人教 九下 數(shù)學(xué) 第28章《章末核心要點(diǎn)分類整合》課件

章末核心要點(diǎn)分類整合第二十八章銳角三角函數(shù)

2.利用解直角三角形解決實(shí)際問題的步驟：(1)審清題意，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題.(2)畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)條件，結(jié)合圖形，選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案.(4)得到實(shí)際問題的答案.專題銳角三角函數(shù)1鏈接中考>>銳角三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算，主要是求銳角的三角函數(shù)值，解決這類問題的關(guān)鍵是看清銳角所在的圖形以及該圖形的性質(zhì).這類問題一般屬于中檔題，多以填空題或選擇題的形式考查.例1

解題秘方：根據(jù)切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，利用切線長定理、勾股定理、等角對(duì)等邊等知識(shí)求出線段DE與CD的比值．

答案：B專題特殊角的三角函數(shù)值2鏈接中考>>一般情況下，求含有三角函數(shù)的代數(shù)式的值，要先將各角的三角函數(shù)值代入，再根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算，注意最后結(jié)果要化簡，這類題目常與零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、乘方、開方等綜合考查.

例2解題秘方：先將特殊角的三角函數(shù)值代入，再按照運(yùn)算法則和運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算即可．

專題解直角三角形3鏈接中考>>解直角三角形主要是在直角三角形中根據(jù)已知的邊角條件求未知的邊和角.解決這類問題，關(guān)鍵是要結(jié)合圖形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)，一般都是以解答題的形式考查.例3[中考·北京]如圖28－2，在四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，DB，CE交于點(diǎn)F，DF＝FB，AF∥DC．(1)求證：四邊形AFCD為平行四邊形；解題秘方：解決本題的關(guān)鍵是說明EF為△ABD的中位線；證明：∵

E是AB的中點(diǎn)，∴

AE＝BE.又∵

DF＝BF，∴

EF是△ABD的中位線.∴

EF∥AD，即CF∥AD.∵

AF∥CD，∴四邊形AFCD為平行四邊形.(2)若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的長．解題秘方：緊扣條件中的邊角關(guān)系，利用解直角三角形求線段長，關(guān)鍵是找出相應(yīng)的直角三角形.

專題解直角三角形的應(yīng)用4鏈接中考>>利用解直角三角形解決實(shí)際問題是中考的熱點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，然后利用直角三角形的知識(shí)解決問題.一般都是以解答題的形式考查.[中考·陜西]如圖28－3，一座小山頂?shù)乃接^景臺(tái)的海拔高度為1600m，小明想利用這個(gè)觀景臺(tái)測(cè)量對(duì)面山頂C點(diǎn)處的海拔高度.他在該觀景臺(tái)上選定了一點(diǎn)A，在點(diǎn)A處測(cè)得C點(diǎn)的仰角∠CAE＝42°，再在AE上選一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測(cè)得C點(diǎn)的仰角α＝45°，AB＝10m.求山頂C點(diǎn)處的海拔高度.(小明身高忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)例4解題秘方：解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．解：如圖28－3，過點(diǎn)C作CD⊥AE，交AE的延長線于點(diǎn)D.

設(shè)BD＝xm，∵

AB＝10m，∴

AD＝AB＋BD＝(x＋10)m.在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴

CD＝BD·tan45°＝xm.

在Rt△ACD中，∠A＝42°，∴CD＝AD·tan42°≈(0.90x＋9)m.

∴

x≈0.90x＋9，解得x≈90.

∴

CD≈90m.

∵

小山頂?shù)乃接^景臺(tái)的海拔高度為1600m，∴

山頂C點(diǎn)處的海拔高度約為1600＋90＝1690(m).中國新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn).為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖28－4是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形ABCD是其中一個(gè)停車位.例5

(1)求PQ的長；

(2)該充電站有20個(gè)停車位，求PN的長．

專題解讀>>在解決與角度、線段長度有關(guān)的實(shí)際問題時(shí)，通常構(gòu)造含有已知邊、角的直角三角形，建立常見的解直角三角形的模型，利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算求值，進(jìn)而解決問題.專題建模思想5【“子母”型】[中考·吉林]圖28－5①

中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.例6某直升飛機(jī)于空中A處探測(cè)到吉塔，此時(shí)飛行高度AB＝873m，如圖28－5②，從直升飛機(jī)上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD(結(jié)果精確到0.1m)．(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)解題秘方：通過作輔助線，將兩個(gè)俯角放到兩個(gè)直角三角形中，構(gòu)造解直角三角形的基本模型——“子母”型，利用公共的直角邊解直角三角形．

【“背靠背”型】[中考·撫順]小亮利用所學(xué)的知識(shí)對(duì)大廈的高度CD進(jìn)行測(cè)量，如圖28－6，他在自家樓頂B處測(cè)得大廈底部的俯角是30°，測(cè)得大廈頂部的仰角是37°，已知他家樓頂B處距地面的高度BA為40米(圖中點(diǎn)A，B，C，D均在同一平面內(nèi))．例7解題秘方：過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，構(gòu)造解直角三角形的基本模型——“背靠背”型，然后利用“背靠背”型中公共的直角邊解直角三角形．(1)求兩樓之間的距離AC(結(jié)果保留根號(hào))；

專題解讀>>在解直角三角形及利用直角三角形的邊角關(guān)系解決實(shí)際問題時(shí)，可依據(jù)題意設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，再從題目的條件和要求的問題中尋求等量關(guān)系，構(gòu)造出方程或方程組解決問題.專題方程思想6

例8解題秘方：利用銳角三角函數(shù)揭示的邊角關(guān)系，列出方程求線段長.解：由題意，得BM＝EF＝1.8m，BN＝CD＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB，設(shè)BD＝CN＝xm，∴

EM＝BF＝DF＋BD＝(x＋5)m.在Rt△AEM中，∠AEM＝45°，∴

AM＝EM·tan45°＝(x＋5)m.

答案：A專題解讀>>在解直角三角形和利用直角三角形的邊角關(guān)系解決實(shí)際問題時(shí)，常常根據(jù)已知量和未知量之間的關(guān)系建立方程，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.專題轉(zhuǎn)化思想7我國明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？例9詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺(5尺為一步)，秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺．(假設(shè)秋千的繩索拉的很直)解題秘方：本題由《西江月》詞牌引申出數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵是理解題意，構(gòu)造直角三角形，將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.(1)如圖28－8①，請(qǐng)你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索OA的長度；解：如圖28－8①，

過點(diǎn)A′作A′B⊥OA于點(diǎn)B.設(shè)秋千繩索的長度為x尺．由題可知，OA＝OA′＝x

尺，AB＝5－1＝4(尺)，A′B＝10尺，∴

OB＝OA－AB＝(x－4)尺．在Rt△OA′B中，由勾股定理得A′B2＋OB2＝OA′2，∴

102＋(x－4)2＝x2，解得x＝14.5．答：秋千繩索OA的長度為14.5尺.(2)如圖28－8②，將秋千從與豎直方向夾角為α

的位置OA′釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為β

的地方OA″，兩次位置的高度差PQ＝h.根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索OA的長度？

如果能，請(qǐng)用含α

，β

和h的式子表示；如果不能，請(qǐng)說明理由．

類型巧用“構(gòu)造法”構(gòu)造直角三角形求銳角三角函數(shù)值1

B類型巧用“化斜為直法”構(gòu)造直角三角形求線段長度2

類型巧用“割補(bǔ)法”構(gòu)造直角三角形求面積33.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，求四邊形ABCD的面積.題型1：測(cè)高問題4.[中考·廣安]風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在某地安裝了一批風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖①，某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)其中一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，類型巧用建模思想建立直角三角形模型解實(shí)際應(yīng)用問題4

題型2：測(cè)距問題5.東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠(yuǎn)處的角樓、城門

樓、龍堤、南關(guān)橋等景觀遙相呼應(yīng).如圖，城門樓B在角樓A的正東方向520m處，南關(guān)橋C在城門樓B的正南方向1200m處.在明珠大劇院P測(cè)得角樓A在北偏東68.2°方向，南關(guān)橋C在南偏東56.31°方向(點(diǎn)A，B，C，P四點(diǎn)在同一平面內(nèi))，求明珠大劇院到龍堤BC的距離(結(jié)果精確到1m).(參考數(shù)據(jù)：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50)題型3：堤壩問題6.[中考·仙桃]為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比.已知斜坡CD長度為20米，∠C＝18°，求斜坡AB的長．(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈

0.32)

(1)求BC的長度(結(jié)果精確到0.1千米)；(2)甲、乙兩人從景點(diǎn)D出發(fā)去景點(diǎn)B，甲選擇的路線為D－C－B，乙選擇的路線為D－A－B.請(qǐng)計(jì)算說明誰選擇的路線較近.題型5：跨學(xué)科問題8.[中考·安徽]科技社團(tuán)選擇學(xué)校游泳池進(jìn)行一次光的折射實(shí)驗(yàn)，如圖，光線自點(diǎn)B處發(fā)出，經(jīng)水面點(diǎn)E折射到池底點(diǎn)A處.

題型6：實(shí)踐操作問題9.[中考·棗莊]【實(shí)踐課題】測(cè)量湖邊觀測(cè)點(diǎn)A和湖心島上鳥類棲息點(diǎn)P之間的距離，如圖①．【實(shí)踐工具】皮尺、測(cè)角儀等測(cè)量工具.【實(shí)踐活動(dòng)】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點(diǎn)B.測(cè)量A，B兩點(diǎn)間的距離以及∠PAB和∠PBA，測(cè)量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°.畫出示意圖，如圖②.【問題解決】(1)計(jì)算A，P兩點(diǎn)間的距離．(參考數(shù)據(jù)：