中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：二次函數(shù)中的面積問(wèn)題（原卷版+解析）

例題精講

求三角形的面積是幾何題中常見(jiàn)問(wèn)題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、害IJ補(bǔ)、等積變形、

三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問(wèn)題中常用的一種求面積的方法一一鉛垂法.

【問(wèn)題描述】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(U)、8(7,3)、C(4,7),求△ABC的面積.

【分析】顯然對(duì)于這樣一個(gè)位置的三角形，面積公式并不太好用，割補(bǔ)倒是可以一試，比如這樣:

構(gòu)造矩形ADER用矩形面積減去三個(gè)三角形面積即可得AABC面積.

這是在這卜”,同樣可以采用“割”:

S=S+S=-CD-AE+-CD-BF=-CD（AE+BF）

△AoRC△ACr"nAORC/nJ222、

此處AE+AB即為A、2兩點(diǎn)之間的水平距離.

由題意得：AE+BF=6.

下面求CD：

根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線AB解析式為：y=-x+-

33

由點(diǎn)C坐標(biāo)（4,7）可得。點(diǎn)橫坐標(biāo)為4,

將4代入直線AB解析式得D點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,

故。點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2）,CD=5,

=QX6X5=15.

【方法總結(jié)】

作以下定義：

A、2兩點(diǎn)之間的水平距離稱為“水平寬”；

過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線與AB交點(diǎn)為。，線段C。即為AB邊的“鉛垂高”.

如圖可得：S，MC=水平寬*鉛垂高

【解題步驟】

（1）求A、B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；

（2）過(guò)點(diǎn)C作無(wú)軸垂線與A8交于點(diǎn)。，可得點(diǎn)。橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；

（3）求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；

（4）根據(jù)C、。坐標(biāo)求得鉛垂高；

（5）利用公式求得三角形面積.

@0

例題精講

【例1】.如圖，拋物線y=-/-2x+3與x軸交于A（1,0）,8（-3,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P

為拋物線第二象限上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC、BC,求△PBC面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

A變式訓(xùn)練

【變17].如圖，已知拋物線y=a/+6x+3與無(wú)軸交于A、8兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線/與拋物線交于點(diǎn)C,其

中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,0）,C點(diǎn)坐標(biāo)是（4,3）.

（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）若點(diǎn)￡是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求的最大面積及E點(diǎn)的

坐標(biāo).

【變1-2].如圖，直線y=-/x+2交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)C,拋物線y=-+6x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)C,且

交x軸于另一點(diǎn)8.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)求四邊形A8CM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

y

X

【例2】.如圖，拋物線y=/+bx+c與無(wú)軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線/交拋物線于

點(diǎn)C(2,m)，點(diǎn)尸是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作無(wú)軸的垂線交拋物線于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)P在何處時(shí)，AACE面積最大.

A變式訓(xùn)練

【變27].如圖，拋物線>=辦2+區(qū)+2交x軸于點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(1,0),交y軸于點(diǎn)C.

(1)求這個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形AZJCP面積的最大

值.

【變2-2].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=±x-2與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C,二次函數(shù)了=

+&+c的圖象經(jīng)過(guò)8,C兩點(diǎn)，且與無(wú)軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,動(dòng)點(diǎn)。在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接。C,DB,設(shè)的面積為S,求S的最大值.

O

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，拋物線尸-y+"|x+2與X軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,若點(diǎn)尸是線段BC上方的拋物

線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△2CP的面積取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

25)C.(1,3)D.(3,2)

8

2.如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y=-^x+2過(guò)氏C兩點(diǎn)，連接AC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸為拋物線上直線BC上方的一動(dòng)點(diǎn)，求△PBC面積的最大值，并求出點(diǎn)尸坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)。為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△QAC周長(zhǎng)的最小值.

3.如圖，拋物線y=-f+6x+c與x軸交于A(1,0),8(-3,0)兩點(diǎn).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△0AC的周長(zhǎng)最??？

若存在，求出。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)尸，使△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC

面積的最大值.若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線>=蘇+6尤-5與x軸交于A(-1,0),B(5,0)兩點(diǎn)，與

y軸交于點(diǎn)C.

圖1圖1備用圖圖2

（1）求拋物線的二次函數(shù)解析式：

（2）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)。在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)8、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P

的坐標(biāo)；

（3）如圖2,點(diǎn)X是直線BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BH,CH.當(dāng)△8CW的面積最大時(shí)，求點(diǎn)X

的坐標(biāo).

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=7+6x+c的圖象與x軸交于A、8兩點(diǎn)，8點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）,

與y軸交于點(diǎn)C（0,-3）,點(diǎn)P是直線8c下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）連接尸。，PC,并將△POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形POPC.是否存在點(diǎn)P,使四邊形尸。PC為

菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最

大面積.

備用圖

6.如圖，拋物線y=a/+fcv+c與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作直線BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸軸于點(diǎn)D設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為r(0<f<3),

求△A8P的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)條件同(2),若△(?￡>尸與△COB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

7.如圖，拋物線y=o?一3以-4。(a<0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)，直線y=/x+/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與拋物線的

另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3,線段尸。在線段上移動(dòng)，PQ=1,分別過(guò)點(diǎn)P、。作x軸的

垂線，交拋物線于E、F,交直線于。，G.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)四邊形DEFG為平行四邊形時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P、。的坐標(biāo)；

(3)在線段尸。的移動(dòng)過(guò)程中，以。、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形面積是否有最大值，若有求出最大值,

若沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.如圖，已知二次函數(shù)了二一+方龍+3的圖象交無(wú)軸于點(diǎn)A(1,0),B(3,0),交y軸于點(diǎn)C.E是8c上

一點(diǎn)，PE〃y軸.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)尸是直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，求8cp面積的最大值；

(3)直線x=%分別交直線8C和拋物線于點(diǎn)N,當(dāng)機(jī)為何值時(shí)

9.已知直線y=3x-3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=-旦工2+7質(zhì)+〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C.

44

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在直線CA上方的拋物線上是否存在點(diǎn)D,使得△AC。的面積最大？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo);

若不存在，說(shuō)明理由.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+6x-3交x軸于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),過(guò)點(diǎn)8的直線

y==2x-2交拋物線于點(diǎn)C.

-3

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若點(diǎn)尸是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P不與點(diǎn)8,C重合)，求△P8C面積的最大值.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知直線＞=±*-2與尤軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,過(guò)A、B兩

點(diǎn)的拋物線y=a/+6x+c與無(wú)軸交于另一點(diǎn)C(-1,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使SNAB=SAOAB?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由；

(3)點(diǎn)M為直線AB下方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△MAB的面積最大時(shí)，求MN+/ON

的最小值.

12.直線y=-/x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,拋物線y=-f+fcv+c經(jīng)過(guò)A、8兩點(diǎn).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若P是直線4B上方拋物線上一點(diǎn)；

①當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②在①的條件下，點(diǎn)尸關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為。，在直線A8上是否存在點(diǎn)使得直線QM與

直線8A的夾角是/Q4B的兩倍？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+bx-3QWO)交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)8(-3,0)和

點(diǎn)C(1,0).

(1)求此拋物線的表達(dá)式.

(2)若點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABP的面積最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)和△ABP

的最大面積.

(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為。，在(2)的條件下直線上確定一點(diǎn)H,使△ZJHP為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)

出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)

14.如圖，已知拋物線y=-/+bx+c與一直線相交于A(1,0)、C(-2,3)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N,其

頂點(diǎn)為。.

(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)使△AM0的周長(zhǎng)最小.若存在，請(qǐng)求出〃點(diǎn)的坐標(biāo)和周長(zhǎng)的

最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)若尸是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三點(diǎn)，

點(diǎn)尸是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)動(dòng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△P8C面積最大，求出此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)和△P8C的最大面積.

(3)是否存在點(diǎn)P,使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

16.已知拋物線y=-7+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(2)如圖1,拋物線的對(duì)稱軸交無(wú)軸于點(diǎn)連接2C、CM.求△BCM的周長(zhǎng)及tan/BCM的值；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)A的直線7"〃8C,點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸。，相，垂足為

點(diǎn)、D,連接BD,CD,CP,PB.當(dāng)四邊形BDCP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形BDCP面積的

最大值.

17.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，拋物線尸1：y=7+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(1,0).

(1)求拋物線a的解析式；

(2)如圖2,作拋物線尸2,使它與拋物線為關(guān)于原點(diǎn)。成中心對(duì)稱，請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線尸2的解析式;

(3)如圖3,將(2)中拋物線尸2向上平移2個(gè)單位，得到拋物線入，拋物線為與拋物線尸3相交于C,

。兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè)).

①求點(diǎn)C和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)N分別為拋物線尸1和拋物線色上C,。之間的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)N與點(diǎn)C,。不重合)，試求四

邊形CMDN面積的最大值.

18.將拋物線y=o?(awo)向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位后，得到拋物線H：y=a(尤-h)2+k.拋

物線”與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C.已知4(-3,0),點(diǎn)P是拋物線H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線”的表達(dá)式.

(2)如圖1,點(diǎn)尸在線段AC上方的拋物線以上運(yùn)動(dòng)(不與A、C重合)，過(guò)點(diǎn)尸作尸。_LA3,垂足為。，

P。交AC于點(diǎn)E.作PFJ_AC,垂足為R求△PEF的面積的最大值.

(3)如圖2,點(diǎn)。是拋物線H的對(duì)稱軸/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線”上，是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、

尸、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理

由.

參考：若點(diǎn)Pl(xi,yi)、P2(X2,”)，則線段P1P2的中點(diǎn)Po的坐標(biāo)為(Xi?"2，"之")，

例題精講

求三角形的面積是幾何題中常見(jiàn)問(wèn)題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補(bǔ)、

等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問(wèn)題中常用的一種求面積

的方法一一鉛垂法.

【問(wèn)題描述】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A?！梗?、8（7,3）、C（4,7）,求△ABC的面積.

【分析】顯然對(duì)于這樣一個(gè)位置的三角形，面積公式并不太好用，割補(bǔ)倒是可以一試，比如

構(gòu)造矩形ADEF,用矩形面積減去三個(gè)三角形面積即可得△ABC面積.

這是在“補(bǔ)”，同樣可以采用“割”：

=-CD（AE+BF）

此處AE+AF即為A、2兩點(diǎn)之間的水平距離.

由題意得：AE+BF=6.

下面求CD：

根據(jù)42兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線解析式為：y=-x+-

33

由點(diǎn)C坐標(biāo)(4,7)可得。點(diǎn)橫坐標(biāo)為4,

將4代入直線AB解析式得D點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,

故。點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2),CD=5,

S&ABC=—><6x5=15.

【方法總結(jié)】

作以下定義：

A、8兩點(diǎn)之間的水平距離稱為“水平寬”；

過(guò)點(diǎn)C作無(wú)軸的垂線與交點(diǎn)為。，線段CQ即為邊的“鉛垂高”.

如圖可得：多/c=水平寬*鉛垂高

【解題步驟】

(1)求A、8兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；

(2)過(guò)點(diǎn)C作x軸垂線與交于點(diǎn)。，可得點(diǎn)。橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；

(3)求直線42解析式并代入點(diǎn)。橫坐標(biāo)，得點(diǎn)?？v坐標(biāo)；

(4)根據(jù)C、。坐標(biāo)求得鉛垂高；

(5)利用公式求得三角形面積.

例題精講

【例1】.如圖，拋物線y=-/-2x+3與無(wú)軸交于A（1,0）,3（-3,0）兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C.點(diǎn)P為拋物線第二象限上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸8、PC、BC,求APBC面積的最大值，

并求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

解：令x=0,則y=3,

：.C（0,3）,

設(shè)直線的解析式為y=fcv+3（左W0）,

把點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=kx+3得-34+3=0,

解得k=\,

：.直線BC的解析式為y=x+3,

設(shè)P的橫坐標(biāo)是x（-3＜尤＜0）,則P的坐標(biāo)是（尤，-x2-2x+3）,

過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行線交BC于則尤+3）,

PAf=-尤2-2X+3-(x+3)=-x2-3尤，

S/^PBC=—PM*\XB-xc|=—(-x2-3x)X3=-—(X2+3X)=--(x+旦)2+-^-,

222228

;-2＜o(jì),

2

當(dāng)尤=-3時(shí)，SAPBC有最大值，最大值是紅,

28

/.APBC面積的最大值為21；

8

當(dāng)尤=一3時(shí)，-/-2x+3=1^,

24

點(diǎn)尸坐標(biāo)為（一旦，區(qū)）.

24

A變式訓(xùn)練

【變17].如圖，已知拋物線>=辦2+灰+3與x軸交于A、8兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線/與拋物

線交于點(diǎn)C,其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,0）,C點(diǎn)坐標(biāo)是（4,3）.

（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）若點(diǎn)E是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最

大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo).

解：(1)?.?y=ax2+foc+3經(jīng)過(guò)A(1,0),C(4,3),

解得：,

lb=-4

，拋物線的解析式為：y=/-4x+3；

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+h,

將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：1k+h=°

I4k+h=3

:.直線AC的解析式為y=x-1；

（2）如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)E與直線AC平行線的直線為〉=了+也

,、y=x+m

聯(lián)立|9，

y=xz-4x+3

消掉y得，x2-5x+3-m=0,

△=(-5)2-4XlX(3-m)=0,

解得：m=-」且，

4

即m=-工3時(shí)，點(diǎn)E到AC的距離最大，XNCE的面積最大,

4

此時(shí)x=立，y=a-_ll=-3,

2.244

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5,-—）,

24

設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線與x軸交點(diǎn)為R則F（型，0）,

4

,/直線AC的解析式為y=x-1,

AZCAB=45°,

點(diǎn)尸到AC的距離為AF?sin45°=2X亞=/巨,

428

又?.?AC=132+（4-i）2=3加，

.?.△ACE的最大面積=2X3&><2叵=空_,此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（立，.A）.

28824

【變1-2].如圖，直線y=-」x+2交y軸于點(diǎn)A,交無(wú)軸于點(diǎn)C,拋物線y=-+6x+c經(jīng)過(guò)

2

點(diǎn)A,點(diǎn)C,且交x軸于另一點(diǎn)8.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)M,求四邊形ABCM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M

的坐標(biāo).

/.A(0,2),

令y=0,得y=--^?x+2=0,解得尤=4,

：.C(4,0).

把A、C兩點(diǎn)代入＞=-!，+bx+c得，(c-2

4I-4+4b+c=0

2

解得2,

c=2

...拋物線的解析式為丫=-工/+工尤+2；

42

422

SAACM=—,MN*OC——(--tz+2-—cr-—a-2)X4=--a2+2a,

222422

A?BC*OA=AX(4+2)X2=6,

5AABC=

22

.121

?*?S四邊形A8CAf=S/\ACM+SaA3C=———a+2〃+6==-—(4-2)2+8,

22

???當(dāng)〃=2時(shí)，四邊形A3CM面積最大，其最大值為8,此時(shí)M的坐標(biāo)為(2,2).

【例2].如圖，拋物線y=/+bx+c與無(wú)軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直

線/交拋物線于點(diǎn)C(2,機(jī))，點(diǎn)P是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線交拋物

線于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)P在何處時(shí)，面積最大.

即y—x2-2x-3；

(2)把C(2,m)代入5=%2-2彳-3得加=4-4-3=-3,則C(2,-3),

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,

把A(-1,0),C(2,-3)代入得,解得,

\2m+n=-3

直線AC的解析式為-x-1；

設(shè)E(r,?-2r-3)(-1?2),則Pa,-r-1),

：.PE=-t-1-(?-2f-3)=-P+t+2,

.?.△ACE的面積=2X(2+1)XPE

2

=3(-尸+什2)

2

^-3(f.l)2+27(

228

當(dāng)時(shí)，△ACE的面積有最大值，最大值為2工，此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(』，-旦).

2822

A變式訓(xùn)練

【變2-1].如圖，拋物線y=o?+bx+2交x軸于點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)2(1,0),交y軸于

點(diǎn)C-

(1)求這個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)尸為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形AOCP

面積的最大值.

解：(1)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=a^+2ax-3a,

即-3a—2,解得：,

故拋物線的表達(dá)式為：了=_2*2秘X+2，

33

則點(diǎn)C(0,2),函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=-1；

⑵連接。尸，設(shè)點(diǎn)p(x,

Oo

Ay/2\/

IDo\~\X

貝!jS=S四邊形ADCP=S△APO+S△CPO-SAODC==

1994119

■fX3X（爭(zhēng)3x+2）甘X2X（-x）^X2Xl=-x-3x+2^

'：-l<0,故S有最大值，當(dāng)時(shí)，S的最大值為工.

4

【變2-2].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=/x-2與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C,

二次函數(shù)〉=+匕無(wú)+c的圖象經(jīng)過(guò)8,C兩點(diǎn)，且與無(wú)軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,動(dòng)點(diǎn)D在直線

8c下方的二次函數(shù)圖象上.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接。C,DB,設(shè)△BCD的面積為S,求S的最大值.

：.C(0,-2).

把y=0代丫=￡犬-2得x=4,

：.B(4,0),

設(shè)拋物線的解析式為y=—(x-4)(x-m),將C(0,-2)代入得：2m=-2,解得:

-2

m--1,

AA(-1,0).

???拋物線的解析式(x-4)(x+1)x2-—x-2；

222

(2)如圖所示：過(guò)點(diǎn)。作軸，交BC與點(diǎn)、F.

2

設(shè)。(x,A.x--3.x-2),則尸(尤，Ax-2),DF=(Ax-2)-=-

222222

—X2+2X.

2

S^BCD=—0B*DF=AX4X(--X2+2X)=-/+4x=-(x2-4x+4-4)=-(尤-2)

222

2+4.

...當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值，最大值為4.

@hg

一?片)實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，拋物線y=-尹+介2與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,若點(diǎn)尸是線段

)

2)

解：對(duì)于y=-—^+―x+2,令y=--x2+—x+2=0,解得x=-1或4,令x=0,貝！Jy

'2222'

—2,

故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(4,0)、(0,2),

過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H,

由點(diǎn)3、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為y=--l.r+2,

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,--x+2),則點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x,-—x+2),

222

2

則△2CP的面積=S4PHB+SZUWC=2PHXOB=』X4X(-A.r+2x+2+AA--2)=-

22222

7+4尤，

V-1<0,故△BCP的面積有最大值，

當(dāng)尤=2時(shí)，△BCP的面積有最大值，

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),

故選：A.

2.如圖1,拋物線與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y=-^x+2過(guò)8、C兩點(diǎn)，

連接AC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為拋物線上直線BC上方的一動(dòng)點(diǎn)，求△PBC面積的最大值,并求出點(diǎn)P坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△QAC周長(zhǎng)的最小值.

解：(1)令x=0,則y=2,

：.CCO,2),

令y=0,則x=4,

：.B(4,0),

將點(diǎn)2(4,0)和點(diǎn)C(0,2)代入,

12

4+4b+c=0

得，2,

c=2

依

解得：?2,

c=2

二拋物線的解析式為尸-l^+lx+2；

(2)作P￡)〃y軸交直線8C于點(diǎn)。，

設(shè)尸(m,--m2+—m+2),則。(m,-—m+2),

222

'.PD---nr+—m+2-(-—m+2)—-—nr+2m,

2222

2

/?SAPBC=—X4X(--m2+2m)=-/w+4m=-(w-2)2+4,

22

當(dāng)，n=2時(shí)，APBC的面積有最大值4,

此時(shí)P(2,3)；

(3)令y=0,則蔣x2+^x+2=0，

解得x=-1或x=4,

：.A(-1,0),

''y--—X2+—X+2—

,22

.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

2

?/A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

：.AQ=BQ,

：.AQ+CQ+AC^BQ+CQ+AC^BC+AC,

...當(dāng)2、C、。三點(diǎn)共線時(shí)，，△Q4C周長(zhǎng)最小,

VC(0,2),B(4,0),A(-1,0),

:.BC=2娓,AC=遍，

，AC+BC=3遙，

.?.△QAC周長(zhǎng)最小值為3疾.

圖1

3.如圖，拋物線y=-7+Zw+c與無(wú)軸交于A（1,0）,2（-3,0）兩點(diǎn).

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)。，使得△

Q4c的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖冢蟪?。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P,使APBC的面積最大？若存

在，求出△P3C面積的最大值.若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）根據(jù)題意得:，

解得（b=-2,

Ic=3

則拋物線的解析式是y=-/-2x+3；

（2）理由如下：由題知A、8兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸尤=-1對(duì)稱，

直線8。與》=-1的交點(diǎn)即為。點(diǎn)，此時(shí)△AQC周長(zhǎng)最小，

對(duì)于y=-/-2x+3,令x=0,則y=3,故點(diǎn)C（0,3）,

設(shè)BC的解析式是y=mx+n,

則「3m+n=0,解得，

ln=3

則的解析式是y=x+3.

x=-1時(shí)，y=-1+3=2,

...點(diǎn)。的坐標(biāo)是。（-1,2）；

（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交8c于點(diǎn)。，

設(shè)P的橫坐標(biāo)是X,則P的坐標(biāo)是(尤，-/-2x+3),對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)D是(X,尤+3).

則尸￡>=(-X2-2X+3)-(x+3)=-x2-3x.

22

貝！JS^PBC=—(-x2-3x)X3=-—x-當(dāng)==-—(x+3)+—,

222228

v-2<o,故△PBC的面積有最大值是22.

28

4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線>=辦2+廄-5與X軸交于A(-1,0),B(5,

0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

圖1圖1備用圖

(1)求拋物線的二次函數(shù)解析式:

(2)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)。在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)8、C、P、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖2,點(diǎn)H是直線下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CH.當(dāng)△BS的面積最

大時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo).

解：(1)?.?過(guò)A(-1,0),B(5,0)

把A(-1,0),B(5,0)代入拋物線〉=47+樂(lè)-5

=--

得0ab5

0=25a+5b-5

解得a=l

b=-4

y—x-4x-5；

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=-5,

：.C(0,-5),

設(shè)尸(m,m2-4m-5),Q(九，0),

①BC為對(duì)角線,

貝ijXQ-XC=XB-xp,yQ-yc=yB-yp,

解得m=4,(m=°舍去),

n=ln=5

：.P（4,-5）,

②C尸為對(duì)角線，

貝!!XQ-xc=xp-XB,yQ-yc=yp~＞小

解得卜=2二（瓦或，

In=V14-3

：.P（2+V14-5）或（2-VI^,5）,

③C。為對(duì)角線時(shí)，CP〃BQ,

則點(diǎn)尸（4,-5）；

綜上尸（4,-5）或（2-5）或（2+^^,5）；

第三種，C。為對(duì)角線不合要求，舍去；

（3）過(guò)X作由〃y軸交2C于。，

圖2

=>HD,

S^BCH—SACDH+S^BDH=—HD(XH-尤c)+—HD(尤B-XH)=—HD(XB-xc)

2222

設(shè)BC：y=kx+b\,

過(guò)8、C點(diǎn)，

代入得，

'5k+b1=0

<,

b[=-5

'k=l

(b】=-5'

??y=x-5,

設(shè)HCh,/z2-4/z-5),D(h,h-5),

S^BCH=-HD=^-X[h-5-(h2-4/7-5)]=-$(/?--)2+-^-,

22228

.?.當(dāng)//=&時(shí)，“(回，-翌)時(shí)，S^BCHmwc=^.

2248

圖1

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=/+6x+c的圖象與x軸交于A、8兩點(diǎn)，B點(diǎn)、

的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),點(diǎn)P是直線8C下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)連接尸O,PC,并將△POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形POPC.是否存在點(diǎn)P,使四

邊形POPC為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形A8PC的面積最大？求出此時(shí)尸點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊

形4BPC的最大面積.

:.c=-3,

二次函數(shù)的解析式為y=/+6x-3,

:點(diǎn)8(3,0)在二次函數(shù)圖象上，

A9+3&-3=0,

：.b=-2,

二次函數(shù)的解析式為y=f-2x-3；

(2)存在，理由：如圖1,

連接尸尸'交y軸于￡

..?四邊形POPC為菱形，

：.PP'.LOC,OE=CE=kc,

2

:點(diǎn)C（0,-3）,

OC=3,

：.OE=^~,

2

：.E（0,-—

2

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-—,

2

由（1）知，二次函數(shù)的解析式為y=/-2x-3,

-2x~3—~,

2

.?.尸之叵或尸空包，

22

?.?點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，

.\0<x<3,

點(diǎn)尸（空叵，-2）；

22

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作PF_Lx軸于R則P/〃OC,

由(1)知，二次函數(shù)的解析式為y=/-2x-3,

令y=0,貝！Jx2-2%-3=0,

-1或x=3,

AA(-1,0),

???設(shè)P(m,m2-2m-3)(0<m<3),

**.F(m,0),

9

S四邊形ABPC=S^AOC+S梯形OCPF+S^PFB=204?OC+—(OC+PF)?OF+—PFBF

222

=—X1X3+—(3-m2+2m+3)*m+—(-m2+2m+3)*(3-m)

222

(m_3)2+75,

228

.?.當(dāng)?shù)r(shí)，四邊形A8PC的面積最大，最大值為正，此時(shí)，P(2,-」立),

2824

即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(3,-」互)時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，其最大值為匹.

248

y

6.如圖，拋物線y=o?+6x+c與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作

直線BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDA.X軸于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)

為t(0</<3),求△A8P的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)條件同(2),若△OOP與△COB相似，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

a-b+c=0

解：(1)把A(-1,0),B(3,0),C(0,2)代入y=o?+bx+c得：,9a+3b+c=0,

c=2

解得：a=-—,b=—,c=2,

33

...拋物線的解析式為丫=-2/+匡x+2.

33

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為G,-2及+&汁2).

33

VA(-1,0),B(3,0),

：.AB=4.

；.S=^AB'PD=^X4X(-2AAr+2)=-4及+其什4(0<f<3)；

223333

_J_t2^1t+2

(3)當(dāng)△ODPs^cOB時(shí)，型=更即工=_^----3---------

OCOB23

整理得:4?+r-12=0,

解得：t=-1W曰&或t=-1_V193_(舍去).

88

.?.o-—1+7193,￡>P=、O￡)=-3+3/1超,

8216

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?—11---),——3、191).

816

當(dāng)△ODPS^BOC,則?D=更，即工=3弋％t+2,

BOOC32

整理得金-「3=0,

解得：t=或t=’7』(舍去).

22

AOD=t=^^~,DP=~OD=^^~^,

233

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(上區(qū)亙，旦亙).

23

綜上所述點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-1+^^,-3+3V193)或(上乂通，1+>/13)

81623

7.如圖，拋物線>=辦2-3辦-4。(a<0)與x軸交于4,8兩點(diǎn)，直線》=*尤+]■經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3,線段產(chǎn)。在線段AB上移動(dòng)，PQ

=1,分別過(guò)點(diǎn)P、。作x軸的垂線，交拋物線于E、F,交直線于。，G.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)四邊形Z)所G為平行四邊形時(shí),求出此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；

(3)在線段PQ的移動(dòng)過(guò)程中，以。、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形面積是否有最大值，若

有求出最大值，若沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由.

.?.y=_lx3+1=2,

22

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,2),

把點(diǎn)C(3,2)代入拋物線，可得2=9a-9a-4a,

解得：a=」，

2

2

,拋物線的解析式為y=-jX-k1x+2；

(2)設(shè)點(diǎn)P(m,0),Q(m+1,0),

由題意，點(diǎn)—ZM+—)m,E(m,+G(“z+1,—/M+1),F(m+1,

22222

-ym2-^m+3^

???四邊形DEFG為平行四邊形，

:?ED=FG,

(卷m2+^m+2)-(]加+])=(2血2總m+3)-(]M+1)，即-

??根=0.5,

：.P(0.5,0)、Q(1.5,0)；

(3)設(shè)以。、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形面積為S,

由(2)可得，S=(-ym2-4-m2+2Xl+2=.(-m2+m+-^-)=，

乙乙乙乙乙

.?.當(dāng)用=_1時(shí)，S最大值為至，

28

以。、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形面積有最大值，最大值為生.

8

8.如圖，已知二次函數(shù)y=cz?+bx+3的圖象交無(wú)軸于點(diǎn)A(1,0),B(3,0),交y軸于點(diǎn)

C.E是BC上一點(diǎn),PE〃y軸.