人教 九下 數(shù)學(xué) 第28章《應(yīng)用舉例》課件

28.2解直角三角形及其應(yīng)用第二十八章銳角三角函數(shù)28.2.2應(yīng)用舉例逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用解直角三角形在仰角和俯角問(wèn)題中的應(yīng)用解直角三角形在方向角問(wèn)題中的應(yīng)用解直角三角形在坡角、坡度問(wèn)題中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用知1－講11.利用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟(1)畫(huà)出平面圖形，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題；(2)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活選用銳角三角函數(shù)等知識(shí)解直角三角形；(3)得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；(4)得到實(shí)際問(wèn)題的答案.解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用知1－講2.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)的基本圖形及相應(yīng)的關(guān)系式如下表所示圖形關(guān)系式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BE圖形關(guān)系式BC＝DC－BD＝AD·(tanα－tanβ)解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用知1－講續(xù)表圖形關(guān)系式AB＝DE＝AE·tanβ

，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)圖形關(guān)系式解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用知1－講續(xù)表圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式知1－講特別解讀1.當(dāng)實(shí)際問(wèn)題中涉及的圖形可以直接轉(zhuǎn)化為直角三角形時(shí)，可利用解直角三角形的知識(shí)直接求解.2.在解直角三角形時(shí)，若相關(guān)的角不是直角三角形的內(nèi)角，應(yīng)利用平行線的性質(zhì)或互余、互補(bǔ)的角的性質(zhì)等將其轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角，再利用解直角三角形的知識(shí)求解.知1－講3.問(wèn)題中涉及的圖形有兩個(gè)或兩個(gè)以上的直角三角形，當(dāng)其中一個(gè)直角三角形不能求解時(shí)，可考慮分別由兩個(gè)直角三角形找出含有相同未知元素的關(guān)系式，運(yùn)用方程求解.知1－練例1[中考·河南]綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹(shù)高，測(cè)高儀ABCD為正方形，AB＝30cm，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M.如圖28.2－12是測(cè)量樹(shù)高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)D，A與樹(shù)頂E在一條直線上，鉛垂線AM交BC于點(diǎn)H.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A距地面1.8m，到樹(shù)EG的距離AF＝11m，BH＝20cm.求樹(shù)EG的高度(結(jié)果精確到0.1m)．知1－練

解題秘方：將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題．知1－練

知1－練

D知1－練

例2知1－練解題秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜為直法”解含公共直角邊的直角三角形問(wèn)題.

知1－練

知1－練2－1.[中考·青海]為了方便觀測(cè)動(dòng)物的活動(dòng)情況，某濕地公園要鋪設(shè)一段道路.計(jì)劃從圖中A，C兩處分別向B處鋪設(shè)，現(xiàn)測(cè)得AB＝1000m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C兩點(diǎn)間的距離(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25).知1－練解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D.∵∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝14°.知2－講1.仰角和俯角的定義在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角.知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在仰角和俯角問(wèn)題中的應(yīng)用2知2－講2.示圖(如圖28.2－14)知2－講特別提醒1.仰角和俯角是視線相對(duì)于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧記為“上仰下俯”.2.當(dāng)實(shí)際問(wèn)題中遇到仰角或俯角時(shí)，要放在直角三角形中或轉(zhuǎn)化到直角三角形中，注意確定水平線.知2－練[中考·天津]綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測(cè)角儀測(cè)量天津海河上一座橋的橋塔AB的高度(如圖28.2－15①)．例3知2－練某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案：如圖28.2－15②，點(diǎn)C，

D，E依次在同一條水平直線上，DE＝36m，EC⊥

AB，垂足為C.在D處測(cè)得橋塔頂部B的仰角(∠CDB)為45°，測(cè)得橋塔底部A的俯角(∠CDA)為6°，又在E處測(cè)得橋塔頂部B的仰角(∠CEB)為31°．知2－練(1)求線段CD的長(zhǎng)(結(jié)果取整數(shù))；思路引導(dǎo)：知2－練

知2－練(2)求橋塔AB的高度(結(jié)果取整數(shù)).(參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1)思路引導(dǎo)：知2－練

知2－練

知2－練解：由題意知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC.∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ABD＝45°.

∴BD＝AD＝10m.知3－講知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在方向角問(wèn)題中的應(yīng)用31.方向角的定義指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角.特別警示：方向角和方位角不同，方位角是指從某點(diǎn)的指北方向線起，按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角，變化范圍為0°~360°，而方向角的變化范圍是0°~90°.知3－講2.示圖如圖28.2－16，目標(biāo)方向線OA，OB，OC的方向角分別可以表示為北偏東30°、南偏東45°、北偏西30°，其中南偏東45°習(xí)慣上又叫做東南方向，北偏東45°習(xí)慣上又叫做東北方向，北偏西45°習(xí)慣上又叫做西北方向，南偏西45°習(xí)慣上又叫做西南方向.知3－講特別解讀1.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可利用正南、正北、正西、正東方向線構(gòu)造直角三角形來(lái)求解.2.觀測(cè)點(diǎn)不同，所得的方向角也不同，但各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的南北方向線是互相平行的，通常借助此性質(zhì)進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換.知3－練

例4知3－練解題秘方：建立數(shù)學(xué)模型后，作高AD，用“化斜為直法”，將斜三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題求解．知3－練解：由題意，得∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，∴∠CAB＝180°－

∠NAC－∠BAS＝75°.又∵∠ABC＝45°，∴

∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝60°，即行進(jìn)路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數(shù)為60°．(1)求行進(jìn)路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數(shù)；知3－練

(2)求檢查點(diǎn)B和C之間的距離(結(jié)果保留根號(hào))．知3－練

知3－練

知3－練解：由題意得AB＝40×2＝80(km)，∠CAB＝30°，∠ABC＝45°.如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為該船在航行過(guò)程中與小島C的最近距離．知3－練知4－講1.坡角與坡度(坡比)的定義(1)坡角：坡面與水平面所成的夾角，如圖28.2－18中的α.(2)坡度(坡比)：我們通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比)(如圖28.2－18所示)，坡度(坡比)也可寫(xiě)成i＝h∶l的形式，在實(shí)際應(yīng)用中常表示成1∶x的形式.知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在坡角、坡度問(wèn)題中的應(yīng)用4知4－講

知4－講特別提醒1.坡度是兩條線段的比值，不是度數(shù).2.表示坡度時(shí)，通常把比的前項(xiàng)取作1，后項(xiàng)可以是小數(shù).知4－練

例5解題秘方：將分散的條件集中到△ABP中求解.知4－練(1)山坡坡角的度數(shù)等于_______°；30

知4－練

知4－練5－1.[中考·天門(mén)]為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度

i＝3∶4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比.已知斜坡CD長(zhǎng)度為20m，∠C＝18°，求斜坡AB的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32).知4－練知4－練應(yīng)用舉例一般測(cè)量問(wèn)題仰角和俯角問(wèn)題解直角三角形的應(yīng)用類(lèi)型方向角問(wèn)題坡角和坡度問(wèn)題題型從同一點(diǎn)看不同位置測(cè)量高度1[中考·菏澤]無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛.如圖28.2－20，某人利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度BC，無(wú)人機(jī)在空中點(diǎn)P處，測(cè)得點(diǎn)P距地面上A點(diǎn)80m，點(diǎn)A處的俯角為60°，樓頂C點(diǎn)處的俯角為30°，已知點(diǎn)A與大樓的距離AB為70m(點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi))，求大樓的高度BC(結(jié)果保留根號(hào))．例6解題秘方：在同一點(diǎn)兩條不同視線構(gòu)成的直角三角形中，利用解直角三角形求出高度．

關(guān)鍵點(diǎn)撥本題由平行線的性質(zhì)將兩個(gè)俯角轉(zhuǎn)化為內(nèi)錯(cuò)角放在兩個(gè)直角三角形中，利用解直角三角形及矩形的性質(zhì)解決問(wèn)題．題型從不同點(diǎn)看同一位置測(cè)量高度2為弘揚(yáng)革命傳統(tǒng)精神，清明期間，某校組織學(xué)生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈.大家被革命烈士紀(jì)念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀(jì)念碑的通高CD(碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x)，于是師生組成綜合實(shí)踐小組進(jìn)行測(cè)量．例7

解題秘方：先利用三角形外角的性質(zhì)和等角對(duì)等邊求出DN，再在Rt△DNE中利用正弦的定義求出DE，最后不要忘記加上CE.

關(guān)鍵點(diǎn)撥本題中過(guò)測(cè)角儀的頂端向紀(jì)念碑所作的垂線，構(gòu)造出矩形和直角三角形，利用解直角三角形和矩形的性質(zhì)解決問(wèn)題．題型從不同點(diǎn)看不同位置測(cè)量高度3[中考·鹽城]如圖28.2－22，小明用無(wú)人機(jī)測(cè)量教學(xué)樓的高度，將無(wú)人機(jī)垂直上升至距地面30m的點(diǎn)P處，測(cè)得教學(xué)樓底端點(diǎn)A的俯角為37°，例8再將無(wú)人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行26.6m至點(diǎn)Q處，測(cè)得教學(xué)樓頂端點(diǎn)B的俯角為45°，則教學(xué)樓AB的高度約為_(kāi)____m(精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)．17思路引導(dǎo)：

關(guān)鍵點(diǎn)撥本題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，根據(jù)正切的定義求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，最后利用線段的差求解.易錯(cuò)點(diǎn)在解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，對(duì)方向角理解不清導(dǎo)致錯(cuò)誤如圖28.2－23，在某一海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)的某軍艦正由東向西行駛，在航行到B處時(shí)，發(fā)現(xiàn)燈塔A在軍艦的正北方向500m處；當(dāng)該軍艦從B處向正西方向行駛到達(dá)C處時(shí)，發(fā)現(xiàn)燈塔A在軍艦的北偏東60°的方向.求該軍艦從B處行駛到C處的路程(計(jì)算過(guò)程和結(jié)果均保留根號(hào)).例9

診誤區(qū)：指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角，本題因?qū)Ψ较蚪堑母拍罾斫獠磺宥鴮?dǎo)致錯(cuò)誤.[中考·煙臺(tái)]風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義.某電力部門(mén)在一處坡角為30°的坡地新安裝了一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖28.2－24①

.考法利用解直角三角形求物體的高度1例10某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該坡地上的這架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，圖28.2－24②

為測(cè)量示意圖.已知斜坡CD長(zhǎng)16米，在地面點(diǎn)A處測(cè)得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端P點(diǎn)的仰角為45°，利用無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A的正上方53米的點(diǎn)B處測(cè)得P點(diǎn)的俯角為18°，求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿PD的高度(參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325).試題評(píng)析：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用及仰角和俯角問(wèn)題，熟練掌握三角函數(shù)定義與解直角三角形的方法是解本題的關(guān)鍵．

在Rt△PAF中，∠PAF＝45°，∴

PF＝AF·tan45°＝x米.在Rt△BPG中，∠GBP＝18°，∴

GP＝BG·tan18°≈0.325x米，∴FG＝PF＋PG≈x＋0.325x＝1.325x(米)，∴

1.325x≈53，解得x≈40.∴

PF≈40米.∴

PD＝PF－DF≈40－8＝32(米).答：該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿PD的高度約為32米．[中考·重慶]如圖28.2－25，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東方向的C港裝運(yùn)新的物資.考法利用解直角三角形解決航海問(wèn)題2例11甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)B港，再沿北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)C港.乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達(dá)C港．試題評(píng)析：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握航海問(wèn)題中的方向角在解直角三角形中的應(yīng)用.(1)求A，C兩港之間的距離(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).

解：甲貨輪先到達(dá)C港.如圖28.2－25所示.由題意得∠CDF＝30°，DF∥AG，∴∠GAD＝∠ADF＝60°.

∴∠ADC＝∠ADF＋

∠CDF＝90°.

[中考·蘇州]如圖28.2－26①

是某種可調(diào)節(jié)支撐架，BC為水平固定桿，豎直固定桿AB⊥BC，活動(dòng)桿AD可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，CD為液壓可伸縮支撐桿，已知AB＝10cm，BC＝20cm，AD＝50cm．考法利用解直角三角形解決實(shí)物中的計(jì)算問(wèn)題3例12試題評(píng)析：本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．(1)如圖28.2－26②，當(dāng)活動(dòng)桿AD處于水平狀態(tài)時(shí)，求可伸縮支撐桿CD的長(zhǎng)度(結(jié)果保留根號(hào))；

考法利用解直角三角形解決跨學(xué)科問(wèn)題4例13試題評(píng)析：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解折射率的定義是解題關(guān)鍵.

(2)現(xiàn)有一塊與(1)中折射率相同的長(zhǎng)方體介質(zhì)，如圖28.2－29①所示，點(diǎn)A，B，C，D分別是長(zhǎng)方體棱的中點(diǎn)，若光線經(jīng)真空從矩形A1D1D2A2對(duì)角線交點(diǎn)O處射入，其折射光線恰好從點(diǎn)C處射出.如圖28.2－29②，已知α＝60°，CD＝10cm，求截面ABCD的面積．

[中考·湖南]某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在老師的指導(dǎo)下，利用課余時(shí)間進(jìn)行測(cè)量活動(dòng)．考法利用解直角三角形解決實(shí)踐活動(dòng)問(wèn)題5例14活動(dòng)主題測(cè)算某水池中雕塑底座的底面積測(cè)量工具皮尺、測(cè)角儀、計(jì)算器等續(xù)表活動(dòng)過(guò)程模型抽象某休閑廣場(chǎng)的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形ABCD，其示意圖如下：續(xù)表活動(dòng)過(guò)程測(cè)繪過(guò)程與數(shù)據(jù)信息①在水池外取一點(diǎn)E，使得點(diǎn)C，B，E在同一條直線上；②過(guò)點(diǎn)E

作GH⊥CE，并沿EH

方向前進(jìn)到點(diǎn)F，用皮尺測(cè)得EF的長(zhǎng)為4米；③

在點(diǎn)F

處用測(cè)角儀測(cè)得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；④用計(jì)算器計(jì)算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40.請(qǐng)根據(jù)表格中提供的信息，解決下列問(wèn)題(結(jié)果保留整數(shù))：試題評(píng)析：本題考查了解直角三角形在實(shí)際測(cè)量活動(dòng)中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的知識(shí)求解．(1)求線段CE和BC的長(zhǎng)度；

(2)求底座的底面ABCD的面積．

D

B

D

5.如圖，圖①為《天工開(kāi)物》記載的用于舂(chōng)搗谷物的工具——“碓(duì)”的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，圖②為其平面示意圖.已知AB⊥CD于點(diǎn)B，AB與水平線l相交于點(diǎn)O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，則點(diǎn)C到水平線l的距離CF為_(kāi)_______分米(結(jié)果用含根號(hào)的式子表示)．6.[中考·孝感]綜合實(shí)踐課上，航模小組用航拍無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)高實(shí)踐．如圖，無(wú)人機(jī)從地面CD的中點(diǎn)A處豎直上升30米到達(dá)B處，測(cè)得博雅樓頂部E的俯角為45°，尚美樓頂部F的俯角為30°，已知博雅樓高度CE為15米，則尚美樓高度DF為_(kāi)________米(結(jié)果保留根號(hào)).7.一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是________海里．8.無(wú)動(dòng)力帆船是借助風(fēng)力前行的．

如圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風(fēng)對(duì)帆的作用力F為400N.根據(jù)物理知識(shí)，F(xiàn)可以分解為兩個(gè)力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2又可以分解為兩個(gè)力f1與f2，f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2與航行方向一致，是真正推動(dòng)帆船前行的動(dòng)力.在物理學(xué)上常用線段的長(zhǎng)度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學(xué)模型：F＝AD＝400，則f2＝CD≈_______．(單位：N)(參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)1289.[中考·河北]中國(guó)的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對(duì)太空的興趣.某晚，淇淇在家透過(guò)窗戶的最高點(diǎn)P恰好看到一顆星

星，此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離BQ＝4m，仰角為α；淇淇向前走了3m后到達(dá)點(diǎn)D，透過(guò)點(diǎn)P恰好看到月亮，仰角為β，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB＝CD＝1.6m，點(diǎn)P到BQ的距離PQ＝2.6m，AC的延長(zhǎng)線交PQ于點(diǎn)E.(注：圖中所有點(diǎn)均在同一平面)(1)求β

的大小及tanα

的值；(2)求CP的長(zhǎng)及sin∠APC的值．10.[中考?瀘州]如圖，海中有一個(gè)小島C，某漁船在海中的A點(diǎn)測(cè)得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東航行一段時(shí)間后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得小島C位于北偏西30°方向

上，再沿北偏東60°方向繼續(xù)航行一段時(shí)間后到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島C位于北偏西60°方向上.已知A，C相距30nmile．求C，D間的距離(計(jì)算過(guò)程中的數(shù)據(jù)不取近似值)．11.研學(xué)實(shí)踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學(xué)校組織研學(xué)活動(dòng)．

同學(xué)們來(lái)到毛主席東渡黃河紀(jì)念碑所在地，在了解相關(guān)歷史背景后，利用航模