率為近D,直線尸。的斜率為±4

3

22

13.（2024?貴州貴陽?三模）雙曲線C』-七=1（。>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)片，鳥，斜率為正的漸近

ab

線為4,過點(diǎn)工作直線4的垂線，垂足為點(diǎn)A,交雙曲線于點(diǎn)尸，設(shè)點(diǎn)〃是雙曲線c上任意一點(diǎn)，若

24

朋1=（典|,“島=§,則（）

A.雙曲線C的離心率為追

2

B.雙曲線C的共軌雙曲線方程為/一,=1

C.當(dāng)點(diǎn)M位于雙曲線C右支時(shí)，卜丹^卜一J

4

D.點(diǎn)〃到兩漸近線的距離之積為《

2222

14.（2024?山西呂梁三模）已知橢圓二+a=1（%>4>0）的離心率為與，雙曲線二-2=1（g>0也>。）

axa2b2

的離心率為4,兩曲線有公共焦點(diǎn)大，工,夕是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，"戶2=60。，以下結(jié)論正確的

是（)

A.-al=b；-b；

_L2_

B.+=1

4e；4e；

C.b；=3b；

25V3

D.,則qe

13

22

15.（2024?重慶?三模）已知雙曲線C:二-匕=l（a>0）的左，右焦點(diǎn)分別為片，號(hào)尸為雙曲線C上點(diǎn)，且

a16

△尸大匕的內(nèi)切圓圓心為/（3,1）,則下列說法正確的是（）

A.。=3B.直線尸B的斜率為:

C.APGC的周長(zhǎng)為竽D.△尸耳片的外接圓半徑為II

三、填空題

16.（2024?湖北荊州?三模）已知雙曲線C:=-/=i（a>o）經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,則C的漸近線方程為.

a

22

17.（2024?寧夏石嘴山?三模）已知雙曲線C言等=l（a>0,b>0）的左右焦點(diǎn)分別為后、6,曲線C上的點(diǎn)

“滿足，砸?聲=0,NMFFLB，則雙曲線的離心率為____.

6

22

18.（2024?安徽馬鞍山?三模）已知雙曲線「:=-4=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,F2,過點(diǎn)入

ab

的直線與「的右支交于A,3兩點(diǎn)，若M耳|=8,忸周=5,44耳3=60°,則。=.

22

19.（2024?浙江金華三模）若圓。:/+_/一5丁+4=0被雙曲線E方=1伍>0,6>0）的一條漸近線截

得的弦長(zhǎng)為2,則雙曲線￡的離心率為.

22

20.（2024?山東煙臺(tái)?三模）已知雙曲線T：=1（a>0,b>0）的漸近線方程為>=±后，其右

ab

焦點(diǎn)為凡若直線歹=辰與「在第一象限的交點(diǎn)為P且內(nèi)軸，則實(shí)數(shù)左的值為.

22

21.（2024?河南鄭州?三模）已知雙曲線C:1-與=1（。>0,6>0）的離心率為6,A,B分別是它的兩條漸近線

上的兩點(diǎn)（不與坐標(biāo)原點(diǎn)o重合），點(diǎn)尸在雙曲線C上且為+礪=2痂，的面積為6,則該雙曲線

的實(shí)軸長(zhǎng)為.

22.（2024?上海奉賢?三模）若曲線「:0-j?=i（x>0）得右頂點(diǎn)A,若對(duì)線段。/上任意一點(diǎn)尸，端點(diǎn)除外，

a

在「上存在關(guān)于X軸對(duì)稱得兩點(diǎn)。、R使得三角形及為等邊三角形，則正數(shù)。得取值范圍是.

23.（2024?四川南充?三模）已知點(diǎn)尸是雙曲線m-冬=1（。>0/>0）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn),

ab

過點(diǎn)F且垂直于X軸的直線與雙曲線交于48兩點(diǎn)，若N4EB<120°,則該雙曲線離心率的取值范圍

為

專題16雙曲線

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.鬲考對(duì)雙曲線的考查，重點(diǎn)是

(1)雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)

方程。2023?新高考I卷,16

(2)雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱雙曲線的離心率2024?新高考I卷，12

性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線)。

(3)直線和雙曲線的位置關(guān)系及綜合

應(yīng)用。

’2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查應(yīng)用定義求解雙曲線的離心率，難度較易。n卷是雙曲線與數(shù)列的綜合問題,

后續(xù)專題會(huì)解讀。雙曲線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，但從總體上看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線低,

在雙曲線的試題中，最為重要的是三點(diǎn)是：方程、漸近線、離心率。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查雙曲線

的定義和離心率、漸近線。

試題精講

一、填空題

fv2

1.(2024新高考I卷-12)設(shè)雙曲線C:1-2=1伍>0/>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳、石，過耳作平行于V軸的

ab

直線交C于A,B兩點(diǎn)，若I耳41=13,1/切=10,則C的離心率為.

3

【答案】j

【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出|，月|,結(jié)合雙曲線第一定義求出X用，即可得到。,仇。的值，

從而求出離心率.

【詳解】由題可知與三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)A在第一象限，將x=c代入=一｝=1

ab

得,=±^-,即/1,一故=二10,=—=5,

又卜2a,得H4|=M&|+2a=2a+5=13,解得a=4,代入土=5得/=20,

a

「63

故c~+〃=36,,即c=6,所以e=LT

近年真題精選

一、填空題

1.（2023新高考I卷-16）已知雙曲線C：=-2=1（。>01>0）的左、右焦點(diǎn)分別為大，片.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B

ab

____2___

在y軸上，引，耳瓦酩=-§用石，則C的離心率為.

【答案】m/1V5

55

【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到|/聞,|叫|,忸耳關(guān)于出加的表達(dá)式，

從而利用勾股定理求得。=加，進(jìn)而利用余弦定理得到應(yīng)。的齊次方程，從而得解.

方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得與=鼻。,%=-：乙/=402,將點(diǎn)A代入雙曲線C

得到關(guān)于6,c的齊次方程，從而得解；

【詳解】方法一：

依題意，設(shè)以閶=2加,則忸閶=3加=忸卜,|4周=20+2加,

在Rtzk/5片中，9加之+（2。+2機(jī)A=25加之，貝1|（a+3加）（。一加）=0,故〃=加或〃=一3根（舍去），

所以|/胤=4a,|Ng|=2a,忸￡|=忸匐=3〃，則|/同=5-

AF_4tz_4

故cos/片力用=X

AB5a5

所以在中'"盟=*—,整理得八9人

依題意，得與(-c,0),工(c,0),令/(%,%),3(0/),

__2__.252

因?yàn)?/k=—］瑪5,所以-°,%)=-§(一。/),則%0=§c/o=-7，

又有,而，所以百.而=1|c,-|,(c,/)=gc2-|?=0,貝!］/=4°2,

222

又點(diǎn)A在C上，貝！|—9c9—t］，整理得2空5r2-鼻4產(chǎn)=1,則2與5r②-1號(hào)fir=1,

—2----n-=19a29b29a29b2

ab

所以25c2〃一16c2/=9a汨,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),

整理得25c4-50匹2+9°4=0,(5c2-9?2)(5c2-tz2)=0,解得5c?=9/或5c?=/,

又e>l,所以e=述或e=@(舍去)，故6=述.

555

故答案為：*5.

5

必備知識(shí)速記

一、雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)斗，區(qū)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于區(qū)區(qū)|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩

個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）.用集合表示為｛M忸閶-W碼|=2.（0<2"忸用）｝

注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支.

（2）當(dāng)2a=山用時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以耳和耳為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2。=0時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段耳耳的垂直

平分線.

（3）2a>|4圖時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：

①條件閨匕|>2°”是否成立；②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定/的值），注意/+/=/

的應(yīng)用.

二、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程3臺(tái)1（八。,6>。）

似_b

圖形y

?a

焦點(diǎn)坐標(biāo)￡(-c,0),B(c，O)耳(0,-c),8(0,c)

對(duì)稱性關(guān)于x,y軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

頂點(diǎn)坐標(biāo)4（一。,0）,4（〃,o）4?。），4（0,-。）

范圍|xl>a1…

實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b

h+U(e>1)

離心率e=Ea=\

a

令，。2Tx,人//a

令———7=0n>=±—%，

漸近線方程01b2b

焦點(diǎn)到漸近線的距離為b焦點(diǎn)到漸近線的距離為6

>1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線內(nèi)>1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線內(nèi)

點(diǎn)和雙曲線X2J2（含焦點(diǎn)部分）22（含焦點(diǎn)部分）

-------S—yx

的位置關(guān)系a2b2=1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線上a1b1=1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線上

<1,點(diǎn)（X。,%）在雙曲線外<1,點(diǎn)（X。,%）在雙曲線外

共焦點(diǎn)的雙2222

------一=1(-/<k<b2)2

—Y-------Y-=1(一〃2<k<b)

曲線方程a2+kb2-ka2+kb2-k

共漸近線的X2y222

二一2=4(4wO)4-2=4(4wO)

雙曲線方程abab

切線方程‘哈—碧=L（x（）/o）為切點(diǎn)=L（x（）/o）為切點(diǎn)

abab

對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中/換為，換成為y便

切線方程

得.

%）歹=1(%0，為)為雙曲線外一

ab2~理-等=1,(%,%)為雙曲線外一點(diǎn)

切點(diǎn)弦所在

ab

點(diǎn)

直線方程

點(diǎn)(/Jo)為區(qū)叉曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)

i殳直線與雙由1線兩交點(diǎn)為4>i，乂)，B(x2,y2),kAB=k.

J1+左2?歸-引=J1+，，|必一%|(左、0)，

用弦長(zhǎng)

弦長(zhǎng)公式

+x}2-4x=空，其中"a”是消“y”后關(guān)于“x”的一元二次方程的

X|一工2仁加2Xl2

I一同

X2”系數(shù).

2b2

通徑通徑(過焦片;且垂直于耳耳的弦)是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為竺

a

雙曲線上一片P(/Jo)與兩焦點(diǎn)月凡構(gòu)成的"g成為焦點(diǎn)三角形，

設(shè)/耳尸6=6),冏=4,陷|=4,貝hos6=l-----,

rir2

聲弋

焦點(diǎn)三角形

.八sind,b2fc%,焦點(diǎn)在x軸上

Sy="2

sinU---------b=-=〈>14心r，

1-cos<9匕口2[c/,焦點(diǎn)在y軸上

2

焦點(diǎn)三角形嚀1一般要用到的關(guān)系是

'附卜附||=2a(2a>2c)

'S好=；尸片卜|因卜in/甲岑

[忸周2=|尸尸

『+|時(shí)一2陶網(wǎng)cosN串線

等軸雙曲線涉^足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線oa=Z)o離心率e=^o兩漸

等軸雙曲線

近線互相垂堇L0漸近線方程為>=±xo方程可設(shè)為x2-/=42*0).

【雙曲線常用結(jié)論】

1、雙曲線的通徑

過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑.通徑長(zhǎng)為也.

a

2、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系

對(duì)于雙曲線二-q=1（。>6>0）,點(diǎn)尸（%,%）在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于每一%>1.

abab

點(diǎn)尸（X。，%）在雙曲線外部，等價(jià)于國(guó)■一共<1結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來分析.

3、雙曲線常考性質(zhì)

性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)6；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)也；

C

性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)噂；

C

4、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為一J（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大）

ta/

2

5、雙曲線的切線

22

點(diǎn)在雙曲線?-斗=1（a>0,6>0）上，過點(diǎn)M作雙曲線的切線方程為理-咚=1.若點(diǎn)

abab

22

在雙曲線二-與=1（a>0,6>0）外，則點(diǎn)〃對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為警-浮=1

abab

名校模擬探源

一、單選題

22

1.（2024?甘肅蘭州?三模）已知雙曲線C:上--二=1（加>0）的實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，則C的漸近線

3m+2m

方程為（）

]F）

A.y=±-xB._y=±-XC.昨土2xD.y=土垃X

22

【答案】C

【分析】先得到方程，求出加=2,得到雙曲線方程和漸近線方程.

【詳解】由題意得j3%+2=2A/^，解得m=2,

22

C:匕-土=1,故漸近線方程為了=±2》.

82

故選：C

22

2.（2024?浙江紹興?三模）已知耳，耳為曲線C：'+'=1（僅*4）的焦點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若加=1,則曲線C的離心率e=3

2

B.若"=-l,則曲線C的離心率6=

2

C.若曲線C上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得/與尸巴=90。，則機(jī)=2

D.若機(jī)＜0,則曲線C上存在四個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得/與尸8=90°

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的方程，結(jié)合橢圓、雙曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可得解.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)機(jī)=1時(shí)，曲線C是橢圓，離心率e==A正確；

22

對(duì)于B,當(dāng)，"=-1時(shí)，曲線C是雙曲線，離心率6=乂運(yùn)=正，B正確；

22

對(duì)于C,當(dāng)m=8時(shí)，曲線C是橢圓，其短半軸長(zhǎng)6=2,半焦距c=J』=2,

顯然以線段丹外為直徑的圓恰過這個(gè)橢圓短軸端點(diǎn)，即符合條件的加可以是8,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)加＜0時(shí)，則曲線是焦點(diǎn)在x上的雙曲線，貝?。﹟片￡|＞4,

以線段與匕為直徑的圓與雙曲線有4個(gè)交點(diǎn)，即符合條件的點(diǎn)尸有4個(gè)，D正確.

故選：C

22

3.（2024?安徽?三模）過雙曲線C:與-]=1（。＞6＞0）的下頂點(diǎn)尸作某一條漸近線的垂線，分別與兩條漸

ab

近線相交于兩點(diǎn)，若標(biāo)=2可7,則C的離心率為（）

A.—B.V3C.273D.3

3

【答案】A

【分析】過點(diǎn)尸作另一條漸近線的垂線四T于AT,借助雙曲線的對(duì)稱性計(jì)算可得即可得離心率.

b

【詳解】過點(diǎn)尸作另一條漸近線的垂線網(wǎng)小于AT,由對(duì)稱性可得忸=

由而=2而7，則有|酒1=2,”|,貝！=

故4N0M=',故2N0F=',^[―=tan---=tan—=73,

故選：A.

22

4.（2024?全國(guó)?三模）己知雙曲線C：]一｝=1.>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,F2,且離心率為

e=M，過點(diǎn)外的直線/與C的一條漸近線垂直相交于點(diǎn)。，貝iJtanNDGB=（）

A.1B.|C.2D.3

【答案】A

【分析】設(shè)焦點(diǎn)工匕0）,根據(jù)題意求點(diǎn)。的坐標(biāo)和的值，進(jìn)而畫出圖象即可解決.

a

【詳解】不妨設(shè)焦點(diǎn)g（c,0）,其中一條漸近線為y=2x,則直線1的方程為y=-jx-c）,

ab

過點(diǎn)。作X軸的垂線，垂足為“，如下圖:

尤2V2

5.（2024?四川成都?三模）已知雙曲線與-4=1（。>0,b>0）的左焦點(diǎn)為耳，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M

ab

為雙曲線漸近線上一點(diǎn)且滿足|兒名|=過耳作X軸的垂線交漸近線于點(diǎn)N,已知囚利|=乎|西|,則

其離心率為（）

A.2B.y/3C.與D.V5

【答案】D

【分析】設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式列方程求解即可.

故設(shè)點(diǎn)

不妨設(shè)MN均在尸紇上，貝（］必=一生,%=-",

a2aa

?=歹（-GO）,