2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之解答題：概率（10題）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題(解答題)：概率(10題)

—.解答題(共10小題)

1.(2024?新縣校級(jí)模擬)袋中有8個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中1個(gè)黑球，3個(gè)白球，4個(gè)紅球.

(1)若從袋中一次性取出兩個(gè)小球，即取到的紅球個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若從袋中不放回的取3次，每次取一個(gè)小球，取到黑球記0分，取到白球記2分，取到紅球記4

分，在最終得分為8分的條件下，恰取到一個(gè)紅球的概率.

2.(2024?莆田模擬)盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球.

(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字的中位數(shù)為3的概率；

(2)記取出的3個(gè)小球上的數(shù)字的中位數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

3.(2024?邵陽三模)為創(chuàng)造良好的城市消防安全環(huán)境，某社區(qū)舉行“消防安全”答題活動(dòng)，答題人根據(jù)

所獲得的分?jǐn)?shù)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品.工作人員給每位答題人提供了48兩類題目.規(guī)定每位答題人共需回

答3道題目.現(xiàn)有兩種方案供答題人任意選擇：

甲方案：只答A類題目；

乙方案：第一次答4類題目，以后按如下規(guī)則答題，每次答對(duì)時(shí)，則下一次答A類題目，每次答錯(cuò)時(shí)，

則下一次答8類題目.

已知A類題目每次答對(duì)得4。分，答錯(cuò)得0分，B類題目每次答對(duì)得30分，答錯(cuò)得0分.若小李每道A

23

類題目能答對(duì)的概率均為9每道8類題目能答對(duì)的概率均為g,且每道題能否答對(duì)與回答順序無關(guān).

(1)若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；

(2)若想要答題得分的期望值更大，小李應(yīng)該選擇哪種答題方案？

4.(2024?保定三模)為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測，所得數(shù)據(jù)

統(tǒng)計(jì)如圖所示.

(1)求。的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率(注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品)；

(2)若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在［110,130)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取7件，再從這7件中隨機(jī)抽取2

件，求至少有一件的指標(biāo)值在［120,130)的概率；

(3)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件，記這4件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件

數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

5.(2024?福建模擬)為弘揚(yáng)中國共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國共產(chǎn)黨黨史知識(shí)”

競賽活動(dòng).競賽共有A和2兩類試題，每類試題各10題，其中每答對(duì)1道A類試題得10分；每答對(duì)1

道2類試題得20分，答錯(cuò)都不得分.每位參加競賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答(每道題

抽后不放回).已知某同學(xué)A類試題中有7道題能答對(duì)，而他答對(duì)各道8類試題的概率均為1.

(1)若該同學(xué)只抽取3道A類試題作答，設(shè)X表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求X的分布和期望；

(2)若該同學(xué)在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對(duì)1道題的概率.

6.(2024?白云區(qū)校級(jí)模擬)多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴

胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過色彩艷麗的時(shí)裝調(diào)動(dòng)正面的情緒，是一種“積

極化的聯(lián)想”.小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩種顏色中選擇，用“抽

小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個(gè)箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任

取4個(gè)小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍(lán)色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，

若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6,而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為0.5.

(1)寫出小李同學(xué)抽到紅球個(gè)數(shù)的分布列及期望；

(2)求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率.

7.(2023秋?T8聯(lián)考月考)為應(yīng)對(duì)全球氣候變化，我國制定了碳減排的國家戰(zhàn)略目標(biāo)，采取了一系列政策

措施積極推進(jìn)碳減排，作為培育發(fā)展新動(dòng)能、提升綠色競爭力的重要支撐，節(jié)能環(huán)保領(lǐng)域由此成為全國

各地新一輪產(chǎn)業(yè)布局的熱點(diǎn)和焦點(diǎn).某公司為了解員工對(duì)相關(guān)政策的了解程度，隨機(jī)抽取了180名員工

進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的數(shù)據(jù)：

了解程度性別合計(jì)

男性女性

比較了解6060

不太了解2040

合計(jì)

(1)補(bǔ)充表格，并根據(jù)小概率值a=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析了解程度與性別是否有關(guān)？

(2)用分層抽樣的方式從不太了解的人中抽取12人，再從這12人中隨機(jī)抽取6人，用隨機(jī)變量X表

示這6人中男性員工人數(shù)與女性員工人數(shù)之差的絕對(duì)值，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附表及公式：

a0.100.050.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

2

2_n^ad—bc)

X—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),

8.(2024?浙江模擬)為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，寒假期間小王每天堅(jiān)持在“跑步20分鐘”和“跳繩20分鐘”

中選擇一項(xiàng)進(jìn)行鍛煉.在不下雪的時(shí)候，他跑步的概率為80%,跳繩的概率為20%,在下雪天他跑步

的概率為20%,跳繩的概率為80%.若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為60%,若前一天下雪，

則第二天仍下雪的概率為40%.已知寒假第一天不下雪，跑步20分鐘大約消耗能量300卡路里，跳繩

20分鐘大約消耗能量200卡路里.記寒假第n天不下雪的概率為P”.

(1)求尸1、P2、P3的值，并求P”；

(2)設(shè)小王寒假第"天通過運(yùn)動(dòng)消耗的能量為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

9.(2024?江西模擬)甲、乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的

21

發(fā)球方.若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為一，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為一，每回合比賽的結(jié)

33

果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽決定，第1回合由甲發(fā)球.

(1)求第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率；

(2)設(shè)前4個(gè)回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為X,求X的分布列及期望.

10.(2024?宜賓三模)某地為調(diào)查年齡在35-50歲段人群每周的運(yùn)動(dòng)情況，從年齡在35-50歲段人群中

隨機(jī)抽取了200人的信息，將調(diào)查結(jié)果整理如下：

女性男性

每周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí)6080

每周運(yùn)動(dòng)不超過2小時(shí)4020

(1)根據(jù)以上信息，能否有99%把握認(rèn)為該地年齡在35-50歲段人群每周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí)與性別有關(guān)？

(2)用樣本估計(jì)總體，從該地年齡在35-50歲段人群中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中每周運(yùn)動(dòng)不超

過2小時(shí)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

參考公式：爛=g+b)器標(biāo)2⑺+4"=a+b+c+d.

P（蜉〉如）0.100.050.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：概率（10題）

參考答案與試題解析

一.解答題（共10小題）

1.（2024?新縣校級(jí)模擬）袋中有8個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中1個(gè)黑球，3個(gè)白球，4個(gè)紅球.

（1）若從袋中一次性取出兩個(gè)小球，即取到的紅球個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）若從袋中不放回的取3次，每次取一個(gè)小球，取到黑球記0分，取到白球記2分，取到紅球記4

分，在最終得分為8分的條件下，恰取到一個(gè)紅球的概率.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；超幾何分布；求解條件概率；離散型隨機(jī)變量及其分布

列.

【專題】運(yùn)動(dòng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1）分布列見解析；E（X）=1；

【分析】（1）由超幾何分布的概率公式以及期望公式求解可得答案；

（2）設(shè)事件A="最后得分為8分”；事件8="恰取到一個(gè)紅球”，求出尸（A）,PCAB）,再根據(jù)條

件概率的概率公式計(jì)算可得答案.

【解答】解：（1）由題意得X的可能取值為：0,1,2,

P（X=0）=等=白，P（x=l）=^=*P（x=2）=警3

=田

c8c8C8

所以x的分布列為：

X012

pA43

14714

數(shù)學(xué)期望E(X)=0x^-+lXy+2x^=

1;

（2）設(shè)事件A="最后得分為8分”；事件8="恰取到一個(gè)紅球”，

由題意，最后得分為8分有兩種情況：摸出2個(gè)白球1個(gè)紅球或1個(gè)黑球2個(gè)紅球,

所以PQ4）=度學(xué)運(yùn)=葛，「（曲=皆=急

L8C8

3

所以P（B|4）==受=.

28

【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是中檔題.

2.（2024?莆田模擬）盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球.

（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字的中位數(shù)為3的概率；

（2）記取出的3個(gè)小球上的數(shù)字的中位數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

……1

【答案】（1）-；

（2）X的分布列為：

X12345

p14141

151531515

E(X)=3.

【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解;

（2）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4,5,利用古典概型的概率公式求出相應(yīng)的概

率，進(jìn)而得到X的分布列，再結(jié)合期望公式求解即可.

盤戲盤+C在盤+盤）1

【解答】解：（1）取出的3個(gè)小球上的數(shù)字的中位數(shù)為3的概率為

3

（2）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4,5,

且時(shí)—等L和

P(X=2)

。對(duì)。4+餐（C：+C）

P(X=3)

P(X=4)

71

_cic8_i

P(X=5)一村一田

L10

故X的分布列為:

X12345

P14141

151531515

14141

所以E(X)—lx+2xyg+3x可+4x+5x=3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題.

3.(2024?邵陽三模)為創(chuàng)造良好的城市消防安全環(huán)境，某社區(qū)舉行“消防安全”答題活動(dòng)，答題人根據(jù)

所獲得的分?jǐn)?shù)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品.工作人員給每位答題人提供了A,B兩類題目.規(guī)定每位答題人共需回

答3道題目.現(xiàn)有兩種方案供答題人任意選擇：

甲方案：只答A類題目；

乙方案：第一次答A類題目，以后按如下規(guī)則答題，每次答對(duì)時(shí)，則下一次答A類題目，每次答錯(cuò)時(shí)，

則下一次答8類題目.

已知A類題目每次答對(duì)得40分，答錯(cuò)得0分，B類題目每次答對(duì)得30分，答錯(cuò)得0分.若小李每道A

23

類題目能答對(duì)的概率均為9每道B類題目能答對(duì)的概率均為g,且每道題能否答對(duì)與回答順序無關(guān).

(1)若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；

(2)若想要答題得分的期望值更大，小李應(yīng)該選擇哪種答題方案？

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

44

【答案】(1)—:

(2)乙方案.

【分析】(1)由獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；

(2)由二項(xiàng)分布求出小李采用甲方案答題的期望E(Y),若小李采用乙方案答題，則設(shè)他的得分為Z,

求出Z的可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望公式求出E(Z),由E(V)<E(Z)即可得出答案.

【解答】解：(1)若“小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分”記為事件E,

則小李至少答對(duì)2道A類題目，

所以P(E)=或(|)2(|)1+以|)3(|)。=接

(2)若小李采用甲方案答題，設(shè)他的得分為匕則他答對(duì)的題數(shù)為X,

92A

且X?8(3,所以E(X)=3x(=5，

則E(y)=40E(X)=40X]=48,

若小李采用乙方案答題，則設(shè)他的得分為z,Z的可能取值為0,30,40,70,80,120,

322123333234s

P(Z=0)=qXqXq=-ryp-,P(Z=30)=qXqXq+qXqXq=-ryp-,

P(Z=40)=看x彥x看=-rypyP(Z=70)=pX^Xp+^XpX^=

nrc八、22312……、2228

產(chǎn)(Z=80)=qxqxq=1尸(Z=120)=-=x-=x-==1,

124K1?261?R12K4

所以E(Z)=0xi+30x［”+40x1”+70x［+80x［？<+120x1口=—西一=50.16,

因?yàn)镋(y)<E(Z),

所以小李想要答題得分的期望值更大，應(yīng)該選擇乙方案答題.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量期望的求解，屬于中檔題.

4.(2024?保定三模)為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測，所得數(shù)據(jù)

統(tǒng)計(jì)如圖所示.

(1)求。的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率(注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品)；

(2)若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在［110,130)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取7件，再從這7件中隨機(jī)抽取2

件，求至少有一件的指標(biāo)值在［120,130)的概率；

(3)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件，記這4件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件

數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望).

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】⑴0.02；優(yōu)質(zhì)率為25%；

5

(2)—；

7

(3)分布列見解析，E(X)=1.

【分析】(1)由頻率分布直方圖中，所有頻率之和為1及優(yōu)質(zhì)率的定義即可求得結(jié)果；

(2)由分層抽樣可得質(zhì)量指標(biāo)在［110,120)有4件，質(zhì)量指標(biāo)在［120,130)有3件，結(jié)合古典概型

求其概率即可；

1

(3)由題意知，4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)服從二項(xiàng)分布，即X?8(4,一)，進(jìn)而運(yùn)用公式求解即可.

4

【解答】解：(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)得(0.005+0.04+0.03+。+0.005)X10=l,解得。=0.02,

產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過130的頻率為(0.002+0.005)X10=0.25,

所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為25%.

(2)因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)在［110,120)和［120,130)的頻率分別為0.4和0.3,

所以質(zhì)量指標(biāo)在［110,130)產(chǎn)品中抽取7件，則質(zhì)量指標(biāo)在［120,130)有3件，

從這7件中任取2件，設(shè)至少有一件質(zhì)量指標(biāo)在［120,130)的事件為A,

所以至少一件質(zhì)量指標(biāo)在［120,130)的概率為尸(A)=l-4=i

a7

(3)因?yàn)槌榈疆a(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25,所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為士

4

1

4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)X?8(4,

4

P(x=k)=,k=G,1,2,3,4,

「翼=0)=圖扔(金4=會(huì)，

P—憐審丁蝶喑

「。=2)=扇%(*蒸=磊

P(X=3)=盤(扔、3怒=白

P(X=旬=心(34=忐，

X的分布列為：

X01234

P81272731

2566412864256

E(X)=4X4=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是中檔題.

5.(2024?福建模擬)為弘揚(yáng)中國共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國共產(chǎn)黨黨史知識(shí)”

競賽活動(dòng).競賽共有A和8兩類試題，每類試題各10題，其中每答對(duì)1道A類試題得10分；每答對(duì)1

道2類試題得20分，答錯(cuò)都不得分.每位參加競賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答(每道題

抽后不放回).已知某同學(xué)A類試題中有7道題能答對(duì)，而他答對(duì)各道8類試題的概率均為1.

(1)若該同學(xué)只抽取3道A類試題作答，設(shè)X表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求X的分布和期望；

(2)若該同學(xué)在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對(duì)1道題的概率.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由題意，先得到X的所有可能取值，求出相對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中

即可求解；

(2)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率，即可求解.

【解答】解：(1)易知X的所有可能取值為0,10,20,30,

此時(shí)P(X=0)=W=用，P(X=10)=-^=T20=4U，

c10c10

P(X=20)=竽=粽=奈P(X=30)=S=^=J

L10L10

則X的分布為：

X0102030

P17217

120404024

i79i7

故E(X)=0x-J2Q+10X而+20X而+30x海=21；

(2)記“該同學(xué)僅答對(duì)1道題”為事件

此時(shí)P(M)=1x(,)2+喘x廢/q=累

19

所以這次競賽中該同學(xué)僅答對(duì)1道題得概率為一.

90

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列及期望，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

6.(2024?白云區(qū)校級(jí)模擬)多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴

胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過色彩艷麗的時(shí)裝調(diào)動(dòng)正面的情緒，是一種“積

極化的聯(lián)想”.小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩種顏色中選擇，用“抽

小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個(gè)箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任

取4個(gè)小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍(lán)色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，

若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6,而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為0.5.

(1)寫出小李同學(xué)抽到紅球個(gè)數(shù)的分布列及期望；

(2)求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)超幾何分布求出P(X=4),P(X=3),P(X=2)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)

期望即可；

(2)設(shè)A表示穿紅色衣物，則彳表示穿藍(lán)色衣物，B表示穿連衣裙，則亙表示穿套裝，求出

PQ4),P(A),P(B\A),P伊⑼,結(jié)合條件概率和P(B)=P(BM)P(A)+P(B|I)P(?計(jì)算即可求解.

【解答】解：(1)設(shè)抽到紅球的個(gè)數(shù)為X,則X的取值可能為4,3,2,

P(X=4)=a=存

P(X=3)=M=2

C6

22

P(X=2)=^rr=I9，

所以x的分布列為:

X432

P182

15155

故E(X)=4X正'+3xY2+2x2=2；

(2)設(shè)A表示穿紅色衣物，貝以表示穿藍(lán)色衣物，8表示穿連衣裙，貝店表示穿套裝，

因?yàn)榇┘t色衣物的概率為。缶)=P(X=4)+P(X=3)=總+白=|,

則穿藍(lán)色衣物的概率為P(I)=P(X=2)=|,

穿紅色連衣裙的概率為P(B|4)=0,6=|,穿藍(lán)色連衣裙的概率為P(8|1)=0.5=

則當(dāng)天穿連衣裙的概率為P(B)=P(BM)P(4)+P(B|4)P(2)=jxj+|x|=i|,

14

所以小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率為二.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，考查條件概率及全概率公式，屬中檔題.

7.(2023秋?T8聯(lián)考月考)為應(yīng)對(duì)全球氣候變化，我國制定了碳減排的國家戰(zhàn)略目標(biāo)，采取了一系列政策

措施積極推進(jìn)碳減排，作為培育發(fā)展新動(dòng)能、提升綠色競爭力的重要支撐，節(jié)能環(huán)保領(lǐng)域由此成為全國

各地新一輪產(chǎn)業(yè)布局的熱點(diǎn)和焦點(diǎn).某公司為了解員工對(duì)相關(guān)政策的了解程度，隨機(jī)抽取了180名員工

進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的數(shù)據(jù)：

了解程度性別合計(jì)

男性女性

比較了解6060

不太了解2040

合計(jì)

(1)補(bǔ)充表格，并根據(jù)小概率值a=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析了解程度與性別是否有關(guān)？

(2)用分層抽樣的方式從不太了解的人中抽取12人，再從這12人中隨機(jī)抽取6人，用隨機(jī)變量X表

示這6人中男性員工人數(shù)與女性員工人數(shù)之差的絕對(duì)值，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附表及公式：

a0.100.050.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

2_n(ad—bc)2

%—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷；

(2)首先求出抽得女性、男性的人數(shù)，依題意可得X的可能取值為0、2、4、6,求出所對(duì)應(yīng)的概率,

即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(1)依題意補(bǔ)充表格如下：

了解程度性別合計(jì)

男性女性

比較了解6060120

不太了解204060

合計(jì)80100180

零假設(shè)為刑：了解程度與性別無關(guān).

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到X2=18黨喘麒筮)=|=4,5<5.024,

根據(jù)小概率值a=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷Ho不成立，

因此可以認(rèn)為Ho成立，即了解程度與性別無關(guān).

(2)用分層抽樣在不太了解的60人中抽取12人，抽得女性12X器=8人，男性有12x|§=4人.

...X的可能取值為0、2、4、6.

則P(X=0)=率=裊P(X=2)=*乎或=券

L12C12

Q「6601

「重=4)=h=空，P(X=6)=^=空-

G12G12

；.X的分布列為：

X0246

p81681

33333333

E(X)=0x+2x+4x+6x

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)、古典概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與期望，考查了推理

能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

8.(2024?浙江模擬)為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，寒假期間小王每天堅(jiān)持在“跑步20分鐘”和“跳繩20分鐘”

中選擇一項(xiàng)進(jìn)行鍛煉.在不下雪的時(shí)候，他跑步的概率為80%,跳繩的概率為20%,在下雪天他跑步

的概率為20%,跳繩的概率為80%.若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為60%,若前一天下雪，

則第二天仍下雪的概率為40%.已知寒假第一天不下雪，跑步20分鐘大約消耗能量300卡路里，跳繩

20分鐘大約消耗能量200卡路里.記寒假第n天不下雪的概率為Pn.

(1)求尸1、P2、P3的值，并求P”；

(2)設(shè)小王寒假第幾天通過運(yùn)動(dòng)消耗的能量為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望).

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

111

【答案】(1)P1=1,P2=0.4,尸3=0.52,匕=*+于(一看尸-1；

1

(2)E(X)=250+30x(一鏟T.

1Q

【分析】⑴由題可直接求得尸1,P2,尸3,并能推得匕=0.42?_1+0,6(1-2?1-1)=—，？1-1+5,進(jìn)

111

一步可得血-芻是以5為首項(xiàng)，T為公比的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；

(2)由題X的取值為X=200,300,且可得P(X=300)=0.6P〃+0.2,然后利用期望的性質(zhì)及公式即

可求解.

【解答】解：(1)依題意，P1=1,尸2=IX0.4=04,^3=0,4X0.4+0.6X0,6=0.52,

1Q

依題意七=0APn^+0.6(1-Pz)=-jPn-i+|,

整理得4-J=J,(Pn-l_I)，

所以｛&-3是以Pi—3=義為首項(xiàng)，—寺為公比的等比數(shù)列，

即?1(_*，

所以為-|)ni；

(2)由題X的取值為X=200,300,

則尸(X=300)=0.8Pn+0.2(1-Pn)=0.6辦+0.2,

P(X=200)=1-P(X=300)=0.8-0.6P?,

所以E(X)=300尸(X=300)+200P(X=200)

=300(0.6P”+0.2)+200(0.8-0.6P”)

1

=220+60P?=250+30x(一鏟工

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望及條件概率的相關(guān)計(jì)算，屬于中檔題.

9.(2024?江西模擬)甲、乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的

發(fā)球方.若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為二若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為±每回合比賽的結(jié)

33

果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽決定，第1回合由甲發(fā)球.

(1)求第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率；

(2)設(shè)前4個(gè)回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為X,求X的分布列及期望.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

14

【答案】(1)—;

27

(2)分布列為：

X134

P4788

27272727

E(X)=分74

【分析】(1)分類討論結(jié)合獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可；

(2)分情況討論列出分布列并計(jì)算期望即可.

【解答】解：(1)由題可知，第2回合甲發(fā)球的概率為；，乙發(fā)球的概率為士

33

22115

所以第3回合甲發(fā)球的概率為-X-4--X-=-,

33339

21124

乙發(fā)球的概率為：；x-+-x-=-,

33339

524114

可得第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率為-x-+-x-=—,

939327

14

故第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率為一；

27

(2)由題意可知：X可以取1,2,3,4,

當(dāng)X=1時(shí)，21=?＞毋=務(wù)，

當(dāng)X=2時(shí)，前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的情況分以下三種：

2124

第一種情況，甲第1,2回合發(fā)球，乙第3,4回合發(fā)球，其概率為:；x二x二=不,

33327

1111

第二種情況，甲第1,3回合發(fā)球，乙第2,4回合發(fā)球，其概率為：；xx：；二

33327

1212

第三種情況，甲第1,4回合發(fā)球，乙第2,3回合發(fā)球，其概率為-x-x-=一,

33327

故前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的概率為P2=奈+5+5=務(wù)，

當(dāng)X=4時(shí)，"=(各3=捺，

O

當(dāng)X=3時(shí)，P3=l-P1-P2-P4=^,

故X的分布列為：

X1234

P4788

27272727

478874

E(X)=lx27+2x27+3x27+4x27=27-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)變量的概率和分布列，期望的求解，屬于中檔題.

10.(2024?宜賓三模)某地為調(diào)查年齡在35-50歲段人群每周的運(yùn)動(dòng)情況，從年齡在35-50歲段人群中

隨機(jī)抽取了200人的信息，將調(diào)查結(jié)果整理如下:

女性男性

每周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí)6080

每周運(yùn)動(dòng)不超過2小時(shí)4020

(1)根據(jù)以上信息,能否有99%把握認(rèn)為該地年齡在35-50歲段人群每周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí)與性別有關(guān)？

(2)用樣本估計(jì)總體，從該地年齡在35-50歲段人群中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中每周運(yùn)動(dòng)不超

過2小時(shí)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

2

nCad—bc}..

參考公式：K2—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'na+b+c+d-

P(長2＞心)0.100.050.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)有；

(2)X的分布列為：

X0123

P34344118927

1000100010001000

9

10,

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，即可求解；

(2)先判斷X服從二項(xiàng)分布，X=0,1,2,3,依次求出概率，再結(jié)合期望公式，即可求解

27

【解答】解：由

(1)K2=(a+b)(c+哈d)("a+?c")上(b+冷d)=20齦100x10黨0x140號(hào)x60-9.524>6.635.

故有99%把握認(rèn)為該地35-50歲年齡段人每周運(yùn)動(dòng)超過2小時(shí)與性別有關(guān).

(2)抽取的3人中每周運(yùn)動(dòng)不超過2小時(shí)的人數(shù)為X,

則X?8(3,磊)，X=0,1,2,3,

P(X=0)=扁＞=瑞，p(x=1)=幅)?扁＞=贏,P(X=2)=廢襦＞扁=搗,

P(X=3)=漏尸=磊,

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

P34344118927

1000100010001000

QQ

故E(X)=3XYQ=Jg.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列、期望的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.古典概型及其概率計(jì)算公式

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：

(1)有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果(即基本事件)只有有限個(gè)；

(2)等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的.

則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型.

*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就

可以不通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可.

2.古典概率的計(jì)算公式

如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有“個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率

1

都是一；

n

如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P(A)=^=人中所慧鬻氏數(shù).

n基本事件息數(shù)

【解題方法點(diǎn)撥】

1.注意要點(diǎn)：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)〃與事件A中所包含的基本事件數(shù).

因此要注意清楚以下三個(gè)方面：

(1)本試驗(yàn)是否具有等可能性；

(2)本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；

(3)事件A是什么.

2.解題實(shí)現(xiàn)步驟：

(1)仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

(2)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；

(3)分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n